高數(shù)第一部分導(dǎo)數(shù)與微分應(yīng)用

第三課：導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用一、內(nèi)容概要切線問題單調(diào)性與極值、最值問題凹凸函數(shù)的性質(zhì)與判斷函數(shù)的漸近線與函數(shù)變化的整體分析考試內(nèi)容:微分中值定理

法則函數(shù)單調(diào)性的判別函數(shù)的極值

函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪

函數(shù)的最大值和最小值

弧微分

曲率的概念

曲率圓與曲率半徑二、數(shù)學(xué)一考研大綱考試要求:掌握用法則求未定式極限的方法．理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形．了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑．二、數(shù)學(xué)一考研大綱注意:該部分內(nèi)容數(shù)學(xué)二的大綱和數(shù)學(xué)一完全一樣，數(shù)學(xué)三的大綱不要求掌握和計(jì)算曲率、曲率圓和曲率半徑，其他和數(shù)學(xué)一二相同。三、概念與基本方法總結(jié)考題精講1、切線問題xyTo

x0若f

(x)在x0處可導(dǎo)，0在點(diǎn)M

(x0

,f

(x0

))處的切線的斜率,即f

(x0

)

tan

,

(為傾角)切線方程為f

(

x

)表示曲線

y

f

(

x)法線方程為y

f

(

x0

)(

x

x0

).0001(

x

x

).f

(

x

)y

y

0

x

x(t

)y

y(t

)參數(shù)曲線在t

t

對(duì)應(yīng)切線方程為x

x(t0

)

y

y(t0

)x

'(t0

)

y

'(t0

)極坐標(biāo)曲線

(

)，相當(dāng)于給定直角坐標(biāo)系

x

(

)cos,在點(diǎn)((

),

)處的y

(

)sin

y

'x

'下參數(shù)方程x切線斜率為：

k

y

'(11年數(shù)三，4分)4曲線tan(x

y

)

ey在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，

y

'(0)

2

切線方程為y

2x(04年數(shù)一，4分)

曲線y

ln

x上與直線x

y

1垂直的切線方程為

即求斜率為1的切線方程

y

'

(ln

x)

'

1

1

x

1,

y

0x

切線方程為y

x

1(08年數(shù)一，4分)

曲線sin(xy)

ln(

y

x)

xcos(xy)(

y

xy

')

y

'1

1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為(0,1)在曲線上，先求y

'(0)，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)y

x代入x

0,y

1，得y

'(0)

1曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y

x

1x

cos

t

cos2

ty

1

sin

t4于t

點(diǎn)處的法線斜率為(07年數(shù)二，4分)曲線上對(duì)應(yīng)cos

t1x

't

sin

t

2

sin

t

cos

t1

2k

y

't

==先求切線斜率

t

點(diǎn)處的法線斜率為1

24

2(97年數(shù)一，3分)

對(duì)數(shù)螺線

e

在點(diǎn)(e

,)2處的切線的直角坐標(biāo)方程為

x

x

e

cosy

e

sin

y

'

sin

cos

1,x

'

cos

sin對(duì)數(shù)螺線

e

的參數(shù)方程為

斜率k

y

'同時(shí)可知

x

0,

y

e

2

切線的直角坐標(biāo)方程為y

e

2

x202)

tn寫出此切線方程，并求lim

nf

(y

n(02年數(shù)一，7分)arctan

x已知兩曲線y

f

(

x)與e

dt在點(diǎn)(0,

0)處的切線相同，220arctan

x

arctan

x

t

x

0f

'(0)

1e

1

x2

x

0由已知條件：f

(0)

0,e

dt

'

切線方程為y

x

f

(

x)

x

o(

x)

f

(

2

)

2

o(

1

)n

n

n由f

(0)

0,

f

'(0)

1nnnn

n

n

lim

2

no(

1

))

2n

因此：lim

nf

(2

)

lim

n

2

o(1

)00(95年數(shù)二，8分) 如圖，設(shè)曲線L的方程為y

f(x)，且y

'

0，又MT，MP分別為該曲線在點(diǎn)M

(x0

,

y0

)處的切線和法線，已知線段MP的長(zhǎng)度為y

''（1

y

'2

）3

2 0

(其中y

' f

'(x0

),y

'0

f

'(x0

))，試推導(dǎo)出點(diǎn)P(

,)的坐標(biāo)表達(dá)式oxyTL本題為推導(dǎo)曲率中心P的公式0 000y

''y

''2MP

0

(

x

)2

(

y

)2

0 （1

y

'2

）3

2（1

y

'2

）30MT

MP

y

'0

y2

22

0

000y

''y

''

1

y

'2

2

1

y

'2

2兩式聯(lián)立

(

x

)

y

'，(

y

)

00

0

2000000y

'y

''y

''1

y

'1

y

'2y

"

0

x

，

y

0

P101例25平面曲線r

(x,y(x))的曲率公式3/

2

y

"1

(

y

')2

曲率半徑：R

1曲率圓：以R為半徑，與曲線凹向相切的圓曲率中心：曲率圓的圓心(00年數(shù)二，7分)已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x

0的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式f

(1

sin

x)

3

f

(1

sin其中

()，高階的無窮小，且f

(x)在x

1處可導(dǎo)，求曲線y

f

(x)在點(diǎn)(6,f

(6))處的切線方程。f

(x)的周期為5，則f

(6)xx0在

f

( in

x)

3

f

(1

sin

x)

8x

(x)中取x

0

f

(1)

3

f

(1)

0

f

(1)

0lim

f

(1

sin

x)

3

f

(1

sin

x)

8！注意：由于只知道f

(x)在x

1處可導(dǎo)，因此不能對(duì)該式使用x于是：lim

f

(1

sin

x)

3

f

(1

sin

x)

4

f

'(1)x0

f

'(1)

2

f

'(6)

2,

f

(6)

f

(1)

0xx

0f

(1

sin

x)f

'(1)

lim

f

(1

x)

f

(1

sin

x)

同理：lim

f

(1

sin

x)

f

'(1)

切線方程為y

2(x

6)2、單調(diào)性與極值、最值問題定理

設(shè)函數(shù)

y

f

(

x)在[a,

b]上連續(xù)，在(a,

b)內(nèi)可導(dǎo)，則：y

f

(x)在[a,b]單調(diào)增加當(dāng)且僅當(dāng)在(a,b)內(nèi)f

(x)

0；y

f

(x)在[a,b]單調(diào)減少當(dāng)且僅當(dāng)在(a,b)內(nèi)f

(x)

0如果在(a,

b)內(nèi)f

(

x)

0，那末函數(shù)

y

f

(

x)

在[a,

b]上嚴(yán)格單調(diào)增加；(4)

如果在(a,

b)內(nèi)

f

(

x)

0，那末函數(shù)

y

f

(

x)

在[a,

b]上嚴(yán)格單調(diào)減少.注意：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)——導(dǎo)數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)決定了該區(qū)間單調(diào)性；

導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)的符號(hào)不能決定在該點(diǎn)附近的單調(diào)性！

(注：導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，可由一點(diǎn)符號(hào)確定局部單調(diào)性)1

如果'0

),

有f

(

0

,

x0有f

'(x)

0，則f

(x)在x

處取得極大值.02

如果'0

),

有f

(0

,

x0

)

)時(shí),f

'(x)0有f

'(x)

0，則f

(x)在x

處取得極小值.03

如果當(dāng)0

)及符號(hào)相同,則f

(x)在x0處無極值.

),000f

(x)在x

可導(dǎo)

f

'(x

)

0f

(x

)極值反之：f

'(x0

)

0

x0不是極值點(diǎn)滿足f

'(x0

)

0的x0稱為駐點(diǎn)，未必是極值點(diǎn)！定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)設(shè)f

(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且f

'

(

x

)

0,

f

''

(

x

)

0,

那末0

01當(dāng)f

''

(

x

)

0時(shí),函數(shù)f

(

x)在x

處取得極大值;0

02當(dāng)f

''

(

x

)

0時(shí),函數(shù)f

(

x)在x

處取得極小值.0

00f

'(由負(fù)變正：極小值點(diǎn)是極值點(diǎn)由正變負(fù)：極大值點(diǎn)000f

'(x0

)

0

x

是極值點(diǎn)

f

"(x0

)

0：極小值點(diǎn)f

"(x

)

0

f

"(x

)

0：極大值點(diǎn)

注意：函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).求函數(shù)最值步驟:求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:建立目標(biāo)函數(shù);求最值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大(或最小)值．(11年數(shù)ln

(

x

1)(

x

2)(

x

3)的駐點(diǎn)個(gè)（A）

0

（B）1

（C）2

（D）

3(96年數(shù)一，3分)設(shè)f

(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，xx0且f

'(0)

0,

lim

f

''(

x)

1，則f

(0)是f

(x)的極大值f

(0)是f

(x)的極小值（C）（0,f

(0)）是曲線y

f

(

x)的拐點(diǎn)（D）

f

(0)不是f

(x)的極值點(diǎn)，(0,f

(0))也不是曲線y

f

(

x)的拐點(diǎn)根據(jù)極限的局部保號(hào)性，在0的局部空心鄰域內(nèi)lim

f

'

0x0

f

'(x)單調(diào)遞增(即f

'(x)由負(fù)變正)

f

(0)為極小值(03年數(shù)一，4分)

設(shè)函數(shù)f

(

x)在(,

)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形

，則f

(

x)有x一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)y有可能的極值點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)(3個(gè))

不可導(dǎo)點(diǎn)(1個(gè)，x

0)0f由負(fù)變正：極小值點(diǎn)是極值點(diǎn)由正變負(fù)：極大值點(diǎn)由負(fù)變正：2個(gè)極小值點(diǎn)

(C)由正變負(fù)：2個(gè)極大值點(diǎn)x

)是恒大于零的

g(

x)

聯(lián)想f

'(

x)g(

x)

f

(

x)g

'(

x)與

f

(

x)

'的聯(lián)系g(

x)g(a)f

'(

x)g(

x)

f

(

x)g

'(

x)

0

f

(

x)

'

0

g(

x)

g(

x)

g(b)

(A)

f

(

x)

單調(diào)減少

f

(b)

f

(

x)

f

(a)(01年數(shù)一，3分)設(shè)函數(shù)f

(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y

f

(x)的圖形

，則導(dǎo)函數(shù)

y

f

'(x)的圖形為xyxy(A)xy(B)xy(C)xy(D)x

0時(shí)，f

(

x)單調(diào)增加

f

'(

x)

0

(A)(C)錯(cuò)誤x

0時(shí)，f

(x)變化趨勢(shì)為增加、減少、增加

f

'(x)的符號(hào)為,,

(D)(95年數(shù)一，3分)設(shè)在[0,1]上f

''(x)

0，則f

'(0)，f

'(1)，f

(1)

f

(0)或f

(0)

f

(1)的大小順序是（A）

f

'(1)

f

'(0)

f

(1)

f

(0)（B）

f

'(1)

f

(1)

f

(0)

f

'(0)（C）

f

(1)

f

(0)

f

'(1)

f

'(0)（D）

f

'(1)

f

(0)

f

(1)

f

'(0)f

"(x)

0

f

'(x)單調(diào)增加

f

'(1)

f

'(

)

f

(1)

f

(0)

f

'(0),11,

000,111，+f

'(

x)0+00+f

(

x)極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)2x2

t

2(10年數(shù)一，10分)

求函數(shù)f

(

x)

1

(

x

t

)e

dt的單調(diào)區(qū)間與極值x2x2

t

2

2

x42

x4

t

2te

dt

2x

x

ef

(

x)

1

(

x t

)e

dt

x

1

e

dt1f

'(

x)

2x1

e

dt

x

e

2x

2x1

e

dtf

'(

x)

0

x

0,

101(t

)函數(shù)f函數(shù)f

(x)的單調(diào)增函數(shù)f

(x)的極大值為f

(0)函數(shù)f

(x)的極小值為f

(1)

0(04年數(shù)二，11分)x

2

sin

t

dt，則x設(shè)f

(x)

22xxsin

t

dtx

+x

3x

x

2

sin

t

dt

f

(

x)f

(

x+

)

sin

udu

(I)

證明f

(x)是以

為周期的周期函數(shù)；（II）求f

(x)的值域。第I問只需驗(yàn)證f

(

x

)

f(

x)，用定積分的換元法(令u

t

-

)

第II問只論f

(x)在0,

上的值域，即最大值和最小值2f

)

sin(

x

)

sin

x

cos

x

sinx

0044444f

(

32554

343f

(0)

f

(

)

sin

tdt

2;)

sin

tdt

1;

f

( )

4sin

t

dt

3

sin

tdt

sin

tdt

2

2;在0,

上

x

,34

4比較f

(x)在x

0,

,3

,的函數(shù)值：4

4

最小值為2

2，最大值為2，值域?yàn)?

