11.5　二項分布與超幾何分布

11.5

二項分布與超幾何分布第十一章課標要求1.通過具體實例,了解伯努利試驗,掌握二項分布及其數(shù)字特征,并能解決簡單的實際問題.2.通過具體實例,了解超幾何分布及其均值,并能解決簡單的實際問題.備考指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容在高考中主要以解答題形式出現(xiàn),考查二項分布、超幾何分布的分布列及均值、方差,多與實際生活、社會熱點、科技前沿等情境結(jié)合,有時與圖表信息綜合,難度中高檔.考查數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).復(fù)習時要進一步強化知識在實際情境的應(yīng)用;尤其對于二項分布,要注意典型案例的總結(jié)和剖析.內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

1.伯努利試驗與n重伯努利試驗(1)只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.(2)將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.問題思考n重伯努利試驗具有哪些共同特征?(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次;(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.2.二項分布(1)定義:一般地,在n重伯努利試驗中,設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=_________,k=0,1,2,…,n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作

X~B(n,p).(2)均值和方差:若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).溫馨提示當n=1時,隨機變量X服從兩點分布,此時E(X)=p,D(X)=p(1-p).3.超幾何分布(1)定義:一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在n重伯努利試驗中,各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.(

)(2)在n重伯努利試驗中,各次試驗中事件發(fā)生的概率可以不同.(

)(3)如果在一次試驗中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n重伯努利試驗中,這個事件恰好發(fā)生k次的概率

(

)(4)二項分布是一個概率分布,其概率公式相當于(a+b)n的二項展開式的通項公式,其中a=p,b=1-p.(

)(5)從4名男演員和3名女演員中隨機選出4名,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)√×√×√2.在100張獎券中,有4張能中獎,從中任取2張,則2張都能中獎的概率為(

)CA4.從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學競賽,則所選3人中,女生至多有1人的概率為

.

1第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1n重伯努利試驗與二項分布命題角度1n重伯努利試驗的概率例1

甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別

,假設(shè)每人每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標的概率;(2)求兩人各射擊2次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標1次的概率.命題角度2二項分布的應(yīng)用例2

(2021遼寧錦州一模)核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù),先取病人的唾液或咽拭子的樣本,再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì),如果有病毒,那么樣本檢測會呈現(xiàn)陽性,否則為陰性.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為p(0<p<1).現(xiàn)有4例疑似病例,分別對其取樣、檢測,多個樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗.混合樣本中只要有病毒,則混合樣本化驗結(jié)果就會呈陽性,若混合樣本呈陽性,則將該組中備份的樣本再逐個化驗;若混合樣本呈陰性,則判定該組各個樣本均為陰性,無需再檢驗.現(xiàn)有以下三種方案:方案一:逐個化驗;方案二:四個樣本混合在一起化驗;方案三:先平均分成兩組,每組兩個樣本混合在一起,再分組化驗.在新冠肺炎爆發(fā)初期,由于檢查能力不足,化驗次數(shù)的期望值越小,則方案越“優(yōu)”.解題心得1.求n重伯努利試驗概率的三個步驟(1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗的特征,判斷所給試驗是否為n重伯努利試驗.(2)拆分:判斷所求事件是否需要拆分為幾個互斥事件的和事件,若需要,則先拆分.(3)計算:先對拆分后的每個事件依據(jù)n重伯努利試驗的概率計算公式求解概率,再利用互斥事件的概率加法公式計算.2.二項分布滿足的條件(1)在每次試驗中,事件發(fā)生的概率是相同的;(2)各次試驗中的事件是相互獨立的;(3)每次試驗只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;(4)隨機變量是n重伯努利試驗中事件發(fā)生的次數(shù).對點訓(xùn)練1(1)設(shè)事件A在每次試驗中發(fā)生的概率相同,在三重伯努利試驗中,若事件A至少發(fā)生一次的概率為

,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為(

)C(2)某網(wǎng)絡(luò)平臺的商家進行有獎促銷活動,顧客購物消費每滿600元,可選擇直接返回60元現(xiàn)金或參加一次答題返現(xiàn),答題返現(xiàn)規(guī)則如下:從電腦題庫中隨機選出一道題目讓顧客限時作答,若答對,則可獲得120元返現(xiàn)獎勵,若答錯,則沒有返現(xiàn).假設(shè)顧客答對每道題目的概率都是0.4,且答題的結(jié)果互不影響.①若某顧客購物消費1800元,請分析作為網(wǎng)絡(luò)平臺的商家,是希望該顧客選擇直接返回180元現(xiàn)金,還是選擇參加3次答題返現(xiàn).②若某顧客購物消費7200元,且都選擇參加答題返現(xiàn),請計算該顧客答對多少次題目的概率最大,最有可能返回多少元現(xiàn)金.解

