應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)-時(shí)序立體數(shù)據(jù)的主成分分析

淺談時(shí)序立體數(shù)據(jù)的主成分分析

前面介紹的主成分分析方法，成功地實(shí)現(xiàn)了截面數(shù)據(jù)的最佳綜合和簡化。然而，在現(xiàn)實(shí)生活中，隨著時(shí)間的發(fā)展于數(shù)據(jù)的積累，人們開始擁有大量按時(shí)間順序排列的平面數(shù)據(jù)表序列，這樣一組按時(shí)間順序排放的數(shù)據(jù)表序列就像一個(gè)數(shù)據(jù)匣，被稱為時(shí)序立體數(shù)據(jù)表。本章將介紹如何對(duì)這種多維動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)系統(tǒng)進(jìn)行立體式的綜合簡化，并在此基礎(chǔ)上，迅速提取立體數(shù)據(jù)表中的重要信息，充分發(fā)掘其中的豐富內(nèi)涵，從而簡化扼要地把握系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律。

第一節(jié)全局分析的概念

時(shí)序立體數(shù)據(jù)表時(shí)一個(gè)按時(shí)間順序排放的數(shù)據(jù)表序列。如果對(duì)每一張數(shù)據(jù)表分別進(jìn)行主成分分析，則不同的數(shù)據(jù)表有完全不同的簡化空間，就無法保證系統(tǒng)分析的統(tǒng)一性、整體性和可比性。因此，對(duì)這種數(shù)據(jù)表進(jìn)行主成分分析，得到一個(gè)統(tǒng)一的簡化子空間。

一、

全局概念

假設(shè)有個(gè)樣本，個(gè)指標(biāo)，時(shí)間的跨度為。時(shí)序立體數(shù)據(jù)表，

若以為變量的指標(biāo)，在時(shí)刻數(shù)據(jù)表中對(duì)上列數(shù)據(jù)的分析稱為全局分析。二、

全局變量

全局群點(diǎn)在j指標(biāo)上的取值分布被稱為全局變量，表示為

三、全局重心

全局?jǐn)?shù)據(jù)表的重心為

權(quán)數(shù)應(yīng)該根據(jù)不同時(shí)刻的重要性來決定,也可以等權(quán),等權(quán)時(shí),均值為:

時(shí)刻t的數(shù)據(jù)表重心為

四、全局方差全局變量的方差

:五、全局協(xié)方差全局變量的協(xié)方差為：全局協(xié)方差矩陣：第二節(jié)全局主成分分析

一、全局主成分分析的步驟為（1）

求全局相關(guān)系數(shù)矩陣

（2）求的特征根不妨假設(shè)和對(duì)應(yīng)的特征向量：

第三節(jié)對(duì)經(jīng)典主成分分析的繼承性

一、全局主成分一定對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)變易最大的方向

二、全局主成分是對(duì)原始變量系統(tǒng)的最佳綜合在全局主成分分析中，還可以證明，若全局?jǐn)?shù)據(jù)表種有p個(gè)變量，如果想以一個(gè)綜合變量來取代原來所有的全局變量，則第一個(gè)主成分F1就是最好的選擇。這個(gè)結(jié)論可以推廣到m維空間：三、全局分析與單張數(shù)據(jù)表分析的聯(lián)系

設(shè)j(j=1,2,…,m)是全局特征值

(j=1,2,…,m)是第t時(shí)刻的數(shù)據(jù)表所計(jì)算的特征值

上式反映了全局第h個(gè)主成分與單張數(shù)據(jù)表個(gè)主成分之間的數(shù)量關(guān)系。特別當(dāng)h=1時(shí)：

因此，如果各年數(shù)據(jù)表的重心在第一主成分上的投影不發(fā)生改變，則

說明，第一主成分與單張數(shù)據(jù)表的主成分之間最相關(guān)。

第四節(jié)精度分析

一、

全局精度以數(shù)據(jù)變異的大小來恒量數(shù)據(jù)中的信息量如果變量已經(jīng)被標(biāo)準(zhǔn)化，則精度為：

二、數(shù)據(jù)表Xt的表現(xiàn)精度

數(shù)據(jù)表Xt的表現(xiàn)精度是指群點(diǎn)在全局主成分上的近似精度。令是第t張表中的第i個(gè)樣本在全局第h個(gè)主成分的得分。第五節(jié)數(shù)據(jù)主要特征的動(dòng)態(tài)分析

