題中南楊立丁燕洪天然

口增長模摘本文根據(jù)中國—2005年總?cè)丝跀?shù)（中計年鑒）及附件中數(shù)據(jù)，建立了五個未來總?cè)丝诩叭丝诮Y(jié)構(gòu)進行的模型并對結(jié)果進行了分析，首先根據(jù)中國—2005年總?cè)丝跀?shù)的大致趨勢圖建立了二次指數(shù)平滑模型（式1.1—1.7。然后利用SAS（V8）對其進行求解，得到—2055年總?cè)?.4，13144876萬，可見，該模型對于中短期的總?cè)丝诰哂袦?zhǔn)確性，且對長期的總?cè)丝谟幸欢▍⒖純r值。d,q)模型（式2.1—2.6）。再利用SAS（V8）求解得到—2055年總?cè)丝诘念A(yù)測（表2.1和2.2），且值通過了白噪聲檢驗因此值是合理的其中2006年的值為131516.3萬?；谌丝谙到y(tǒng)的灰色性，根據(jù)—2005年總?cè)丝跀?shù)建立了灰色模（式3.1—3.5，為了提高精確度，建立了灰色動態(tài)模型（式3.6，為了更好地反映序列的增長規(guī)律，改用年凈增值進行灰色動態(tài)。通過比較值，可知采用改進模型的結(jié)果是最佳的（表3.1—3.6，其中2006年總?cè)丝谥禐?3.14763，之后一直呈平緩的上升趨勢，2055142885.6萬。為了對未來人口結(jié)構(gòu)進行，基于萊斯利人口增長模型，考慮到率隨時間變化而變化以及男女性人口結(jié)構(gòu)的變化，建立了改進萊斯利模型（式4.9—4.16（4.6，2006年—2050年各婦女的率；并利用ARIMA(p,d,q)模型對男女出生比例進行），通過7.0得到結(jié)果（附錄十）。對結(jié)果進行分析，13.2億，之后持續(xù)減少，水平降。出現(xiàn)該結(jié)論的原因在于政策使得率很低，為了解決該問題，建議改變政策，提高率，所以對率進行修正，再用以上模型進行（附錄十一），減緩了人口化進程，控制了204615.4億，之后稍下降。考慮到人口的遷移將影響未來的城、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口比，對模型加入遷移率，等效于率，對以上模型進行擴展（式4.17），得到新的值（附錄十二），表明我國人口城鎮(zhèn)化將加再次考慮到人口的結(jié)構(gòu)及控制，建立了偏微分方程模型（5.1—5.6）。通過7.0擬合得到初始密度、率和嬰兒出生率等函數(shù)，從而得到穩(wěn)定狀態(tài)下的各人口在t時刻的人口密度函數(shù)，通過數(shù)值解法求得了值。其中，200613.13億。最后對以上五個模型進行優(yōu)缺評價前三模型適用于中短期的總?cè)丝?，改進萊斯利模型對于人口結(jié)構(gòu)的中短期和長期均適用，偏微分方程模型適用于人口結(jié)構(gòu)的和控制。關(guān)鍵字：ARIMA模型凈增長灰色動態(tài)改進萊斯利模型偏微分方程模問題重一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因一。關(guān)于中國人口問題已有多方面的研究，并積累了大量數(shù)據(jù)資料。附件2就是從《口近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，化進程加速、出生人口比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著口的增長。2007年初發(fā)布的《國家人口發(fā)展》(附件1)還做出了進一步的分析2中的相關(guān)數(shù)據(jù)或是搜索到的相關(guān)文獻所補充新的數(shù)據(jù)，建立口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此口增長的中短期和長期趨勢做出問題分問題背景分眾所周知，人口問題是我國目前以及將來都要著的極為重要的問題，同時也是人們長期以來一直關(guān)注著的問題。無論是對我國目前國民經(jīng)濟發(fā)展?fàn)顩r的認識還是對我國未來經(jīng)濟發(fā)展趨勢的口問題的研究都具有十分重要的意義。近年來口發(fā)展呈現(xiàn)新的特點，例如，化進程加快、人口城鎮(zhèn)化加劇。人們對人口的研究也越來越多，的人口模型也越來越多，結(jié)果問題要求分中短期及長期總?cè)丝谥卸唐诩伴L期的人口結(jié)構(gòu)根據(jù)分析未來我國人口增長的特點基本假1、不考慮、自然等重大事故對人口的影響2總和率——一定時期（如某一年）各組婦育率的合計數(shù)，說明每名婦女按照某一年的各組率度過育齡期，平均可能的數(shù)，是衡量生2模式——某的女性的因子人口撫養(yǎng)比——指人口總體中非勞動人口數(shù)與勞動人口數(shù)之比通常百分比表示。說明每100名勞動人口大致要負擔(dān)多少名非勞動人口。用于從人口角度反映人口與經(jīng)濟發(fā)展的基本關(guān)系勞動人口的兩種不同定（15-歲人口或15-64歲人口），15——64模型的建立及求二次指數(shù)平滑法模數(shù)據(jù)補題中要求人口做出分析和其中包括人口增長趨勢和人口結(jié)構(gòu)特點的。人口總數(shù)是最主要的指標(biāo)之一，所以先僅就以前年份的人口總數(shù)未來幾十年的人口總數(shù)進行初步，將其作為人口結(jié)構(gòu)的參考。在已有的附件表 中國——2005年的總?cè)丝跀?shù)據(jù)數(shù)（萬數(shù)（萬通過查資料[2]20061.2表 2006年部分人口資料二次指數(shù)平滑法建模型提1.1所示數(shù)據(jù)，用EXCLE171989人數(shù)圖 中國1989人數(shù)由表1.1所給數(shù)據(jù)及圖1.1所示，可以看出——2005年的總?cè)丝跀?shù)是大致呈現(xiàn)平穩(wěn)上升趨勢的序列數(shù)據(jù)。而二次指數(shù)平滑法正適用于此類序列數(shù)據(jù)的，所以利用——2005年的總?cè)丝跀?shù)，采用二次指數(shù)平滑法對未來幾十年的總?cè)丝跀?shù)進行。將2006年的總?cè)丝跀?shù)作為對效果的檢驗參考。符號說yt——第tyt——第t期的人口M——平均絕對百分誤二次指數(shù)平滑法二次指數(shù)平滑法也稱布朗指數(shù)平滑法運用該方法進行可以分為以下四個步驟一：S1ytM1

