二次函數(shù)中與角有關(guān)的存在性問題

3AGFG1AGFG19)<7)的坐標為7,_或5,-—k2丿k2丿（二）?利用相似三角形構(gòu)造相等角例2如圖，拋物線y=2x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與尹軸交于點C,其對稱軸交拋物線于點D,交x軸于點E,已知OB=OC=6.（1）求拋物線的解析式及點D的坐標;（2）連接BD，F(xiàn)為拋物線上一動點，當/FAB=ZEDB時,求點F的坐標；解：（1）因為OB=OC=6,所以B（6，0），C（0,-6）,將B、C點坐標代入解析式，y=2x2-2x-6=2"-2'-8，所以點D的坐標為（2,—8）(1)如圖1,過F作FG丄x軸于點G,設(shè)Fx2-2x—6，則FG=k2丿當/FAB=/EDB時，且/FGA二/BED,de所以AFAGs\BDE，所以一一EB當點F在x軸上方時，則有x+2=x2-4x-12，解得x=—2（舍去）或x=7,此時F點的坐標為k7弓k2丿當點F在x軸下方時，則有x+2=-（x2-4x-12）,解得x=—2（舍去）或x=5,此時F點的坐標為\5，-2］，，綜上可知點Fk2丿

【類型二二倍角或半角的存在性問題】(一)?二倍角的構(gòu)造方法如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造加，在BC邊上找一點D,使得BD=AD，則ZADC二2.這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)(一般用正切)計算就可以了。例3如圖，在平面直角坐標系中，直線y=2x+2與X軸交于點A,與尹軸交于點C,拋物線y=-2x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與X軸的另一交點為點B.求拋物線的函數(shù)表達式；點D為直線AC上方拋物線上一動點;S□連接BC，CD,設(shè)直線BD交線段AC于點E,△CDE的面積為S,，△BCE的面積為S2,求才的12S2最大值；□過點D作DF丄AC,垂足為點F,連接CD,是否存在點D,使得ACDF中的某個角恰好等于ZBAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由.解:(1)解:(1)(2)□過D(2)□過D作DM丄AC于M,過B作BN丄x軸交AC于N,???△DMEs^BNE工SDES~~BE2DMBN???M(1ca,—a???M(1ca,—a+2I2丿S_DMS~~BN2一2a2—2a14—5_—5(a+2)2+552???最大值為4.②在OA上取一點P使得PA=PC，設(shè)②在OA上取一點P使得PA=PC，設(shè)OP=m,則PC=PA=4-m，在RtAPCO中，由勾股3定理得：（4-m）2=m2+22，解得m=—,?*.tanZ24CPO=—，3過D做x軸的平行線交y軸于R，交AC延長線于G，情況一：ZDCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG，???ZCDG=ZBAC，???tanZCDG=tanZBAC=1，2、（13、T設(shè)Da,——a2——a+2I22丿DR=—a，RC=-2a2-2代入得，a1=0，a2=—2,?.xD=—2DF=3k，DF=3k，DC=5k，情況二：ZFDC=2ZBAC，??.tanZFDC=—，設(shè)FC=4k，33k1—VtanZDGC=_—,?FG=6k,CG=2k，DG=3、.5k，F(xiàn)G2???RVk，RG=爭，???RVk，RG=爭，DR=3厭—卻k_罕止k?DR_5RCk5???a1=0（舍去）,29=—211綜上所述:點D的橫坐標為一2或-2911(二)半角的構(gòu)造方法如圖，已知，構(gòu)造半角可以用下面兩種方法：方法一：和前面二倍角的構(gòu)造相對應(yīng)，利用外角定理，如圖，延長CB至D,使得BD=BA,則ZD=丄^，若AC、BC的長度已知，則容易求出tanZD的值，從而進行相關(guān)計算。2方法二：如圖，直接做厶的角平分線BE，若AC、BC的長度已知，則容易求出tanZEBC的值。例4如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a(x+5)(x-3)與％軸交與A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，且過點(24).(1)直接寫出a的值和點B的坐標；(2)將拋物線向右平移2個單位長度，所得的新拋物線與x軸交于M,N兩點，兩拋物線交于點P,求點M到直線PB的距離；在(2)的條件下，若點D為直線BP上的一動點，是否存在點D,使得ZDAB=2ZPBA若男L存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.男L4(1)y=—(x+5)(x—3)；B(3，0)(2)A(—5,0)、M(—3，0)、N(3，0)1124設(shè)點M到直線PB的距離為h，則SApmb=2-h-PB=2-MB-°P，???h右存在，理由:設(shè)ZDAB=2ZPBA,如圖，過點B作ZPBA的平分線BH交尹軸于點H,過點H