為了迅速把握多維動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)群種的主要信息，還應(yīng)該對(duì)數(shù)據(jù)系統(tǒng)的主要特征進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析研究。數(shù)據(jù)群點(diǎn)有如下特征：

（1）的總體水平

（2）的主軸

（3）的主軸上的分布偏差

（4）中各樣本點(diǎn)間的相對(duì)位置和排列順序。

一、總體水平

第t年數(shù)據(jù)群點(diǎn)的總體水平為?？梢詮娜齻€(gè)方面研究其動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)信息。

（1）的時(shí)序軌跡

（2）對(duì)于1一p個(gè)變量指標(biāo)，研究哪一個(gè)指標(biāo)在1一T年間發(fā)生的變化最大。首先，j指標(biāo)在1一T年間的變化可以用aj表示，有

所有指標(biāo)在1—T年的變化為a表示，有

使cj最大的指標(biāo)xj，在1—T年發(fā)生的變化最大，在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)分析中，過大過小的cj都應(yīng)是分析人員關(guān)注的對(duì)象。（3）從1—T年，研究在哪一年發(fā)生了較大的變化。這是比值，比cj更加深入的分析。

則說明j指標(biāo)在t~t+1年間的變化比其它年間更大。

二、主軸

對(duì)第t年的數(shù)據(jù)表xt做平面主成分分析，可以得到一組主軸，對(duì)應(yīng)的有特征值，分析是如何隨時(shí)間變化的，可以了解數(shù)據(jù)的主要特征發(fā)展變化的歷史過程。

從前面的分析可以知道，是第t年數(shù)據(jù)變異最大的方向，數(shù)據(jù)在這個(gè)方向被拉得最長。如果研究國民生活水平的話，則在這一方向人們生活水平的差距最大，所以，是最能反映國民生活水平的主要特征。與對(duì)應(yīng)的是主成分。數(shù)據(jù)的主要特征隨時(shí)間的發(fā)展會(huì)發(fā)生變化，這個(gè)變化可以通過的變化過程來觀察。特別對(duì)于第一、第二主軸(即h＝1,2)，以及后續(xù)含數(shù)據(jù)信息量較大的那些主軸，更應(yīng)給予重點(diǎn)研究。

三、方差的變化

在數(shù)據(jù)表由x1，x2，…，xT的變化過程中，除了需要研究數(shù)據(jù)的主要特征隨時(shí)間的變化以外，還要分析數(shù)據(jù)在主軸上的分布方差是否發(fā)生了較大的變化。分別從以下三個(gè)指標(biāo)來觀察數(shù)據(jù)在主軸散布范圍發(fā)生的變化。

（1）在h軸上，數(shù)據(jù)的分散程度的差分

（2）比較在t+1年，哪個(gè)主軸的散布范圍較大

（3）比較1～T年間，哪個(gè)主軸的分散范圍較大四、樣本點(diǎn)間相對(duì)位置和排列順序的變化

隨著時(shí)間的發(fā)展，群點(diǎn)在某一方向上的相對(duì)位置和排列順序也會(huì)發(fā)生變化。例如，改革開放以來，我國沿海城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展速度較其他地區(qū)的城市要快，特別在對(duì)外貿(mào)易方面，其發(fā)展更為顯著。如果第一主軸反映了城市經(jīng)濟(jì)的綜合實(shí)力，則在這個(gè)軸上可以看出，在不同的年份上，各城市由于發(fā)展速度不一，因此，相對(duì)位置和順序都有變化，沿海城市的經(jīng)濟(jì)實(shí)力顯然日趨向前。