y11M

N t 1S1M1, N

S1y1S

ttt記二次指數(shù)平滑值為S2，是對S1tt tS2S11 t

二次指數(shù)平滑法把線性趨勢方程的參數(shù)看作參數(shù)變量，隨新增樣本信息而變化。變參數(shù)線性趨勢方程的形式為：TT式中，tT——期

ytTat

at——T為0時的截距，即的起始數(shù)步驟三：參數(shù)的求解（1.4中的參數(shù)at和bt）1.2易得到下式： 1 t

a2S1S

bt

1

St該模型有無限 能力，作一 時

yt1

1

2S1

S1 1 ytT二次指數(shù)平滑法模型求1.1yt17口數(shù)的值，如表1.3和1.4所示表1.3二次平滑法 ——2005年總?cè)丝跀?shù)值及實際實際值（萬） 值（萬）124863.1 表1.4二次平滑法的2006——2055年總?cè)丝跀?shù)值準(zhǔn)確度分依據(jù)以上模型求解的結(jié)果，知道——2006年的總?cè)丝诘膶嶋H值。值可以看到2006年值與實際值之間的絕對誤差僅為76萬，差距比較小，為了更好地驗證值的準(zhǔn)確性，對值的準(zhǔn)確度進行檢驗。。準(zhǔn)確度是指結(jié)果與實際狀況相符合的程度，與誤差大小呈反向性，因而可均誤差，平均絕對百分誤差。在此，采用平均絕對百分誤差，即n個相對誤差絕對

以 表示

yt通過計算，得到——2006年的實際值與值的相對誤差表，如下：表1.5 yt5根據(jù)表1.5的數(shù)據(jù)及式 得到平均絕對百分誤差M為0.由此，可以認為該模型 效果達到一定的準(zhǔn)確度二次指數(shù)平滑模型優(yōu)缺評該模型的優(yōu)點：依據(jù)——2005年的總?cè)丝跀?shù)的圖象趨勢，建立與之相應(yīng)的模型進行，直觀明了，由值與～2006年的實際值進行比較，誤差很小，可見，對于短期的人口比較適用。ARIMA（pdq）模模型簡ARMA(p,q)序列St1St12St2 pStpt1t12t2 qt

