第01講 正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)-人教版新七年級(jí)《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（解析版）

第第頁(yè)第01講正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)(5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+3個(gè)考點(diǎn)+5個(gè)易錯(cuò)分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.借助生活中的實(shí)例體會(huì)引入負(fù)數(shù)的必要性，并能用正、負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量。2.會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)是負(fù)數(shù)3.理解有理數(shù)的意義，并能對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類。4.能用正、負(fù)數(shù)解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。知識(shí)點(diǎn)1：正數(shù)、負(fù)數(shù)的定義（重點(diǎn)）1.正數(shù)像2%,4,3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù).有時(shí),為了明確表達(dá)意義,在正數(shù)的前面加上“+”(正)號(hào).如+2,+0.7。2.負(fù)數(shù)像-3,-2.7%,-4.5這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“-”(負(fù))的數(shù)叫做負(fù)數(shù)3.“0”的特性0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界【例1】下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負(fù)數(shù)？，，，，+2.009，，，81．【答案】正數(shù)有：3.2，，+2.009，，81；負(fù)數(shù)有：，，【分析】根據(jù)正數(shù)，負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，正數(shù)有：3.2，，+2.009，，81；負(fù)數(shù)有：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)、負(fù)數(shù)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．【變式】任意寫出個(gè)正數(shù)和個(gè)負(fù)數(shù)，并分別把它們填入相應(yīng)的集合里．【答案】5個(gè)正數(shù)：1、2、3、4、5；5個(gè)負(fù)數(shù)：-1、-2、-3、-4、-5；方法總結(jié)：對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)不能簡(jiǎn)單地理解為：帶“＋”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，要看其本質(zhì)是正數(shù)還是負(fù)數(shù).0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，后面會(huì)學(xué)到＋(－3)不是正數(shù)，－(－2)不是負(fù)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2：用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量（重點(diǎn)）1.日常生活中,表示相反意義的量的常用詞語(yǔ):收入盈利上升零上增加向東(南)…支出虧損下降零下減少向西(北)…2.具有相反意義的量的規(guī)定為了區(qū)別具有相反意義的量,用正數(shù)和負(fù)數(shù)分別表示具有相反意義的量,若規(guī)定其中的一種量為正(可任意選擇),則它的相反意義的量為負(fù).習(xí)慣上把“前進(jìn)、上升、收人、零上”等規(guī)定為正,把“后退、下降、支出、零下”等規(guī)定為負(fù).【例2】.下列各對(duì)量中，表示具有相反意義的量的是（）A購(gòu)進(jìn)50kg蘋果與賣出-50kg蘋果B高出海平面786m與低于海平面230mC向東走-9m和向西走10mD飛機(jī)上升100m與飛機(jī)前進(jìn)100m【答案】B【易錯(cuò)總結(jié)】向東走-9米實(shí)際意義是向西走9米?！?”本身就是意義相反的意思【變式】如果某水庫(kù)警戒水位150米記作0米，那么151米記作，148米記作．【答案】米米【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【詳解】解：如果某水庫(kù)警戒水位150米記作0米，那么151米記作米，148米記作米．故答案為：米；米．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．方法總結(jié)：用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量時(shí)，要抓住基準(zhǔn)，比基準(zhǔn)量多多少記為“＋”的多少，少多少記為“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前進(jìn)、收入、運(yùn)進(jìn)、增產(chǎn)”等規(guī)定為正，與它們意義相反的量表示為負(fù)．知識(shí)點(diǎn)3：對(duì)“0”的認(rèn)識(shí)1.表示沒(méi)有例如,0個(gè)蘋果,意思是沒(méi)有蘋果2.表示數(shù)時(shí)起到占位的作用如10605中的兩個(gè)0,分別占的是十位和千位3.表示某種量的基準(zhǔn)例如,0℃不是表示沒(méi)有溫度,而是表示在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水開(kāi)始結(jié)冰的溫度4.表示某些數(shù)量的分界0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界.例如在攝氏溫度計(jì)上，“0”是零上溫度與零下溫度的分界5.表示起點(diǎn)例如,在米尺上,刻度的起點(diǎn)為“0”【例3】下列對(duì)“0”的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；②0只表示“什么也沒(méi)有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數(shù)；⑤0是自然數(shù)．A．3B．4C．5D．0【詳解】：0除了表示“無(wú)”的意義，還表示其他的意義，所以②不正確；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，所以④不正確；其他的都正確．故選A.【變式】判斷題（l）0是自然數(shù)，也是偶數(shù)（）。（2）0可以看成是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù)（）。（3）溫度0℃就是沒(méi)有溫度（）?！敬鸢浮俊獭痢练椒偨Y(jié)：“0”的意義不要單純地認(rèn)為表示“沒(méi)有”的含義，其實(shí)“0”表示的意義非常廣泛，比如：冰水混合物的溫度就是0℃，0是正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)等．知識(shí)點(diǎn)4：有理數(shù)的相關(guān)概念（重點(diǎn)）1.整數(shù)正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),如-3,-2,0,1,2,3等2.分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù),如+1-,0.18,-1.35,-分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式,同時(shí)有限小數(shù)和限循環(huán)小數(shù)又都可以化為分?jǐn)?shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù).3.有理數(shù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，“有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，4.幾個(gè)常用數(shù)學(xué)名詞的含義(1)正整數(shù):既是正數(shù),又是整數(shù)的數(shù)(2)負(fù)整數(shù):既是負(fù)數(shù),又是整數(shù)的數(shù)(3)正分?jǐn)?shù):既是正數(shù),又是分?jǐn)?shù)的數(shù)(4)負(fù)分?jǐn)?shù):既是負(fù)數(shù),又是分?jǐn)?shù)的數(shù)(5)非負(fù)數(shù):正數(shù)和0.(6)非正數(shù):負(fù)數(shù)和0.(7)非負(fù)整數(shù)(也叫自然數(shù)):正整數(shù)和0.(8)非正整數(shù):負(fù)整數(shù)和0.(9)正有理數(shù):正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)(10)負(fù)有理數(shù):負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)(11)非正有理數(shù):0、負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)(12)非負(fù)有理數(shù):0、正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)【例4】下列各數(shù)：－eq\f(4,5)，1，8.6，－7，0，eq\f(5,6)，－4eq\f(2,3)，＋101，－0.05，－9中，()A．只有1，－7，＋101，－9是整數(shù)B．其中有三個(gè)數(shù)是正整數(shù)C．非負(fù)數(shù)有1，8.6，＋101，0D．只有－eq\f(4,5)，－4eq\f(4,5)，－0.05是負(fù)分?jǐn)?shù)【解析】根據(jù)有理數(shù)的有關(guān)概念，整數(shù)包括：1，－7，0，＋101，－9，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；正整數(shù)只有兩個(gè)，即1和＋101，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；非負(fù)數(shù)包括有1，8.6，＋101，0，eq\f(5,6)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；負(fù)分?jǐn)?shù)包括－eq\f(4,5)，－4eq\f(2,3)，－0.05，故選項(xiàng)D正確．故選D.方法總結(jié)：當(dāng)有理數(shù)只含有單個(gè)符號(hào)時(shí)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)即為負(fù)數(shù)．然后再區(qū)分是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)．【變式】下列說(shuō)法中正確的是（

