2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第七章平面解析幾何第二講兩直線的位置關(guān)系課件

第二講兩直線的位置關(guān)系課標(biāo)要求考情分析1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離1.本講以考查兩條直線的位置關(guān)系、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條直線的交點坐標(biāo)為主，有時也會與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查.2.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，特別是距離公式，是高考考查的重點名稱一般式斜截式直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b21.兩條直線的位置關(guān)系(續(xù)表)名稱兩點間的距離公式點到直線的距離公式兩平行線間的距離公式條件兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)點A(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)距離公式|P1P2|＝d＝d＝2.三個距離公式【名師點睛】(1)兩直線平行的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要條件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).(2)兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.題組一走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√題組二走進(jìn)教材

2.(教材改編題)若

A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2，12)，則下面四個結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案：C3.(教材改編題)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0)的距離為1，則a等于(答案：C題組三真題展現(xiàn)答案：4考點一兩直線的平行與垂直

[例1](1)(2021年江西模擬)設(shè)不同直線l1：x－my＋1＝0，l2：(m－1)x－2y－2＝0，則“m＝2”是“l(fā)1∥l2”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：C(2)已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為()答案：D【題后反思】

(1)當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.【變式訓(xùn)練】(2021年遵化期中)已知直線L1：ax＋2y＋6＝0和直線L2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，a∈R.(1)當(dāng)L1⊥L2時，求a的值；(2)當(dāng)L1與L2平行時，求a的值.考點二兩直線的交點與距離問題[例2](1)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點，則點(m，n)到原點的距離的最小值為()答案：A

(2)(2021年上海青浦高級中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離.當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為()A.1B.2C.3D.4

解析：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P為單位圓上一點.而直線x－my－2＝0過點A(2,0)，記坐標(biāo)原點為O，所以d的最大值為|OA|＋1＝2＋1＝3.

答案：C答案：2或－6【題后反思】

(1)求過兩直線交點的直線方程的方法：求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. (2)利用距離公式的注意點①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.②應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為相等.【變式訓(xùn)練】1.已知曲線y＝ax(a>0且a≠1)恒過點A(m，n)，則點A到直線x＋y－3＝0的距離為________.

解析：由題意，可知曲線y＝ax(a>0且a≠1)恒過點(0,1)，所以A(0,1).所以點A到直線x＋y－3＝0的距離d＝

2.直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________.

當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意.

答案：x＋3y－5＝0或x＝－1考點三對稱問題考向1點關(guān)于點中心對稱

[例3]過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________.

解析：設(shè)l1

與l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2

上，代入l2

的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0考向2點關(guān)于直線對稱

[例4]如圖7-2-1，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線)OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程是(

圖7-2-1圖7-2-2答案：C考向3直線關(guān)于直線的對稱問題

[例5]直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是________.答案：x－2y＋3＝0【題后反思】解決對稱問題的方法(1)中心對稱①點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)

②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.

(2)軸對稱 ①點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點為A′(m，n)，

②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.【考法全練】1.(考向1)若點(a，b)關(guān)于直線y＝2x的對稱點在x軸)上，則a，b滿足的條件為( A.4a＋3b＝0 B.3a＋4b＝0 C.2a＋3b＝0 D.3a＋2b＝0解析：設(shè)點(a，b)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(t,0)，解得4a＋3b＝0.答案：A

2.(考向3)直線l：x－y－2＝0關(guān)于直線3x－y＋3＝0對稱的直線方程是________.答案：7x＋y＋22＝0

3.(考向2)已知△ABC的頂點A(1,2)，B(－1，－1)，直線l：2x＋y－1＝0是△ABC的一個內(nèi)角平分線，求BC邊所在直線的方程及點C到AB的距離.解：∵A(1,2)，B(－1，－1)均不在直線2x＋y－1＝0上，∴2x＋y－1＝0為∠ACB的平分線.設(shè)A(1,2)關(guān)于直線2x＋y－1＝0對稱的點為A′，則A′一定在直線BC上，⊙巧用直線系求直線方程(1)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系數(shù)λ∈R.在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直線l2.(2)過定點(x0，y0)的直線系方程為y－y0＝k(x－x0)(k為參數(shù))及x＝x0.

(3)平行直線系方程：與直線y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m(m為參數(shù)且m≠b)；與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是參數(shù)且λ≠C). (4)垂直直線系方程：與直線Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ為參數(shù)).

如果在求直線方程的問題中，有一個已知條件，另一個條件待定時，那么可選用直線系方程來求解.

[例6](1)求證：動直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中m∈R)恒過定點，并求出定點坐標(biāo).將點A(－1,2)的坐標(biāo)代入動直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)×(－1)＋(1＋m－m2)×2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，故動直線(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒過定點A(－1,2).

(2)求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.(方法二)設(shè)所求直線方程為4x＋3y＋m＝0，將法一中求得的交點P(0,2)代入上式可得m＝－6，故所求直線方程為4x＋3y－6＝0.(方法三)設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.[引申]若將本例(2)中的“垂直”改為“平行”，則直線l的方程為3x－4y＋8＝0.【題后反思】確定方程含參數(shù)的直線所過定點的方法(1)將直線方程寫成點斜式y(tǒng)－y0＝f(λ)(x－x0)，從而確定定點(x0，y0)；(2)將直線方程整理成關(guān)于參數(shù)的方程，由方程中各項系數(shù)及常數(shù)項為0確定定點坐標(biāo)；(3)給參數(shù)取兩個不同值，再解直線方程構(gòu)成的方程組，從而確定定點坐標(biāo).

【高分訓(xùn)練】

1.經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于3x＋4y－7＝0的直線方程為________.即4x－3y＋9＝0.答案：4x－3y＋9＝02.經(jīng)過兩直線l1

：2x－3y＋2＝0與l2：3x－4y－2＝0)的交點，且平行于直線4x－2y＋7＝0的直線方程是( A.x－2y＋