（其中φ1φ2,…,φpθ1,θ2θq為實數(shù)，p，q為非負實數(shù)，t}為白噪聲序列。{st}為平穩(wěn)時間序列）推移算子B定義如下：Bstst-1Bkstst-kBtst-1Bktst-算子多項 φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq φ(B)st=θ(B)t ARIMA(pdq)序列d,q)序列，Xt滿足。φ(B)dXt=θ(B)t 模型提ARIMA模型即自回歸累積移動平均模型，是能夠平穩(wěn)及非平穩(wěn)的時間序列的一類線性模型，人口數(shù)是一種典型的時間序列數(shù)據(jù)，考慮到數(shù)據(jù)的自相關(guān)性，提出了ARIMA(p,d,q)模型對人口數(shù)進行。ARIMA(pdq)建模Daniel檢驗()和數(shù)據(jù)的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)(見文獻[4來判斷原始數(shù)據(jù)確定的時間序列是否平穩(wěn).以達到平穩(wěn).dARMA（p,q）模型，然后利AIC定階準(zhǔn)則(見文獻[5])p,q的值。ARMA（p，q）ARMA（p，q）pStpt1t1pStpt1t12t2qtφ1,φ2,…,φp;θ1,θ2,…,θq步驟三：檢(見附錄二)來檢驗這一特征步驟四：利用所擬合的模型進行模型求原數(shù)據(jù)有明顯的上升趨勢，因而對其先做一差分，用SS（8）得出數(shù)2.12.2，其橫軸表示二階偏相關(guān)系數(shù)，縱軸表示步長。圖2.1二階自相關(guān)系數(shù) 圖2.2二階偏相關(guān)系數(shù)可見以上兩圖既無拖尾性又無截尾性[3]，則認為人口數(shù)是非平穩(wěn)序圖2.3二階自相關(guān)系數(shù) 圖2.4二階偏相關(guān)系數(shù)由以上兩圖，可看到序列再二階差分后，序列基本上達到平穩(wěn)，所以選取d=2ARMAAICp=1，q=1的模型，得到——2005年及未來五十年的值。如表2.1和表2.2表 ARIMA法得1989——2005年的實際值與112704 表 ARIMA法得2006——2055年的值 值檢利用白噪聲檢驗法對該數(shù)據(jù)進行檢驗，其特點是結(jié)果具體操作如下：2.52.5由圖2.5知白噪聲檢驗p均大于臨界值0.05，即通過白噪聲檢驗，認為結(jié) ARIMA模型優(yōu)缺評1、ARIMA2、跟二次指數(shù)平滑法模型類似，ARIMA模型不考慮任何自變量對人口數(shù)的影的有較好的結(jié)果，但長期有較大偏差?；疑ＤＰ吞峄疑到y(tǒng)理論是一門橫斷面大、滲透性強、應(yīng)用面極廣的邊緣學(xué)科，它是由我1982成、開發(fā)，提取有價值的信息，實現(xiàn)對系統(tǒng)的正確認識和有效控制。灰色模型屬于全因素的非線性擬合外推類方法，在形式上是單數(shù)列，只運用研究對象自身的時間序列建立模型，與其相關(guān)聯(lián)的因素沒有參與建模，這正是灰色系統(tǒng)“灰”的體現(xiàn)。因為任何一個系統(tǒng)究竟包含多少因素，難以說清。比如人口系統(tǒng)的再生產(chǎn)是由、、疾病、、環(huán)境、社會、經(jīng)濟等諸多因素影響、制約的共同結(jié)果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標(biāo)就能表達清楚，它們對人口增長的潛在而復(fù)雜的影響更是無法精確計算。這反映人口系統(tǒng)具有明顯的灰色3． GM(1,1)灰色模型原此問題中 ——2005年的人口數(shù)呈現(xiàn)出時間序列，可以采用

02,X03,...X0n, X(0)(k

(k)

X(0)(k

((0)(2),(0)(3),……，(0)然后檢驗級比(k)是否落于可容覆蓋中，比如n4,(k)n5,(k)n6,(k)當(dāng)(k)均落于可容覆蓋，則該序列可做GM(1,1)建模和進行數(shù)列灰GM（1，1）建模X11,X12,...,X1

aaa(BTB)1

u u1/2[x(1)(2)x(1) 1B

1/2[x(1)(3)x(1) 1 1/2[x(1)(n)x(1)(n 1 及Y

x(1)(k)(x(0)(1)u)ea(k1)uq'(1) 然后進行累減，便可以得到值kx(0k?(0)(k之殘差e(k、相對誤差和平均相對誤差ke(k)x(0)(k)?(0)(k)， x(0)

100%

1nknkk

x，殘差平均值e1n

ne(0)(knx nk

e

k

n12求出原始數(shù)據(jù)方差s2s2的均方差比值Cn12s 1s =

[x(0)(k)x]2ks21 n1

[e(0)(k)e

C=s2/

k p=P{e(0)(k)