如何反映樣本點(diǎn)間位置和順序的變化呢?有一個(gè)要點(diǎn)必須注意，這就是必須在同一的軸上比較樣本點(diǎn)的位置和順序，因此，取全局主成分分析的第h主軸，它對(duì)所有時(shí)刻的數(shù)據(jù)表都是同一的。在其上的投影為

1、在上的投影坐標(biāo)是否有明顯移動(dòng)2、樣本點(diǎn)排列順序的改變

下例是我國1998年和1999年城鎮(zhèn)居民分地區(qū)的消費(fèi)支出資料：X1:食品支出X2：衣著支出X3：家庭設(shè)備用品及服務(wù)支出X4：醫(yī)療保健支出X5：交通和通訊支出X6：娛樂教育文化支出X7：居住支出X8：雜項(xiàng)商品支出進(jìn)行主成分分析，并比較全局主成分分析和單張數(shù)據(jù)表主成分分析的結(jié)果。

EigenvaluesoftheCorrelationMatrix(全局主成分特征根）

EigenvalueDifferenceProportionCumulativeA16.991256.443290.8739060.87391A20.547960.395310.0684950.94240A30.152660.030190.0190820.96148A40.122470.039720.0153090.97679A50.082750.020420.0103440.98714A60.062330.021900.0077920.99493A70.040440.040300.0050550.99998A80.00014.0.0000181.00000

全局主成分特征向量

A1A2A3A4A5A6A7A8X10.374493-.1722570.0301430.1362130.0768490.0623450.005073-.894875X20.346007-.4454110.0249560.5328520.4380700.136731-.2416230.358262X30.3119840.7107280.4116740.1643450.360232-.0555440.2538820.061138X40.362343-.1944250.2938680.105955-.6236040.3106540.4619670.185796X50.360705-.0969810.484438-.536079-.081534-.154719-.5485230.083447X60.3457510.425463-.516114-.016448-.2035760.488600-.3864440.057272X70.3647430.060889-.3321680.215494-.291244-.7840800.0021870.082907X80.358775-.186733-.362278-.5702540.3881050.0194250.4620620.124385

EigenvaluesoftheCorrelationMatrix98年數(shù)據(jù)表的主成分分析

EigenvalueDifferenceProportionCumulativeB17.105926.589490.8882400.88824B20.516430.391980.0645530.95279B30.124440.024300.0155550.96835B40.100140.023200.0125170.98087B50.076940.020310.0096170.99048B60.056620.037210.0070780.99756B70.019420.019320.0024270.99999B80.00010.0.0000121.00000

Eigenvectors98年數(shù)據(jù)表的主成分分析

B1B2B3B4B5B6B7B8X10.372150-.159966-.071551-.0574580.1023940.118105-.006808-.896111X20.349028-.418593-.335008-.1526090.5170270.3107460.2795720.354117X30.3127890.7295050.271016-.0344110.4964770.150524-.1511450.057958X40.365701-.1204550.051476-.389966-.4167590.320595-.6189330.193606X50.361312-.0923210.626102-.266618-.242140-.1698330.5514190.079394X60.3471550.403651-.4799120.280454-.4875650.1951880.3580380.059746X70.3643650.038843-.325100-.1549220.069968-.833079-.1753680.079806X80.352541-.2820220.2802520.8039970.027822-.055566-.2299180.120426

EigenvaluesoftheCorrelationMatrix（99年數(shù)據(jù)表的主成分分析）

EigenvalueDifferenceProportionCumulativeC16.943786.340700.8679730.86797C20.603080.443010.0753850.94336C30.160080.042350.0200100.96337C40.117730.029250.0147160.97808C50.088480.035560.0110610.98914C60.052920.019150.0066150.99576C70.033770.033610.0042210.99998C80.00015.0.0000191.00000

Eigenvectors99年數(shù)據(jù)表的主成分分析

C1C2C3C4C5C6C7C8X10.375326-.176598-.0252980.1422440.0430480.0535250.055225-.894037X20.342405-.456571-.1426110.6341270.2991710.174451-.0337740.361620X30.3110940.6877270.3324640.4100550.013385-