）A．0不是有理數(shù) B．有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)C．在有理數(shù)中有最小的數(shù) D．若a是有理數(shù)，則一定是負(fù)數(shù)【答案】B【詳解】解：A、0是有理數(shù)，錯(cuò)誤；B、有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，正確；C、在有理數(shù)中沒(méi)有最小的數(shù)，錯(cuò)誤；D、a是有理數(shù)，則不一定是負(fù)數(shù)，如a=0時(shí)，-a=0，故錯(cuò)誤；知識(shí)點(diǎn)5：有理數(shù)的分類（重點(diǎn)、難點(diǎn)）1.有理數(shù)的分類：注意：（1）零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界；（2）零和正數(shù)統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；零和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)．（3）如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．2.集合把滿足一定條件的所有數(shù)放在一起,就組成了一個(gè)集合,簡(jiǎn)稱數(shù)集【例5】把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)．－10，8，－7eq\f(1,2)，3eq\f(3,4)，－10%，eq\f(3,101)，2，0，3.14，－67，eq\f(3,7)，0.618，－1，0.3080080008…正數(shù)集合{…}；負(fù)數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分?jǐn)?shù)集合{…}．【分析】要將各數(shù)填入相應(yīng)的集合里，首先要弄清楚有理數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，其次要弄清楚每個(gè)數(shù)的特征．在填入相應(yīng)的集合時(shí)，要注意每個(gè)有理數(shù)，身兼不同的身份，所以解答時(shí)不要顧此失彼．【詳解】正數(shù)集合{8，3eq\f(3,4)，eq\f(3,101)，2，3.14，eq\f(3,7)，0.618，0.3080080008……}；負(fù)數(shù)集合{－10，－7eq\f(1,2)，－10%，－67，－1…}；整數(shù)集合{－10，8，2，0，－67，－1…}；分?jǐn)?shù)集合{－7eq\f(1,2)，3eq\f(3,4)，－10%，eq\f(3,101)，3.14，eq\f(3,7)，0.618，0.3080080008……}．【變式1】把以下各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：，，，，，，，，，，，．(1)正數(shù)集合：{…}；(2)負(fù)數(shù)集合：{…}；(3)正整數(shù)集合：{…}；(4)負(fù)整數(shù)集合：{…}；(5)非負(fù)數(shù)集合：{…}．【答案】(1)，，，，，(2)，，，，(3)，(4)，(5)，，，，，，【分析】（1）根據(jù)正數(shù)的定義：像、、等大于的數(shù)叫做正數(shù)即可解答；（2）根據(jù)負(fù)數(shù)的定義：像、、、等在正數(shù)前面加“”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)即可解答；（3）根據(jù)正整數(shù)的定義：除了以外的自然數(shù)叫做正整數(shù)即可解答；（4）根據(jù)負(fù)整數(shù)的定義：在自然數(shù)前面加上負(fù)號(hào)所得的數(shù)叫做負(fù)整數(shù)即可解答；（5）根據(jù)非負(fù)整數(shù)的定義：正整數(shù)和零統(tǒng)稱非負(fù)整數(shù)即可解答．【詳解】（1）解：正數(shù)集合：{，，，，，…}；故答案為：，，，，，；（2）解：負(fù)數(shù)集合：{，，，，…}；故答案為：，，，，；（3）解：正整數(shù)集合：{，…}；故答案為：，；（4）解：負(fù)整數(shù)集合：{，…}；故答案為：，；（5）解：非負(fù)數(shù)集合：{，，，，，，…}．故答案為：，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)的定義，負(fù)數(shù)的定義，正整數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)的定義，非負(fù)整數(shù)的定義，熟記對(duì)應(yīng)定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】把下列的數(shù)填入相應(yīng)的集合中：7，，，，0，，，正分?jǐn)?shù)集合：（

