(江蘇專版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章第7講三角函數(shù)模型與解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例分層演練直擊高考文

第7講三角函數(shù)模型與解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例1．y＝2sin的振幅、頻率和初相分別為________．[解析]由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y＝2sin的振幅為2，周期為π，頻率為，初相為－.[答案]2，，－2．海上有A，B，C三個(gè)小島，測(cè)得A，B兩島相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，則B，C間的距離是________海里．[解析]由正弦定理，知＝，解得BC＝5海里．[答案]53．某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12，A>0)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的月平均氣溫為________℃.[解析]由題意得所以所以y＝23＋5cos，當(dāng)x＝10時(shí)，y＝23＋5×＝20.5.[答案]20.54．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大的噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________m.[解析]設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，則在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.[答案]50

5．電流強(qiáng)度I(安)隨時(shí)間t(秒)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)的圖象如圖所示，則當(dāng)t＝秒時(shí)，電流強(qiáng)度是________安．[解析]由題圖知A＝10，＝－＝，所以ω＝＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．因?yàn)闉槲妩c(diǎn)中的第二個(gè)點(diǎn)，所以100π×＋φ＝.所以φ＝.所以I＝10sin，當(dāng)t＝秒時(shí)，I＝－5安．[答案]－5

6.如圖所示，已知樹頂A離地面m，樹上另一點(diǎn)B離地面m，某人在離地面m的C處看此樹，則該人離此樹________m時(shí)，看A，B的視角最大．[解析]如圖，過(guò)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)∠ACB＝α，∠BCF＝β，由已知AB＝－＝5(m)，BF＝－＝4(m)，AF＝－＝9(m)，則tan(α＋β)＝＝，tanβ＝＝，所以tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)FC＝，即FC＝6時(shí)，tanα取得最大值，此時(shí)α取最大值．[答案]67．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距________m.

[解析]如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．[答案]108．如圖，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10000m，速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹開_______m．(?。?.4，＝1.7)[解析]如圖，作CD垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，＝，所以BC＝×sin15°＝10500(－)．因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500(－)×＝10500(－1)＝7350.故山頂?shù)暮０胃叨萮＝10000－7350＝2650(m)．[答案]2650

9.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米．[解析]連結(jié)OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.[答案]5010．以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店的銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元，而該商品在商店的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上按月隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知5月份銷售價(jià)最高為10元，9月份銷售價(jià)最低為6元，假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件，且當(dāng)月售完，則估計(jì)________月份盈利最大．[解析]由條件可得：出廠價(jià)格函數(shù)為y1＝2sin＋6，銷售價(jià)格函數(shù)為y2＝2sin＋8，則利潤(rùn)函數(shù)為：y＝m(y2－y1)＝m＝m，所以，當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝(2＋2)m，即6月份盈利最大．

[答案]611.已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了100米后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測(cè)量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．[解]在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100，連結(jié)QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋/