第3講 數(shù)學(xué)教育的基本理論-波利亞公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

10十月第三講數(shù)學(xué)教育基本理論

——波利亞青島大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系楊慧娟數(shù)學(xué)游戲問題：有兩個沒有刻度桶，大桶容量是9升，小桶容量是4升，怎樣利用這兩個桶從河中恰好打上6升水呢？9升4升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解題，大多解題者都有過這么經(jīng)歷：衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村。眾里尋他千baidu，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處。波利亞生平波利亞（GeorgePolya，1887-1985）美籍匈牙利數(shù)學(xué)家。生于布達佩斯，卒于美國。青年時期曾在布達佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)，獲博士學(xué)位。19在瑞士蘇黎世工業(yè)大學(xué)任教，1938年任數(shù)理學(xué)院院長。1940年移居美國，歷任布朗大學(xué)、斯坦福大學(xué)教授。1963年獲美國數(shù)學(xué)會功勛獎。他是法國科學(xué)院、美國全國科學(xué)園和匈牙利科學(xué)院院士。曾著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)發(fā)覺》、《數(shù)學(xué)與猜測》等，它們被譯成各種文字，廣為流傳。找出一個現(xiàn)有趣又好下手新問題并不那么輕易，這需要經(jīng)驗、判別能力和好運氣，不過，當(dāng)我們成功處理了一個好問題之后，我們應(yīng)該去尋找更多好問題。好問題通一些蘑菇有些相像，他們總是成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)該在周圍找找，很可能在附近就有好幾個。一、波利亞數(shù)學(xué)教育觀1.波利亞數(shù)學(xué)教育目標(biāo)：波利亞認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)教育根本目標(biāo)是“教會學(xué)生思索”。“教會學(xué)生思索”意味著數(shù)學(xué)教師不但僅是傳授知識，還應(yīng)努力發(fā)展學(xué)生利用所學(xué)知識能力，他強調(diào)技能、技巧、有益思索方式和理想思維習(xí)慣?，F(xiàn)在新課標(biāo)強調(diào)“三會”2.數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)心理三標(biāo)準(zhǔn)：（1）主動學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)（2）最正確動機標(biāo)準(zhǔn)（3）循序漸進標(biāo)準(zhǔn)（1）主動學(xué)習(xí)“學(xué)東西最好方式是發(fā)覺它”，“親自發(fā)覺能夠在你腦海里留下一條小路；今后一旦需要，你便能夠再次利用它”。因而，教師應(yīng)該“盡可能讓學(xué)生在現(xiàn)有條件下親自發(fā)覺盡可能多東西”。思想應(yīng)在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生，教師則只起助產(chǎn)士作用。