）；非負(fù)整數(shù)集合：（

）；負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（

）．【答案】，，；7，0，；【詳解】解：正分?jǐn)?shù)集合：（，，）；非負(fù)整數(shù)集合：（7，0，）；負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（）．【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．1，－0.20，，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．非正數(shù)集合：{

…}；非負(fù)數(shù)集合：{

}；非正整數(shù)集合：{

…}；非負(fù)整數(shù)集合：{

}；非正有理數(shù)集合：{

…}；非負(fù)有理數(shù)集合：{

}．【詳解】解：非正數(shù)集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004…}；非負(fù)數(shù)集合：{1，，325，0，0.618，…}；非正整數(shù)集合：{－0.20，，－789，0，－23.13，0.618，－2004…}；非負(fù)整數(shù)集合：{1，－0.20，，325，0，－23.13，0.618，…}；非正有理數(shù)集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004…}；非負(fù)有理數(shù)集合：{1，，325，0，0.618，…}．方法總結(jié)：在填數(shù)時(shí)要注意以下兩種方法：(1)逐個(gè)考察給出的每一個(gè)數(shù)，看它是什么數(shù)，是否屬于某一集合；(2)逐個(gè)填寫相應(yīng)集合，從給出的數(shù)中找出屬于這個(gè)集合的數(shù)，避免出現(xiàn)漏數(shù)的現(xiàn)象．易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)“0”的含義理解不準(zhǔn)確小學(xué)階段開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)的時(shí)候,0表示沒(méi)有,學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)后,0除了表示“沒(méi)有”外,還是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界易錯(cuò)點(diǎn)02對(duì)負(fù)數(shù)表示的意義理解不清具有相反意義的兩個(gè)量,若一個(gè)量規(guī)定為正,用正數(shù)表示,則另個(gè)量就為負(fù)，用負(fù)數(shù)表示易錯(cuò)點(diǎn)03用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)忽略了量的單位易錯(cuò)點(diǎn)04誤認(rèn)為凡帶有正號(hào)的數(shù)就是正數(shù)，凡帶有負(fù)號(hào)的數(shù)就是負(fù)數(shù)正數(shù)前面的“+”號(hào)有時(shí)可以省略,省略“+”號(hào)后仍是正數(shù);但是帶有“+”號(hào)或省略“+”號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù),帶有“-”號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)05不能正確理解有理數(shù)的分類而出錯(cuò)有理數(shù)的兩種分類不能混淆,要特別注意避免因忽略0而引起考點(diǎn)一：正數(shù)、負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考查題型一：用正數(shù)、負(fù)數(shù)記錄成績(jī)例1.某班級(jí)抽查了10名同學(xué)的期末成績(jī)，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．這10名同學(xué)中，(1)最高分是多少？(2)最低分是多少？(3)10名同學(xué)的平均成績(jī)是多少？【答案】(1)92分(2)70分(3)分【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；（3）根據(jù)平均數(shù)的意義，可得答案．【詳解】（1）最高分是分；（2）最低分是分；（3）10名同學(xué)的平均成績(jī)是分．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】某班級(jí)抽查了名同學(xué)的期末成績(jī)，以分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：、﹣、、﹣、﹣、﹣、﹣、、、．這名同學(xué)中，(1)最高分是多少？(2)最低分是多少？【答案】(1)分(2)分【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；【詳解】（1）最高分是分；（2）最低分是分；【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1-2】某班級(jí)抽查了10名同學(xué)的期末成績(jī)，以80分為基準(zhǔn)，超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)，記錄的結(jié)果如下（單位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．