2，2

(90年數(shù)象限部分上求一點(diǎn)橢圓及兩坐標(biāo)軸所圍圖形面（其中a

0,

b

0)b2a2

y(

X

x)

yY

1a2

b2首先計(jì)算橢圓上點(diǎn)(x,y)處的切線方程：2斜率k

b xa2

y切線方程為Y

y

xX

yYa2

b22

2

1

a

b2

x y 4

1

ab其次計(jì)算所圍圖形的面積：切線2

2

1的兩個(gè)截距為a

和bx y所圍圖形的面積

三角形面積四分之一橢圓面積22a2

b21

a

2b2

12

xy

4

y最后求面積

ab的最小值

求xy的最大值(x,y滿足x

1)2

22x2

y2ba2a2

b2aa2abbx2b(a2a2aa2x2

1

y

x2

x2

2

x2

)

f

'(

x)

x2

0a

x2a

a22

b

2方法一：令f

(x)

xy

b

x

x

2

a

y

2

b

P點(diǎn)為

2

a,x2

y2方法二：令f

(

x,

y)

xy，約束條件為

1a2

b2利用多元函數(shù)的條件極值方法（Lagrange乘數(shù)法）2、凹凸函數(shù)的性質(zhì)與判斷定義（凸函數(shù)與凹函數(shù)）設(shè)f

:

I

R，若x1

,

x2

I，

[0,1]有f

x1

(1

)

x2

f

(

x1

)

(1

)

f

(

x2

)則稱f

為I上的凹函數(shù)；若x1

x2

I，

(0,1)有f

x1

(1

)

x2

f

(

x1

)

(1

)

f

(

x2

)則稱f

為I上的嚴(yán)格凹函數(shù)；上述不等號(hào)反向時(shí)，分別稱f

為凸（嚴(yán)格凸）函數(shù).f

(

x1

)

f

(

x2

)

,設(shè)f

(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意2

2兩點(diǎn)定義那末稱f

(x)在(a,b)內(nèi)的圖形是凹的;如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1

,x2

,恒有

f

(x1

x2

)

f

(x1

)

f

(x2

),2

2那末稱f

(x)在(a,b)內(nèi)的圖形是凸的;如果f

(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù),且在(a,b)內(nèi)的圖形是凹(或凸)的,那末稱f

(x)在[a,b]內(nèi)的圖形是凹(或凸)的;對(duì)于連續(xù)函數(shù)凹凸性，有如下等價(jià)的定義：設(shè)函數(shù)f

在區(qū)間I上一階可導(dǎo),若f

'在I上嚴(yán)格單調(diào)增(單調(diào)減),則f

是I上的嚴(yán)格凹(凸)函數(shù).推論 如果

f

(

x)

在[a,

b]

上連續(xù),

在(a,

b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)

,

若在

(a,

b)內(nèi)f

(x)

()0,則f

(x)在[a,b]上的圖形是嚴(yán)格凹(凹)的;f

(x)

()0,則f

(x)在[a,b]上的圖形是嚴(yán)格凸(凸)的.定理幾何意義：f

(x)

0(凹)

切線在函數(shù)下方，弦(割線)在函數(shù)上方f

(x)

0(凸)

切線在函數(shù)上方，弦(割線)在函數(shù)下方連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).0(

k

)f

(

x)在x0處的第一個(gè)非零導(dǎo)數(shù)為f

(

x0

)(k

2)

k為奇數(shù)，則

x0

,

f

(

x0

)是曲線y

f

(

x)的拐點(diǎn)k為偶數(shù)，則x

是函數(shù)f

(x)的極值點(diǎn)0

f

"(

f

'(若x0為f

(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)(二階不可導(dǎo)點(diǎn))0

,

f

(

x0

)是曲線y

f

(

x)的拐點(diǎn)是函數(shù)f

(x)的極值點(diǎn)P102例26(00年數(shù)二，3分)

