2021年高考數學真題和模擬題分類匯編專題15推理與證明【含答案】

專題15推理與證明一、選擇題部分1.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T9．)如圖，有甲、乙、丙三個盤子和放在甲盤子中的四塊大小不相同的餅，按下列規(guī)則把餅從甲盤全部移到乙盤中：①每次只能移動一塊餅；②較大的餅不能放在較小的餅上面，則最少需要移動的次數為（）A．7 B．8 C．15 D．16C．假設甲盤中有n塊餅，從甲盤移動到乙盤至少需要an次，則a1＝1，當n≥2時，可先將較大的餅不動，將剩余的n﹣1塊餅先移動到丙盤中，至少需要移動an﹣1次，再將最大的餅移動到乙盤，需要移動1次，最后將丙盤中所有的丙移動到乙盤中，至少需要移動an﹣1次，由上可知，an＝2an﹣1+1，且a1＝1，所以a2＝2a1+1＝3，a3＝2a2+1＝7，a4＝2a3+1＝15，則最少需要移動的次數為15次．2.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T5．)“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀年法，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60個組合，稱六十甲子，周而復始，無窮無盡．2021年是“干支紀年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支紀年法”中的（）A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．乙未年D．由題意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年是“干支紀年法”中的辛丑年，則2020年為庚子，2019年為己亥，2018年為戊戌，2017年為丁酉，2016年為丙申，2015年為乙未．3.(2021?江西九江二模?理T9．)古希臘畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本源，因此極為重視數的理論研究，他們常把數描繪成沙灘上的沙?；蛐∈樱⑺鼈兣帕谐筛鞣N形狀進行研究．形數就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應的點數，是畢哥拉斯學派最早研究的重要內容之一．如圖是三角形數和四邊形數的前四個數，若三角形數組成數列{an}，四邊形數組成數列{bn}，記cn＝，則數列{cn}的前10項和為（）A． B． C． D．D．由題意可得，，，所以，設數列{cn}的前n項和為Sn，所以，所以．4.(2021?山東濰坊二模?T6．)關于函數f（x）＝，其中a，b∈R，給出下列四個結論：甲：6是該函數的零點；乙：4是該函數的零點；丙：該函數的零點之積為0；丁：方程f（x）＝有兩個根．若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則該錯誤結論是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁B．當x∈[0，2]時，f（x）＝2x﹣a為增函數，當x∈[2，+∞）時，f（x）＝b﹣x為減函數，故6和4只有一個是函數的零點，即甲乙中有一個結論錯誤，一個結論正確，而丙、丁均正確．由兩零點之積為0，則必有一個零點為0，則f（0）＝20﹣a＝0，得a＝1，若甲正確，則f（6）＝0，即b﹣6＝0，b＝6，可得f（x）＝，由f（x）＝，可得或，解得x＝或x＝，方程f（x）＝有兩個根，故丁正確．故甲正確，乙錯誤．二、填空題部分5.(2021?山西調研二模?文T14)某校團委為高三學生籌備十八歲成人禮策劃了三種活動方案，分別記作A、B、C，為使活動開展得更加生動有意義，現隨機調查甲、乙、丙三位同學對三種活動方案的喜歡程度.甲說：“我不喜歡方案A，但喜歡的活動方案比乙多.”乙說：“我不喜歡方案B.”丙說：“我們三人都喜歡同一種方案”.由此可以判斷乙喜歡的活動方案是______.C．從丙的說法中推測乙肯定有喜歡的方案，

從甲的說法中推測甲喜歡2種方案，不喜歡方案A，那么可以確定是B和C，

再從乙的說法中可知，乙只喜歡一種方案，是方案C，

故C.