這10名同學(xué)中，(1)最高分是多少？(2)最低分是多少？(3)10名同學(xué)的平均成績(jī)是多少？【答案】(1)92分(2)70分(3)分【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；（2）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，可得答案；（3）根據(jù)平均數(shù)的意義，可得答案．【詳解】（1）最高分是分；（2）最低分是分；（3）10名同學(xué)的平均成績(jī)是分．【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，利用正負(fù)數(shù)的意義超出的分?jǐn)?shù)記為正數(shù)，不足的分?jǐn)?shù)記為負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1-3】下表是某班5名同學(xué)某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，根據(jù)信息回答問(wèn)題：姓名王芳劉兵張沂李聰江文成績(jī)8984與全班平均分之差(1)把表格補(bǔ)充完整；(2)若不低于平均分的成績(jī)是合格，求5名同學(xué)的合格率?【答案】(1)86，78，82，(2)【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，可知高于基準(zhǔn)為正，低于基準(zhǔn)為負(fù)，有張沂可知，平均分為分，由此即可求出其他同學(xué)的成績(jī)，由合格人數(shù)除以總?cè)藬?shù)乘以百分比即可求出答案．【詳解】（1）解：由表格中張沂的信息可得出，平均分為84分，∴劉兵成績(jī)：（分），李聰成績(jī)：（分），江文成績(jī)：（分），王芳成績(jī)：，故答案是：86，78，82，；（2）解：平均分為分，合格有劉兵，張沂，王芳，∴合格率是：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減法的應(yīng)用，以及合格率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵的找出“基準(zhǔn)”，且“高于基準(zhǔn)為正，低于基準(zhǔn)為負(fù)”．考查題型二：用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示誤差范圍例2.如圖所示的是圖紙上一個(gè)零件的標(biāo)注，Φ30±表示這個(gè)零件直徑的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是30mm，實(shí)際合格產(chǎn)品的直徑最小可以是29.98mm，最大可以是（）A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm【答案】B【詳解】解：由零件標(biāo)注Φ可知，零件的直徑范圍最大30+0.03mm，最小30-0.02mm，∴最大可以是30+0.03=30.03（mm）．.【變式2-1】一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“25±0.25kg”，則下列面粉中合格的是（）A．25.30kg B．24.80kg C．25.51kg D．24.70kg【解答】解：一種面粉的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“25±0.25kg”則面粉的質(zhì)量范圍在25﹣0.25＝24.75kg到25+0.25＝25.25kg之間的都合格．各選項(xiàng)只有選項(xiàng)B，24.80kg在這個(gè)范圍之內(nèi)．故選：B．【變式2-2】“牛?！憋嬃瞎镜囊环N飲料包裝上有“”字樣，其中表示標(biāo)準(zhǔn)容量是L，表示最多不超過(guò)，那么表示．【答案】最少不少于【詳解】解：表示標(biāo)準(zhǔn)容量是L，表示最多不超過(guò)，那么表示最少不少于【變式2-3】某飲料公司的一種瓶裝飲料外包裝上有“500±30(mL)”字樣，請(qǐng)問(wèn)“500±30(mL)”是什么含義？質(zhì)檢局對(duì)該產(chǎn)品抽查5瓶，容量分別為503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，問(wèn)抽查產(chǎn)品的容量是否合格？【分析】＋30mL表示比標(biāo)準(zhǔn)容量多30mL，－30mL表示比標(biāo)準(zhǔn)容量少30mL.則合格范圍是指容量在470～530(mL)之間．【詳解】“500±30(mL)”是500mL為標(biāo)準(zhǔn)容量，470～530(mL)是合格范圍，503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，抽查產(chǎn)品的容量是合格的．方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解“500±30(mL)”的含義，即500是標(biāo)準(zhǔn)，“＋”表示比標(biāo)準(zhǔn)多，“－”表示比標(biāo)準(zhǔn)少．考點(diǎn)二：與正數(shù)、負(fù)數(shù)相關(guān)的表格信息題例3.