設(shè)函數(shù)f

(

x)滿足關(guān)系式

f

''(

x)

[

f

'(

x)]2

x，且f

'(0)

0，則f

(0)是f

(x)的極大值f

(0)是f

(x)的極小值（C）（0,f

(0)）是曲線y

f

(

x)的拐點(diǎn)（D）

f

(0)不是f

(x)的極值點(diǎn)，(0,f

(0))也不是曲線y

f

(

x)的拐點(diǎn)22f

'(0)

0

f

''(

x)

x

[

f

'(

x)]2f

''(

x)

[

f

'(

x)]

x

f

''(0)

0

f

'''(

x)

1

2

f

'(

x)

f

''(

x)f

"(0)

0f

''(

x)

x

[

f

'(

x)]

f

'''(0)

1第一個(gè)使得f

(k

)(0)

0的k是奇數(shù)

(C)2曲線y

(x

5)x

3(08年數(shù)二，4分)223109y

"

1y

xx

3

y

"在x

1兩側(cè)

拐點(diǎn)為1,(11年數(shù)一，4分)曲線y x

1)(

x

2)2

(

x

3)3

(

x

4)4的拐點(diǎn)是

（A）

(1,

0)（C）

(3,

0)（B）

(2,

0)（D）

(4,

0)y

"在x

3處為0，y

'''在x

3處不為0

拐點(diǎn)為3,0直接計(jì)算y

"與y

'"麻煩考慮它們?cè)趚

1,2,

3,

4時(shí)的符號(hào)：y

"(3)

y

"(4)

0,

y

"'(4)

0,

y

'"(3)

0(06年數(shù)一，4分)設(shè)函數(shù)f

(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f

'(x)在點(diǎn)x0處的增量，y與dy分別為f

(x)在點(diǎn)x0處的增量與微分，若x

0，則（A）

0

dy

y（C）

y

dy

0（B）

0

y

dy（D）

dy

y

0y：函數(shù)的增量，dy：切線的增量f

'(

x)

0

y

0，f

''(x)

0

切線在函數(shù)下方

y

dyf

''(

x)

0

f

(

x0

x)

f

(

x0

)

f

'(

x0

)x(07年數(shù)一，4分)設(shè)函數(shù)f

(x)在(0,

)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f

''(x)

0，令un

=f

(n)(n

1,2,

)，則下列結(jié)論正確的是（A）若u1u2，則un

必收斂（B）若u1u2，則un

必發(fā)散（C）若u1

u2，則un

必收斂（D）若u1

u2，則un

必發(fā)散這是根據(jù)f

"(x)

0判斷函數(shù)整體性質(zhì)的典型題目f

"(x)

0

f

'(x)單調(diào)增加，三種典型函數(shù)圖像xxxy

y

y先減小，再增大一直減小可能使un

收斂一直增大un

un

u1

u2，即f

(1)

f

(2)，函數(shù)存在減小的過程

函數(shù)圖像有前兩種可能（A）（B）錯(cuò)誤u1

u2，即f

(1)

f

(2)，函數(shù)在x

2后只會(huì)增加

函數(shù)圖像只有第三種可能（C）錯(cuò)誤（D）正確3、函數(shù)的漸近線與函數(shù)變化的整體分析那么

x

x0

就是

y

f

(

x)

的一條鉛直漸近線.(2).水平漸近線(平行于x

軸的漸近線)如果

lim

f

(

x)

b

或

lim

f

(

x)

b

(b

為常數(shù))x

x那么

y

b

就是

y

f

(

x)

的一條水平漸近線.0(1).鉛直漸近線(垂直于x

軸的漸近線)如果

lim

f

(

x)

或

lim

f

(

x)

3.斜漸近線那么

y

ax

b

就是

y

f

(

x)

的一條斜漸近線.斜漸近線求法:(a,b

為常數(shù))或lim[f

(x)

(ax

b)]

0如果

lim

[

f

(

x)

(ax

b)]

0xxxlim

f

(

x)

a,xlim[

f

(

x)

ax]

b.x那么

y

ax

b

就是曲線

y

f

(

x)

的一條斜漸近線.注意:如果x(1)lim

f

(x)不存在;x