<0.6745s1通常e(k、k、Cp值越大，則模型精度越好。若0.01且kC<0.35p>0.95,則模型精度為一級。根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，當(dāng)發(fā)展系數(shù)a(-且a0.3時，則所建GM(1,1)模型則可用于中長期3． 灰色動態(tài)模型原理（灰色模型的改進為了提高的精確度，對灰色模型進行改進。引入殘差模型，修正值，并將新得到一年的值加入數(shù)據(jù)序列，同時淘汰序列中的最老數(shù)據(jù)，

(0)(k){

(0)iGM（1，1， k+1年i

x(0k1值，然i去掉x(0)(1)，加入k+1年的值x(0)(k1)，重新構(gòu)成等維動態(tài)序i k){x(1)(2),x(1)(3),...x(1)(k),x(1)(k

根據(jù)新的動態(tài)序列再建立灰色模型GM(1,1),出k+2年的ix(0)(k2)，如此遞推，逐個直至目標(biāo)實現(xiàn)i3．4灰 模型求根據(jù)3.2中所述原理，——2005年總?cè)丝跀?shù)據(jù)代入模型，得——2005年及未來五十年的總?cè)丝跀?shù)的值。其中——2005年數(shù)據(jù)及相對誤差如下表3.1所示，后五十年數(shù)據(jù)如表3.2所示 ——2005年的總?cè)丝谥导跋鄬φ`差值0表 2006——2055年的人口灰 值3． 灰色動 模型求由表2.2中得到2006年的值為13.3億多,與實際值13.1億多相差很大,且值在第2055年增至20多億，可知一般灰色效果不好，其快速增長，作——2005年總?cè)丝跀?shù)據(jù)代入模型，得到新的未來五十年的總?cè)丝跀?shù)的值，如下表所示：表 2006——2055年的人口灰色動態(tài)值由上述表中的數(shù)據(jù)看到數(shù)據(jù)仍然呈快速增長趨勢，運用動態(tài)模型對模型進行改進，見3.636模型改年份(年年份(年年份(年從表中發(fā)現(xiàn)——2005年的年凈增長數(shù)大致是逐年遞減的，若直接用17年的總?cè)藬?shù)作為基數(shù)進行灰色則未能很好地考慮到人口凈增長的遞減規(guī)律，所以，改用每年的人口凈增長數(shù)進行灰色，再將上一年的人口數(shù)加上這一年的人口凈增長值，即為該年的人口值。人口凈增長值分別依據(jù)灰色模型和灰色動態(tài)模型得到兩組值再得到兩組人口值分別為表3.5和3.6表 改進后2006——2055年的人口灰色值表3.6改進后2006——2055年的人口灰色動態(tài)值由上表3.5和表3.6可得到2006年的值為13.14763,與實際值13.1448相差不大，證明了以上模型對于中短期的準(zhǔn)確性。且未來五十年的人口值控制在了14.5億內(nèi)，根據(jù)文獻資料[6]中長期人口結(jié)果分析中所示，當(dāng)率保1.8時，2005年至2050年的人口將控14.5億內(nèi)，證明了該模型對于中長期37模型優(yōu)缺評這些因素對人口的影響也是難以精確計算的，對——2005年的總?cè)丝?，利（）改進萊斯利（Leslie）人口增長萊斯利（Leslie）人口增長模型原1945年,萊斯利創(chuàng)造的一個矩陣模型法,建立了離散等級的t后種群的大小,且能從初始分布,找出經(jīng)過一段時間以后的種群分布。人口結(jié)構(gòu)按分布正符合此規(guī)律，所以考慮利用此模型思想建立數(shù)學(xué)模型對未來我國人口進行。0x(k)100anx(k1)0 (k2

X(k)LX(k

00an 000i式中，xk——第k年第i組的女性人口iai——每一個女性在第i組期間兒女的平均bi——第i組的女性可望活到第（i+1）組的分4 改進萊斯利（Leslie）人口增長各率的確1）模式原理記為r的女性在時刻t的總和率為art，時刻t 數(shù)為t， 為r的女性在時刻t的 因子為hr,t，即生ar,t=thr,t