某年，一些國(guó)家的服務(wù)出口額比上年的增長(zhǎng)率如下：美國(guó)德國(guó)英國(guó)中國(guó)日本意大利這一年，上述六國(guó)中哪些國(guó)家的服務(wù)出口額增長(zhǎng)了？哪些國(guó)家的服務(wù)出口額減少了？哪國(guó)增長(zhǎng)率最高？哪國(guó)增長(zhǎng)率最低？【答案】中國(guó)、意大利的服務(wù)出口額增長(zhǎng)了，美國(guó)、德國(guó)、英國(guó)、日本的服務(wù)出口額減少了，意大利的增長(zhǎng)率最高，日本的增長(zhǎng)率最低．【詳解】解：服務(wù)出口額增長(zhǎng)的國(guó)家：中國(guó)，意大利；國(guó)家的服務(wù)出口額減少的國(guó)家：美國(guó)、德國(guó)、英國(guó)、日本；增長(zhǎng)率最高的是意大利；增長(zhǎng)率最低的是日本．【變式3-1】（2023秋?臺(tái)州期末）近年來(lái)，國(guó)家越來(lái)越重視新能源汽車的發(fā)展，為積極響應(yīng)國(guó)家推廣節(jié)能減排的政策，王老師家買了一輛新能源汽車．王老師連續(xù)一星期記錄了每天行駛的路程（每天以為基準(zhǔn)，超出記為正，不足記為負(fù)），如表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日路程0（1）該汽車行駛路程最多的一天是，這一天的實(shí)際行駛路程是．（2）若該新能源汽車每行駛耗電量為15度，每度電約為0.5元，求王老師這一星期開(kāi)新能源汽車的電費(fèi)．【分析】（1）根據(jù)題意及正數(shù)與負(fù)數(shù)的含義進(jìn)行分析求解即可；（2）先求出這七天高于（或低于）的標(biāo)準(zhǔn)所行駛的路程，再加上七天按標(biāo)準(zhǔn)行駛的路程，即可求解．【解答】解：（1）七天中，行駛路程最多的一天是星期六，這一天的實(shí)際行駛路程是：，故答案為：星期六，55；（2）元，答：小明家這一星期的汽車的電費(fèi)為15元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式3-2】今年的“十?一”黃金周是7天的長(zhǎng)假，徐州市呂梁風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天旅游人數(shù)變化如表（正號(hào)表示人數(shù)比前一天多，負(fù)號(hào)表示比前一天少）日期1日2日3日4日5日6日7日人數(shù)變化單位：萬(wàn)人+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4﹣0.2+0.4﹣0.5若9月30日的游客人數(shù)為0.1萬(wàn)人，問(wèn)：（1）10月4日的旅客人數(shù)為萬(wàn)人；（2）七天中旅客人數(shù)最多的一天比最少的一天多萬(wàn)人？（3）如果每萬(wàn)人帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)收入為50萬(wàn)元，則黃金周七天的旅游總收入為多少萬(wàn)元？【解答】解：（1）根據(jù)題意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4；故答案是：0.4；（2）10月1日有游客：0.1+1.1＝1.2（萬(wàn)），10月2日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（萬(wàn)），10月3日有游客：0.6+0.2＝0.8（萬(wàn)），10月4日有游客：0.8﹣0.4＝0.4（萬(wàn)），10月5日有游客：0.4﹣0.2＝0.2（萬(wàn)），10月6日有游客：0.2+0.4＝0.6（萬(wàn)），10月7日有游客：0.6﹣0.5＝0.1（萬(wàn)）；7天中旅客最多的是1日為1.2萬(wàn)人，最少的是7日為0.1萬(wàn)人，則七天中旅客人數(shù)最多的一天比最少的一天多1.2﹣0.1＝1.1（萬(wàn)人）；故答案為：1.1；（3）黃金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（萬(wàn)人），3.9×50＝195（萬(wàn)元），答：黃金周七天的旅游總收入約為195萬(wàn)元．【變式3-3】“十一”黃金周期間，某超市家電部大力促銷，收銀情況如下表，下表為當(dāng)天與前一天的營(yíng)業(yè)額的漲跌情況（上漲為正，下跌為負(fù)，單位：萬(wàn)元）．已知9月30日的營(yíng)業(yè)額為26萬(wàn)元：10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日+4+3+20﹣1﹣3﹣5（1）家電部黃金周內(nèi)哪天收入最高，為多少萬(wàn)元？哪天收入最低，為多少萬(wàn)元？（2）家電部黃金周內(nèi)平均每天的營(yíng)業(yè)額是多少萬(wàn)元？（精確到0.01萬(wàn)元）【解答】解：（1）∵9月30日的營(yíng)業(yè)額為26萬(wàn)元，∴10月1日的營(yíng)業(yè)額為26+4＝30萬(wàn)元，10月2日營(yíng)業(yè)額為30+3＝33萬(wàn)元，10月3日營(yíng)業(yè)額為33+2＝35萬(wàn)元，10月4日營(yíng)業(yè)額為35+0＝35萬(wàn)元，10月5日營(yíng)業(yè)額為35﹣1＝34萬(wàn)元，10月6日營(yíng)業(yè)額為34﹣3＝31萬(wàn)元，10月7日營(yíng)業(yè)額為31﹣5＝26萬(wàn)元，∴10月7日最低，營(yíng)業(yè)額為26萬(wàn)元；10月3日、4日為最高，營(yíng)業(yè)額為35萬(wàn)元；（2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（萬(wàn)元），∴家電部黃金周內(nèi)平均每天的營(yíng)業(yè)額是32.00萬(wàn)元．考點(diǎn)三：正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)律探究題例4.觀察下列數(shù)列，填上空缺的數(shù)．（1）1，，2，，3，______，______，______；（2）1，，3，，5，______，______，______．【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8．【解析】（1）從舉出的數(shù)可以看出，兩數(shù)之間互為相反數(shù)即可；（2）數(shù)字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶數(shù)前面是負(fù)號(hào)，奇數(shù)前面是正號(hào)．14．桌子上放有6枚正面朝上的硬幣，每次翻轉(zhuǎn)其中的4枚，至少翻轉(zhuǎn)次能使所有硬幣都反面朝上．【答案】3【詳解】解：用“”表示正面朝上，用“”表示正面朝下，開(kāi)始時(shí)，第一次，第二次，第三次，至少翻轉(zhuǎn)3次能使所有硬幣都反面朝上，【變式4-1】．觀察下面各數(shù)列，研究它們各自的變化規(guī)律，并接著填出后面的兩個(gè)數(shù)．（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，；（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，，；（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，，.【答案】1,-1;18,-20;-1,0.【詳解】(1)在該數(shù)列中，1與-1交替出現(xiàn)，故后面的兩個(gè)數(shù)分別為1，-1.(2)該數(shù)列可以看作是先將正整數(shù)中的偶數(shù)從小到大逐個(gè)排列起來(lái)再?gòu)牡诙€(gè)數(shù)開(kāi)始每隔一個(gè)數(shù)在原數(shù)前面添加負(fù)號(hào)而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，后面的兩個(gè)數(shù)分別為：18，-20.(3)該數(shù)列可以看作是以1，0，-1，0為一個(gè)基本單元并不斷重復(fù)而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，后面的兩個(gè)數(shù)分別為：-1，0.【變式4-2】（1）有一列數(shù)：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下來(lái)的3個(gè)數(shù)分別是，，；（2）有一列數(shù)：，，，，…．那么接下來(lái)的第7個(gè)數(shù)是．【答案】-9,10,-11;【詳解】(1)這一列數(shù)可以看作是先將正整數(shù)從小到大逐個(gè)排列起來(lái)再?gòu)牡诙€(gè)數(shù)開(kāi)始每隔一個(gè)數(shù)在原數(shù)前面添加負(fù)號(hào)而得到的.根據(jù)這一規(guī)律，接下來(lái)的3個(gè)數(shù)分別為：-9，10，-11.(2)對(duì)這一列數(shù)的分子與分母的規(guī)律分別進(jìn)行討論.①這一列數(shù)的分子可以看作是將正整數(shù)從小到大逐個(gè)排列起來(lái)而得到的.②觀察這列數(shù)的分母可以看出，，，，，…因此，這列數(shù)的分母可以看作是該分?jǐn)?shù)的分子與其自身之積再加上1而得到的.根據(jù)上述規(guī)律，第7個(gè)數(shù)的分子應(yīng)為7，第7個(gè)數(shù)的分母應(yīng)為，即第7個(gè)數(shù)應(yīng)為.【變式4-3】觀察下面依次排列的一列數(shù)，請(qǐng)接著寫出后面的3個(gè)數(shù)，你能說(shuō)出第10個(gè)數(shù)、第105個(gè)數(shù)、第2015個(gè)數(shù)嗎？(1)一列數(shù)：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；(2)一列數(shù)：－1，eq\f(1,2)，－3，eq\f(1,4)，－5，eq\f(1,6)，____，____，____，….【分析】(1)第n個(gè)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此數(shù)為n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此數(shù)為－n；(2)第n個(gè)數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此數(shù)為－n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此數(shù)為eq\f(1,n).【詳解】(1)7，－8，9；第10個(gè)數(shù)為－10，第105個(gè)數(shù)是105，第2015個(gè)數(shù)是2015；(2)－7，eq\f(1,8)，－9；第10個(gè)數(shù)為eq\f(1,10)，第105個(gè)數(shù)是－105，第2015個(gè)數(shù)是－2015.