相似三角形的判斷及性質(zhì)課件

相似三角形的判定復(fù)習(xí)回顧1.全等三角形判定定理:(1)兩邊及夾角對應(yīng)相等;邊,角,邊(2)兩角及夾邊對應(yīng)相等;角,邊,角(3)兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等;角,角,邊(4)三邊對應(yīng)相等;邊,邊,邊相似三角形的定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).復(fù)習(xí)回顧BACACB（三角三邊）EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACB∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//BCED//BCFBDE為ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延長線于F△ADE∽△ABC預(yù)備定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。ABCDEEDABC判定定理1

對于任意的兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角相等，那么這兩個三角形相似。兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似∽ABCDE例1如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一點,

BD=BC.求證:BC2=ACCD分析:

遇到線段的比例問題可以考慮三角形的相似證明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C為公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=ACCDBCDA例2

如圖，圓內(nèi)接△ABC的角平分線CD延長后交圓于一點E，求證：ABCED∽∽ABCDE法一:截取AD=,作DE//BC.∽∽=∽(邊,角,邊)判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似∽ABCDE思考：此題有別的解法嗎？∽∽=∽若截取AD=,AE=呢？故只須DE//BC即可。CBADE已知:如圖△ABC中,點D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE證明:作DE//BC,交AC于E∴AE=AE因此E與點E重合即DE與DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.在探究數(shù)學(xué)問題的過程中，應(yīng)當(dāng)做到“步步有據(jù)”。有時,為了尋找某個步驟的推理依據(jù),往往會產(chǎn)生一個原命題的輔助問題.數(shù)學(xué)家把這種輔助問題稱為引理.

當(dāng)直接證明比較困難時,用間接法.“同一法”是一種間接證明方法.“同一法”證明問題時:先作出一個滿足命題結(jié)論的圖形,然后證明圖形符合已知條件,確定所做圖形與提設(shè)條件所指的圖形相同,從而證明命題成立.例3.如圖，在△ABC內(nèi)任取一點D,連接AD和BD,點E在△ABC外,∽ABECD證明:在△DBE與△ABC中,∽由(1)(2)及判定定理2知∽ABCCBA已知:如圖,在△ABC和△ABC中求證:△ABC∽△A’B’C’證明:

在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=AB,過點D作DE//BC,交AC于點E.DE△ADE∽△ABC∵AD=AB∴△ADE≌△ABC∴△ABC∽△ABC求證:ΔDEFΔABC∽ABCDFE例4.如圖,已知D,E,F分別是ΔABC三邊BC,CA,AB的中點。證明:∽定理

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。∽∽ABCA?B?C?.kCAACBAAB：=￠￠=￠￠設(shè)證明例5如圖，已知AD,BE分別是ΔABC中BC邊和AC邊上的高，H是AD,BE的交點。ABDCHE∽∽

相似三角形的有關(guān)性質(zhì)2.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。ABDCA′B′C′D′2.相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；ABDCA′B′C′D′∽∽CBA￠￠￠DDABC:證明（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。ABDCA′B′C′D′復(fù)習(xí)相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。ABCA′B′C′HH′DD′EE′習(xí)題1.310.如圖,平行四邊形ABCD中,AE︰EB=1︰2求:△AEF與△CDF的周長比;如果△AEF的面積等于6cm2,求△CDF的面積.ADEBCF習(xí)題1.35.如圖,線段EF平行于四邊形ABCD的一邊AD,BE與CF交于一點G,AE與DF交于一點H.求證:GH//AB.ABCDEFGH預(yù)備定理定義

引理習(xí)題1.36.已知:DE//AB,EF//BC.求證:△DEF∽△ABC.7.△ABC是鈍角三角形,AD,BE,CF分別是三條高.求證:AD·BC=BE·ACABCEDFOABCDEF三邊對應(yīng)成比例△ACD∽△BCE.例6.如圖,銳角三角形ABC是一塊鋼板的余料,邊BC=24cm,BC邊上的高AD=12cm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.求這個正方形零件的邊長.ABCMDQPNE解:設(shè)正方形PQMN為加工成的正方形零件.邊QM在BC上,頂點P,N分別在AB,AC上.△ABC的高與邊PN相交于點E.設(shè)正方形的邊長為xcm.x∽相似三角形中的高，中線，內(nèi)角平分線，周長，面積等要素都與相似比有關(guān).思考：