①設(shè)X表示顧客參加3次答題返現(xiàn)中答對題目的次數(shù),則由題意可知X~B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2,所以該顧客選擇參加3次答題返現(xiàn)可獲得的返現(xiàn)金額的均值為1.2×120=144(元).因為144<180,所以商家希望該顧客選擇參加3次答題返現(xiàn).②依題意,該顧客參加了12次答題返現(xiàn).設(shè)答對題目的次數(shù)為Y,則Y~B(12,0.4).設(shè)該顧客答對k次題目的概率最大,解得4.2≤k≤5.2,所以k=5.答對5次題目可獲得的返現(xiàn)獎勵為5×120=600(元).故該顧客答對5次題目的概率最大,最有可能返回600元現(xiàn)金.能力形成點2超幾何分布命題角度1利用超幾何分布求分布列例3

端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同.從中隨機取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望.命題角度2超幾何分布的應(yīng)用例4

某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,凡在該超市購物滿500元的顧客,可以獲得一次抽獎機會,有兩種方案.方案一:在抽獎的盒子中有除顏色外完全相同的2個黑球,3個白球,顧客一次性摸出2個球,規(guī)定摸到2個黑球獎勵50元,1個黑球獎勵20元,沒有摸到黑球獎勵15元.方案二:在抽獎的盒子中有除顏色外完全相同的2個黑球,3個白球,顧客不放回地每次摸出一個球,直到將所有黑球摸出才停止,規(guī)定2次摸出所有黑球獎勵50元,3次摸出所有黑球獎勵30元,4次摸出所有黑球獎勵20元,5次摸出所有黑球獎勵10元.(1)記X為1名顧客選擇方案一時摸出黑球的個數(shù),求隨機變量X的均值;(2)若你為一名要摸獎的顧客,請問你選擇哪種方案進行抽獎?說明理由.解題心得1.超幾何分布的兩個特點(1)超幾何分布是不放回抽樣問題;(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).2.超幾何分布屬于古典概型,主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型.3.對于超幾何分布的實際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是利用超幾何分布的概率計算公式得出概率或分布列,有時需根據(jù)分布列求出均值或方差.對點訓(xùn)練2(1)在箱子中有10個除顏色外完全相同的球,其中有3個紅球,3個白球,4個黑球.從這10個球中一次性任意取出3個.求:①取出的3個球中紅球的個數(shù)X的分布列;②取出的3個球中紅球的個數(shù)多于白球的個數(shù)的概率.②設(shè)“取出的3個球中紅球的個數(shù)多于白球的個數(shù)”為事件A,“恰好取出1個紅球和2個黑球”為事件A1,“恰好取出2個紅球”為事件A2,“恰好取出3個紅球”為事件A3,則事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,(2)為回饋顧客,某商場擬通過模擬兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球(除面值外其他完全相同)的袋中一次性隨機摸出2個球,球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.①若袋中所裝的4個球中有1個標有50元,其余3個均標有10元,求顧客所獲的獎勵額為60元的概率及顧客所獲的獎勵額的分布列和均值.②商場對獎勵總額的預(yù)算為60000元,并規(guī)定袋中的4個球只能由標有10元和50元的兩種球或標有20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡,請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計,并說明理由.②根據(jù)商場的預(yù)算,可知每位顧客所獲的平均獎勵額為60元.對于由標有10元和50元的兩種球組成的情況,若選擇3個標有10元,1個標有50元的方案,則60元是面值之和的最大值,故均值不可能為60元;若選擇3個標有50元,1個標有10元的方案,則60元是面值之和的最小值,故均值也不可能為60元.因此4個球必是2個標有10元,2個標有50元,記為方案1.對于由標有20元和40元的兩種球組成的情況,同理4個球必是2個標有20元,2個標有40元,記為方案2.第三環(huán)節(jié)學科素養(yǎng)提升概率與數(shù)列的交匯問題(2)記第二次來公司購買產(chǎn)品的3人中有X人購買產(chǎn)品A,求X的分布列及均值;(3)經(jīng)過一段時間的經(jīng)營,每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人,假定這800人都已購買過很多次這兩種產(chǎn)品,則公司每天應(yīng)至少準備A,B兩種產(chǎn)品各多少份?(直接寫結(jié)論,不必說明理由)思路建立(1)利用全概