方法總結(jié)：解答探索規(guī)律的問(wèn)題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號(hào)的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列的特征．一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·廣東汕頭·期末）在，，0，，中分?jǐn)?shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在，，0，，中，分?jǐn)?shù)有，，，共3個(gè)，故選：C．2．（23-24七年級(jí)上·河南許昌·期中）在十月份結(jié)束的杭州亞運(yùn)會(huì)女子舉重49公斤級(jí)比賽中，朝鮮選手李盛金創(chuàng)造該組賽會(huì)記錄和世界記錄，以總成績(jī)216公斤奪冠，中國(guó)選手蔣惠花以總成績(jī)213公斤拿到銀牌，泰國(guó)選手素乍龍以總成績(jī)199公斤獲得銅牌．若將216公斤記為，則199公斤可記為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解基準(zhǔn)的確定是解本題的關(guān)鍵，先確定基準(zhǔn)為公斤是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：將216公斤記為，則215公斤記為0，那么，199公斤可記為，故選C3．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期中）初中一年級(jí)女生仰臥起坐滿分標(biāo)準(zhǔn)為50個(gè)，個(gè)數(shù)為54個(gè)記為個(gè)，則個(gè)數(shù)為46個(gè)應(yīng)記為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．4個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，理解題意是解題關(guān)鍵．根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義即可得．【詳解】解：初中一年級(jí)女生仰臥起坐滿分標(biāo)準(zhǔn)為50個(gè)，則個(gè)數(shù)為46個(gè)應(yīng)記為個(gè)，故選：B．二、填空題4．大米包裝袋上的標(biāo)識(shí)表示此袋大米重量的范圍是．【答案】【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中的實(shí)際意義，根據(jù)大米包裝袋上的質(zhì)量標(biāo)識(shí)，求出大米質(zhì)量范圍，即可．【詳解】∵大米包裝袋上的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為，∴大米的重量范圍為：．故答案為：．5．（23-24七年級(jí)上·廣東肇慶·期末）某廠家生產(chǎn)一種袋裝食品的標(biāo)準(zhǔn)重量是500克，質(zhì)檢員把每袋超出的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)，質(zhì)檢員隨機(jī)測(cè)得袋食品質(zhì)量為501克，則記作．【答案】【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)“超出的部分記作正數(shù)，不足的部分記作負(fù)數(shù)”即可作答．【詳解】解：由題意可知：，應(yīng)記作+1．故答案為：．6．（23-24七年級(jí)下·福建福州·期中）某蓄水池的標(biāo)準(zhǔn)水位記為，若表示水面高于標(biāo)準(zhǔn)水位，則水面低于標(biāo)準(zhǔn)水位，可記為m．【答案】【分析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【詳解】解：若表示水面高于標(biāo)準(zhǔn)水位，則水面低于標(biāo)準(zhǔn)水位，可記為．故答案為：．三、解答題7．如圖，兩個(gè)圈分別表示正數(shù)集和整數(shù)集，請(qǐng)你從，9，0，，3.14，，1300這些數(shù)中，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)填入圖中相應(yīng)的位置．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了有理數(shù)的分類．正數(shù)集合與整數(shù)集合的交集是正整數(shù)集合．注意數(shù)字0，它不屬于正數(shù)和負(fù)數(shù)，是整數(shù)．根據(jù)正數(shù)及整數(shù)的概念進(jìn)行區(qū)分判斷，兩個(gè)集合里都含有的數(shù)就是符合條件的數(shù)．【詳解】解：，9，0，，，，1300中，屬于正數(shù)的有：9，3.14，，1300；屬于整數(shù)的有：，9，0，1300．所以既是正數(shù)也是整數(shù)的是9，1300．填入數(shù)字如下圖所示：8．把下列各數(shù)按要求分類填在相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：，，，0，，，，．(1)整數(shù)集合：｛