那么，與三角形有關(guān)但不在三角形內(nèi)的其他元素是否與三角形的相似比有聯(lián)系呢？你想到哪些元素？三角形的外接圓和內(nèi)接圓問題1兩個相似三角形的外接圓的直徑比，周長比，面積比與相似比有什么關(guān)系？探究：ABDCOA′B′D′C′O′∵∠C=∠C′而∠D=∠C∠D′=∠C′∴∠D=∠D′,∽∴Rt△ABDRt△A′B′D′結(jié)論：兩個相似三角形的外接圓的直徑比，周長比等于相似比；面積比等于相似比的平方。問題2兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比，周長比，面積比與相似比有什么關(guān)系？結(jié)論：兩個相似三角形的內(nèi)切圓的直徑比，周長比等于相似比；面積比等于相似比的平方。Rr四直角三角形的射影定理點在直線上的正射影從一點向一直線所引垂線的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影。一條線段在直線上的正射影線段的兩個端點在這條直線上的正射影間的線段。A′AANMNMABA′B′點和線段的正射影簡稱射影探究：△ABC是直角三角形，CD為斜邊AB上的高。你能從射影的角度來考察AD與CD，BD與CD，BC與AC。你能從發(fā)現(xiàn)何關(guān)系？ABDC∽∽∽射影定理直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。ABDC用勾股定理能證明嗎?∵AB2=AC2+BC2∴(AD+BD)2=AC2+BC2即2AD·BD=AC2-AD2+BC2-BD2∵AC2-AD2=CD2BC2-BD2=CD2∴2AD·BD=2CD2∴CD2=AD·BD而AC2=AD2+CD2=AD2+AD·BD=AD(AD+BD)=AD·ABABDCO例1如圖,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的長.習(xí)題1.41.ABDC直角△ABC中已知:CD=60AD=25求：BD,AB,AC,BC的長BD=144,AB=169,AC=65,BC=156例2

△ABC中，頂點C在AB邊上的射影為D，且CD2=AD·DB求證：△ABC是直角三角形。ABDC證明:在△CDA和△BDC中,∽平行線等分線段定理平行線分線段成比例定理推論1推論2推論1.2節(jié)例3引理預(yù)備定理判定定理3判定定理1判定定理2相似三角形概念直角三角形相似的判定定理射影定理相似三角形性質(zhì)射影概念勾股定理1.從特殊到一般的思考方法.數(shù)學(xué)方法:在研究數(shù)學(xué)問題時,通過考察特殊性問題獲得一般規(guī)律的猜想,并從中得到證明一般規(guī)律的思想方法的啟發(fā);然后由特殊過渡到一般,對一般性結(jié)論作出嚴(yán)格證明.2.化歸思想方法.在研究問題時,常常通過一定的邏輯推理,將困難的,不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為容易的熟悉的問題.恒等變形,換元法,數(shù)形結(jié)合法,參數(shù)法等,都是具體的化歸方法.相似三角形的證明采用了化歸為預(yù)備定理的方法.習(xí)題1.42.如圖，△ABC中∠BAC=60°CD⊥AB求證：BD=AB-ACACBD60°3.如圖，已知線段a,b.求作線段a和b的比例中項。ab3.已知:如圖，在梯形ABCD中，AD//BC.E,F分別是AB,CD的中點。連接EF交BD于點G,交AC于點H.求證：GH=1/2(BC-AD)EFABCGHD例2.(p9)3.如圖.A,B兩點間隔一個湖泊,因而A,B兩點間的距離無法直接測量,請你設(shè)計一個間接測量AB長度的方案,并說明其合理性.ABCDEABC思考:平行線截線段成比例在空間成立嗎?如果將平行線改為平面呢?三.平行線分線段成比例定理的推廣探究:平行線改為平面后，應(yīng)考慮兩種情形：ABCDEFABCDEFGPQRABCDE平行線分線段成比例定理:

三條平行線截兩條直線，所得的對