在穩(wěn)定的環(huán)境下可以近似地認為它與t無關(guān)，即hrt=hr。借用概率論中分布來表示hrrr

re取2,n2

hr

11

,r

hhr,t=hr

圖 模式hr示意通過附件中2001年——2005年的15歲——49歲婦女的率資料，：0圖 2001～2005年城市各段女0由圖4.2可見2003年數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常而資料[8]顯示2003年率并沒有出現(xiàn)異?，F(xiàn)象，所以認為2003年數(shù)據(jù)的異常為錄入錯誤，視為無效。由另外4年的率曲線圖可見其形狀趨勢均與圖4.1近似，且由文獻[8]，了解到在穩(wěn)定的環(huán)境下可以近似地認為它與t無關(guān)，即hrthr。所以，認為生利用hrthr，將式4.3轉(zhuǎn)化為hr=ar,t/t1

先利用2001——2005年的各率數(shù)據(jù)，利用式（4.6）得到這 模式（hr將其平均，得到各 附錄三再利用1995年——2005年的所有婦女的總和率出未來幾十 率t。再通過式（4.6）得到未來幾十年的各婦女的率總 率t·由于缺2000年的率，所以利用1995年——1999年和2001年——2005年的率對其進行三次樣條插值，補充2000年的率。得到結(jié)果如下：表 2000年的城鎮(zhèn)鄉(xiāng)率1995年——2005年的所有率表見附錄·ARIM（111對鎮(zhèn)人口率采用ARIMA(1，1，0)、鄉(xiāng)人口率采用ARIMA（0，1，1）進行，結(jié)果見附錄五，·總和率的（t將附錄五中的 的數(shù)據(jù)乘以育 率t各各年的率的確由1）——3）中確定的 男女嬰出生2ARIMA（2，0，0ARIMA（1，0，0率計 了解到1978年——2005 率基本維持在6.5‰左右可知 城（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)）男女人數(shù)的計算（2005年2005年女性人口數(shù)為（以城市為例dix0di2005年人口數(shù)為（以城市為例diy0dii式中，x0——2005年的第i組的女性人口iiy0——2005年第i組的人口iS——2005

d——2005Ai——第iBi——第i組占城市總?cè)丝跀?shù)的比改進萊斯利（Leslie）人口增長模由于要未來年份的各的人口結(jié)構(gòu)，所以不對進行個別處理，僅將0歲——90+92個組，區(qū)間為1年。所以根據(jù)前面的數(shù)據(jù)處理，有各城（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)）男女每個組的率、男女嬰出生率。分別對城（鎮(zhèn)鄉(xiāng)）的人口和女性人口進 x·城（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)）女性人口xi假設(shè)已知在時刻t=0時每一個組中的女性人數(shù)，令在第i組中有i

00x(0)0X(0)

(0)x1x x(0)n稱該向量為初始分布向量（在此問題中i記時刻tk年時第i組中的女性人數(shù)為xk，則有第k年的分布向量如下ix(k)0x(kX(k)1 x(k)ni記ak(i0,1, ,n)為第k年，第i組的嬰兒出生率，k為第k年所i嬰中女嬰所占比例，則女嬰出生率為kak，記b(i1, ,n)為第i組女性 kk0k1ak

k1ak

k1ak

ak

k1ak1x(k)

x(k1) 1

(k1) x(k 000x(k1 1?01?0 i注其中由于育齡婦女是15——49歲,ak0(i i

X(k)L(k1)X(k

k1ak k1ak k1ak

k1ak

k1ak1

n11

1

1 1 由式（4.10）

X(1)L(0)X(0)X(3)L2X(2)

因此，如果已知初始分布向量X0及第k年的Lk，就可以求得任·城（鎮(zhèn)、鄉(xiāng) 人口yi假設(shè)已知在時刻t=0時每一個組中的人數(shù)，令在第i組中有yi

00y(0)0Y(0)

(0)y1y y(0)稱該向量為初 分布向量

ni記時刻tk年時第i組中的人數(shù)為yk，則有第k年的分布向量如下iy(k)0y(kY(k)1 y(k)ni記ak(i1, ,n)為第k年，第i組的嬰兒出生率，k為第k年所生i兒中女嬰所占比例，則男嬰出生率為(1k)ak，記c(i1, ,n)為第i組 性的率Y(k)

YkL'Yk1L"k1Xk

由式（4.14）

Y(1)L'Y0L''(0)X(0)Y(2)L'Y1L"1X(1)

L

2L

X(2)

y(y(k) y(k)10001 ny(k0001 000000y(k1)y10001cy(knnn k k k k k k000000(1 0 k k1 00 k k012n1x(k1)(k x1 00000x(kY(k)L'Yk1L"k1X(k1)因此如果已知初始分布向量Y0和X0及第k年的L"k和L'就可以求得·城（鎮(zhèn)、鄉(xiāng)）男女兩性結(jié)構(gòu)綜合矩陣模型xk

xk10

k