｝(2)分?jǐn)?shù)集合：｛

｝(3)非負(fù)整數(shù)集合：｛

｝(4)負(fù)有理數(shù)集合：｛

｝【答案】(1)，，0，(2)，，(3)0，(4)，，，，【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類：（1）根據(jù)整數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義求解即可；（3）根據(jù)非負(fù)整數(shù)是大于等于0的整數(shù)進(jìn)行求解即可；（4）根據(jù)負(fù)有理數(shù)是小于0的整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：整數(shù)集合：｛，，0，｝，故答案為：，，0，；（2）解：分?jǐn)?shù)集合：｛，，｝，故答案為：，，；（3）解：非負(fù)整數(shù)集合：｛0，｝，故答案為：0，；（4）解：負(fù)有理數(shù)集合：｛，，，，｝，故答案為：，，，，．9．（2023秋?荔灣區(qū)期末）某學(xué)校校運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式上舉行火炬?zhèn)鬟f儀式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人傳遞里程為60米．以60米為基準(zhǔn)，其中實(shí)際里程超過(guò)基準(zhǔn)的米數(shù)記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)，并將其稱為里程波動(dòng)值．下表記錄了部分火炬手的里程波動(dòng)值．棒次123456789101112里程波動(dòng)值263041（1）第2棒火炬手的實(shí)際里程為66米，第6棒火炬手的實(shí)際里程為米；（2）若第4棒火炬手的實(shí)際里程為61米，求第10棒火炬手的實(shí)際里程．【分析】（1）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義列式計(jì)算即可．【解答】解：（1）（米，（米，即第2棒火炬手的實(shí)際里程為66米，第6棒火炬手的實(shí)際里程為58米，故答案為：66；58；（2）第4棒火炬手的實(shí)際里程為61米，第4棒火炬手的里程波動(dòng)值為1，則（米，即第10棒火炬手的實(shí)際里程為63米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．10．（23-24七年級(jí)上·河南鶴壁·期中）出租車司機(jī)小張某天在季華路（近似的看成一條直線）上行駛，如果規(guī)定向東為“正”，向西為“負(fù)”，他這天上午的行程可以表示為：，，，，，，，，，（單位：千米）(1)小張將最后一名乘客