（2）最正確動機為了使學(xué)習(xí)富有成效，學(xué)生應(yīng)該對學(xué)習(xí)倍感興趣，而且在學(xué)習(xí)活動中尋求歡樂。最正確刺激應(yīng)該是對所學(xué)知識興趣。另外，還能夠在做題之前，讓學(xué)生猜測學(xué)習(xí)結(jié)果，因為在科學(xué)家工作中，猜測幾乎是證實先導(dǎo)。學(xué)習(xí)動機是多元內(nèi)在動機才能產(chǎn)生持久學(xué)習(xí)動力，外部動機，只會見效一時，卻不能恒久維持。動機，有時又能夠稱之為理由過分理由效應(yīng)（3）循序漸進學(xué)習(xí)過程是從行動和感知開始，進而發(fā)展到詞語和概念，以養(yǎng)成合理思維習(xí)慣而結(jié)束。行動和感知詞語和概念思維習(xí)慣學(xué)習(xí)第一個階段是探索，它聯(lián)絡(luò)著行動和感知，而且是在自覺和啟發(fā)水平上發(fā)展。第二個階段是說明，包含引進術(shù)語、定義、證實等，提升到概念水平上。第三個階段是吸收，即把所學(xué)知識都在頭腦里消化了，然后吸收到自己知識系統(tǒng)中來，擴大智力范圍。3.波利亞教師發(fā)展觀波利亞提議，要成為一名好數(shù)學(xué)教師，必須具備兩方面知識，一是數(shù)學(xué)內(nèi)容知識。普通中學(xué)數(shù)學(xué)教師最大缺點在于，他沒有主動完成數(shù)學(xué)工作經(jīng)驗。二是數(shù)學(xué)教學(xué)法知識。波利亞給數(shù)學(xué)教師“十條提議”1、對自己科目要有興趣2、熟知自己科目3、知道學(xué)習(xí)路徑，學(xué)習(xí)任何東西最正確路徑是親自獨立地發(fā)覺其中奧秘；4、努力觀察學(xué)生面部表情，覺察他們期望和困難，把自己置身于他們之中；5、不但要教給他們知識，而且要教給他們技能技巧、才智、思維方式及科學(xué)工作習(xí)慣。6、讓學(xué)生學(xué)會猜測問題7、讓學(xué)生學(xué)會證實問題；8、從手頭上題目中尋找出一些可能今后用于解題特征，揭示出存在于詳細(xì)情況下普通模式；9、不要馬上吐露你全部秘密-，讓學(xué)生在你說出來之前先動腦去想，去猜，不要強迫他人去接收；10、啟發(fā)問題，而不要填鴨式地塞給學(xué)生。二、波利亞關(guān)于解題研究為了回答“一個好解法是怎樣想出來”這個令人迷惑問題，波利亞專門研究了解題思維過程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書關(guān)鍵是他分析解題思維過程得到一張“怎樣解題”表，并以例題表明這張表實際應(yīng)用。書中各部分基本上是配合這張表，也能夠說是對該表深入闡述和注釋。在這張包含“搞清問題”、“確定計劃”、“實際計劃”和“回顧”四大步驟解題全過程解題表中，對第二步即“確定計劃”分析是最為引人入勝。他指出尋找解法實際上就是“找出已知數(shù)和未知數(shù)之間聯(lián)絡(luò)，假如找不出直接聯(lián)絡(luò)，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃波利亞認(rèn)為，“對你自己提出問題是處理問題開始”，“當(dāng)你有目標(biāo)向自己提出問題時，它就變作你問題”。而“假使你能適應(yīng)地應(yīng)用這些問句和提醒來問你自己，它們能夠幫助你處理你問題”。他還把尋找并發(fā)覺解法思維過程分解為五條提議和23個含有啟發(fā)性問題，它們就好比是尋找和發(fā)覺解法思維過程“慢動作鏡頭”，使我們對解題思維過程看得見，摸得著。

