Minkowski不等式的證明積分形式_第1頁
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PAGE4/NUMPAGES4閔可夫斯基不等式在HYPERLINK\o"數(shù)學"數(shù)學中，閔可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明HYPERLINK\o"L（p）空間（頁面不存在）"Lp空間是一個HYPERLINK\o"賦范向量空間"賦范向量空間。設是一個HYPERLINK\o"度量空間"度量空間，，那么，我們有：如果，HYPERLINK\o"等號"等號成立HYPERLINK\o"當且僅當"當且僅當，或者閔可夫斯基不等式是中的HYPERLINK\o"三角不等式"三角不等式。它可以用HYPERLINK\o"赫爾德不等式"赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣，閔可夫斯基不等式取HYPERLINK\o"可數(shù)測度（頁面不存在）"可數(shù)測度可以寫成HYPERLINK\o"序列"序列或HYPERLINK\o"向量"向量的特殊形式：對所有HYPERLINK\o"實數(shù)"實數(shù)，這里是的HYPERLINK\o"維數(shù)"維數(shù)；改成HYPERLINK\o"復數(shù)"復數(shù)同樣成立，沒有任何難處。值得指出的是，如果，，則可以變?yōu)?。積分形式的證明我們考慮的次冪：（用三角形不等式展開）用HYPERLINK\o"赫爾德不等式"赫爾德不等式（見下文）繼續(xù)運算可得（利用，因為）現(xiàn)在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項，除以最后那個表達式的后面那個因子，我們得到:因為，我們最終得出：這就是我們所要的結(jié)論。對于序列的情況，證明是完全類似的。赫爾德（Holder）不等式設是2n個正實數(shù)，則.[證明]令那么

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