根據三個人所說內容，可以推斷出乙只喜歡一種方案，又丙說：“我們三人都喜歡同一種方案”，所以可以判斷乙喜歡的活動方案．

本題主要考查了簡單的合情推理，考查了學生的邏輯推理能力，是基礎題．

6.(2021?山東聊城三模?T13.)數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…稱為斐波那契數列，是意大利著名數學家斐波那契于1202年在他寫的《算盤全書》提出的，該數列的特點是：從第三起，每一項都等于它前面兩項的和．在該數列的前2021項中，奇數的個數為________．1348．【考點】進行簡單的合情推理由斐波那契數列的特點知：從第一項起，每3個數中前兩個為奇數后一個偶數，∵20213的整數部分為673，余數為2∴該數列的前2021項中共有673個偶數，奇數的個數為2021-故1348

【分析】由斐波那契數列的特點經過推理即可求得．三、解答題部分7.(2021?高考全國甲卷?理T18)已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數列是等差數列：②數列是等差數列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．選①②作條件證明③時，可設出，結合的關系求出，利用是等差數列可證；選①③作條件證明②時，根據等差數列的求和公式表示出，結合等差數列定義可證；選②③作條件證明①時，設出，結合的關系求出，根據可求，然后可證是等差數列.選①②作條件證明③：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數列，所以，解得；所以，所以.選①③作條件證明②：因為，是等差數列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數列.選②③作條件證明①：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；當時，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數列.8.(2021?江蘇鹽城三模?T18)請在①eqa\s\do(1)＝\r(,2)；②eqa\s\do(1)＝2；③eqa\s\do(1)＝3這3個條件中選擇1個條件，補全下面的命題使其成為真命題，并證明這個命題(選擇多個條件并分別證明的按前1個評分)．已知數列eq{a\s\do(n)}滿足an＋1＝an2，若，則當n≥2時，an≥2n恒成立．【考點】數列的通項公式求解與不等式的證明選②．證明：由an＋1＝an2，且eqa\s\do(1)＝2，所以an＞0，所以lgan＋1＝lgan，lgan＝EQ2\S\UP6(n－1)lg2，an＝EQ2\S\UP6(2\S\UP6(n－1），……5分當n≥2時，只需證明EQ2\S\UP6(n－1)≥n，令bn＝EQ\F(n,2\S\UP6(n－1），則bn＋1－bn＝EQ\F(n＋1,2\S\UP6(n）－EQ\F(n,2\S\UP6(n－1）＝EQ\F(1－n,2\S\UP6(n）＜0，……10分所以bn≤b2＝1，所以EQ2\S\UP6(n－1)≥n成立．綜上所述，當a1＝2且n≥2時，an≥2n成立．……12分注：選②為假命題，不得分，選③參照給分．9.(2021?河南開封三模?理T17)已知數列{an}滿足a1＝﹣2，an+1＝2an+4．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通項公式并加以證明；（3）求數列{|an|}的前n項和Sn．（1）由已知，易得a2＝0，a3＝4，a4＝12．（2）猜想．因為an+1＝2an+4，所以an+1+4＝2（an+4），，則{an+4}是以2為首項，以2為公比的等比數列，所以，所以＝．（3）當n＝1時，a1＝﹣2＜0，S1＝|a1|＝2；當n≥2時，an≥0，所以＝，又n＝1時滿足上式．所以，當n∈N*時，．10.(2021?浙江杭州二模?理T20．)已知數列{an}，{bn}，滿足an＝2n﹣2，b2k﹣1＝ak（k∈N*），b2k﹣1，b2k，b2k+1成等差數列．（1）證明：{b2k}是等比數列；（2）數列{cn}滿足cn＝，記數列{cn}的前n項和為Sn，求Sn．證明：（1）由數列{an}，{bn}，滿足an＝2n﹣2，b2k﹣1＝ak（k∈N*），所以，由于b2k﹣1，b2k，b2k+1成等差數列．故，整理得（常數），所以數列：{b2k}是以為首項，公比為2的等比數列；（2）由于：{b2k}是以為首項，公比為2的等比數列；所以，則＝2n﹣3，所以＝＝（n≥1），則+…+，＝．11.(2021?浙江麗水湖州衢州二模?T20．)已知數列{an}是各項均為正數的等比數列，若a1＝2，a2+a3是a3與a4的等差中項．數列{bn}的前n項和為Sn，且Sn+＝2an﹣2．求證：（Ⅰ）數列{an﹣bn}是等差數列；（Ⅱ）…+≤2（1﹣）．證明：（Ⅰ）數列{an}是各項均為正數的等比數列，若a1＝2，a2+a3是a3與a4的等差中項，由已知a3+a4＝2（a2+a3），整理得a4﹣a3﹣2a2＝0．設數列{an}的公比為q，則q2﹣q﹣2＝0，