波利亞提供“怎樣解題”表

第一步必須了解問題了解問題Δ未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？Δ可能滿足什么條件？Δ畫一個圖，引入適當(dāng)記號。

第二步找出已知數(shù)和未知數(shù)間關(guān)系。假使你不能找出關(guān)系，就得考慮輔助問題，最終應(yīng)想出一個計劃擬定計劃Δ你以前曾見過它嗎？Δ你知道什么相關(guān)問題嗎？Δ注視未知數(shù)！試想出一個有相同或相同未知數(shù)熟悉問題。Δ這里有一個與你相關(guān)而且以前解過問題，你能應(yīng)用它嗎？Δ你能夠改述這問題嗎？回到定義。Δ你若不能解這問題，使先解一個相關(guān)問題。Δ你用了全部條件嗎？第三步實施你計劃實行計劃Δ實施你處理計劃，校核每一步驟。

第四步校核所得解答回顧Δ你能校核結(jié)果嗎？你能校核論證嗎？Δ你能用不一樣方法得出結(jié)果嗎？Δ你能應(yīng)用這結(jié)果或方法到別問題上去嗎？波利亞“怎樣解題”表精華是啟發(fā)你去聯(lián)想。聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？這能夠經(jīng)過一連串提議性或啟發(fā)性問題來加以回答?！澳阋郧耙娺^它嗎？你是否見過相同問題而形式稍有不一樣？你是否知道與此相關(guān)問題？你是否知道一個可能用上定理？看看未知數(shù)！試指出一個含有相同未知數(shù)或相同未知數(shù)熟悉問題。這里有一個與你現(xiàn)在問題有聯(lián)絡(luò)且早已處理問題。你能不能利用它？你能利用他結(jié)果嗎？你能利用他方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入一些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不一樣方式重新敘述它？”案例：給定正四棱臺高為，上底邊長為下底邊長為，求正四棱臺體積。第一步：了解問題。問題1：你要求解是什么？要求解是幾何體體積，在思維中位置用一個單點F象征性地表示出來。F問題2：你有些什么？一方面是題目條件中給出三個量，其次是已經(jīng)學(xué)過棱錐、棱柱體積公式，并積累有求體積公式初步經(jīng)驗。把已知三個量添加到圖形中和思維圖示中，，他們與F之間有一條鴻溝，象征問題還沒有得到處理，我們?nèi)蝿?wù)就是將未知量與已知量聯(lián)絡(luò)起來。第二步，確定計劃問題3：怎樣才能求得F已經(jīng)有了棱錐體積公式，棱臺幾何結(jié)構(gòu)（定義）告訴我們，棱臺是“用一個平行于底面平面去截棱錐”，即從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成，假如知道了對應(yīng)兩棱錐體積B和A，我們就能求出棱臺體積：F=B-A問題4：怎樣才能求得A與B？棱錐體積公式：關(guān)鍵是什么？將問題轉(zhuǎn)化，把求A，B轉(zhuǎn)化為求？問題5：怎樣才能求得第三步，實現(xiàn)計劃第四步，回顧（1）正面檢驗每一步，推理是有效，演算是準(zhǔn)確，然后再做特殊性檢驗，特殊性檢驗既反應(yīng)了新知識與舊知識相容性，又顯示出棱臺體積公式普通性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間知識聯(lián)絡(luò)，又可促進三個體積公式記憶。（2）回顧解題過程，能夠看到，首先搞清題意，從中捕捉到有用信息，及時提取記憶中相關(guān)信息，將信息做合乎邏輯組合（3）在解題方法上，這個案例是分析法一次成功利用，從結(jié)論出發(fā)，由后往前找成立充分條件，如，為了求得F，只需要知道A，B，為了求得A，B，只需要求得x，為了得到x，建立一個方程即可，這么就形成了一個未知與已知之間網(wǎng)絡(luò)，書寫時只不過是遵照相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖做一敘述，這個過程顯示了分析與綜合關(guān)系。——分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行，分析是制訂一個計劃，綜合是執(zhí)行這個計劃。（4）在思維策略上，這個案例是“三層次處理”一次成功利用。首先是普通性處理（策略水平上處理）把F轉(zhuǎn)化為A、B，明確了解題方向；其次是功效性處理，（方法水平處理）發(fā)揮組合與分解、相同形、解方程等解題功效，最終是特殊性處理，詳細(xì)演算體積公式等，是對推理步驟和運算細(xì)節(jié)作實際完成。（5）在心理機制上，這個案例展現(xiàn)出“激活——擴散”基本過程。激活記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺體積結(jié)構(gòu)和棱錐體積公式，然后想外擴散，依次激活截面公式，相同三角形、解方程知識等，直到條件與結(jié)論之間網(wǎng)絡(luò)溝通。這種“激活——擴散”觀點，正是數(shù)學(xué)思維中心理過程一個解釋。（6）在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”一次成功利用，它再一次向我們展示了“能割善補”是處理立體幾何問題一個訣竅，二平面化思維是聯(lián)絡(luò)立體幾何與平面幾何主要橋梁這些方法能夠用于解其它立體幾何問題，而且作為普通化思想（降維）還能夠用于其它學(xué)科。（7）能否用別方法導(dǎo)出這個結(jié)果？在信念上，我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅定地作出必定回答，操作上未實現(xiàn)只是能力問題或暫時現(xiàn)象。“怎樣解題表”就“怎樣解題”“教師應(yīng)該教學(xué)生做什么”等問題，把“解題中經(jīng)典有用智力活動”，按照正常人處理問題時思維自然過程分成四個階段——搞清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧，從而描繪出解題理論一個總體輪廓，也組成了一個完整解題教學(xué)系統(tǒng)。既表達常識性，又表達由常識上升為理論（普遍性）自覺努力。

這四個階段中“實現(xiàn)計劃”雖為主體工作，但較為輕易，是思緒打通之后詳細(xì)實施信息資源邏輯配置，“我們所需要只是耐心”；其次，“搞清問題”是認(rèn)識、并對問題進行表征過程，應(yīng)成為成功處理問題一個必要前提；與前二者相比，“回顧”是最輕易被忽略階段，波利亞對其作為解題必要步驟而固定下來，是一個有遠(yuǎn)見做法，在整個解題表中“擬訂計劃”是關(guān)鍵步驟和關(guān)鍵內(nèi)容。

“擬訂計劃”過程是探索解題思緒發(fā)覺過程，波利亞提議是分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接聯(lián)絡(luò)（模式識