2005-2008年江蘇專轉本高數真題(打印版)

28.y.x .y.y則下列說法正確的是B、若（.y.x .y.y則下列說法正確的是B、若（2）收斂、則（1）必收斂D、若（1）、（2）斂散性相同4分，滿分24分）7、8、2005年江蘇省普通高?！皩＾D本”統(tǒng)一考試高等數學、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.）……、 ?11、x=0是f(x)=xsin—的xA、可去間斷點B、跳躍間斷點C、第二類間斷點 D、連續(xù)點.. 2、右x=2是函數y=x—ln(-+ax)的可導極值點，則常數a=2A、—1 B、一 C、一一 D、123、若Jf(x)dx=F(x)+C,貝UJsinxf(cosx)dx=A、F(sinx)+CB、一F(sinx)+CC、F(cos)+CD、一F(cosx)+Cx5、設u（x,y）=arctan—,v（x,y）=ln%；x十y，則下列等式成立的是ya：u :v uuujvTOC\o"1-5"\h\zA、—=— B、—=—;=x ；=y ；:x；x一— 二 二36、正項級數（1）￡un、（2）￡un,n1 n1A、若（1）發(fā)散、則（2）必發(fā)散C、若（1）發(fā)散、則（2）不定二、填空題（本大題共 6小題，每小題x.x.e-e-2xlxm x-sinx函數f（x）=lnx在區(qū)間1,e】上滿足拉格郎日中值定理的 J9、4、設區(qū)域D是xoy平面上以點A（1,1）、B（—1,1）、C（—1,—1）9、區(qū)域Di是D在第一象限的部分，則:11(xycosxsiny)dxdy=D10、設向量口=｛34—2｝、P=41*｝；豆、P互相垂直，則k=A、2口(cosxsiny)dxdydiC、4jj(xy+cosxsiny)dxdyDiB、20xydxdydiD、00 ：|1-x211、交換二次積分的次序 Ldxf書f（x,y）dy=QO12、哥級數Z（2n-1）xn的收斂區(qū)間為

n二三、解答題(本大題共8小題，每小題8分，滿分64分)四、證明題(本題8分)'f(x)+2sinx13、設函數F(x)=?x--0x0在R內連續(xù)，并滿足： f(0)=0、x=021、證明方程：x3—3x+1=0在L1,1】上有且僅有一根.五、綜合題(本大題共4小題，每小題10分，滿分30分)14、設函數y=y(x)由方程15、計算tan3xsecxdx.16、1計算arctanxdx17、已知函數z=f(sinx,y18、19、20、x二cost=sint-1cost所確定，求-dxd2ydx222、設函數y=f(x)的圖形上有一拐點P(2,4),在拐點處的切線斜率為-3,? 、 一一一 . " _ . . Q， 、又知該函數的二階導數y=6x+a,求f(x).23、已知曲邊三角形由y2=2x、x=0、y=1所圍成，求:2、一- - ?、一…),其中f(u,v)有二階連續(xù)偏導數,x—4y-3求過點A(3,1,-2)且通過直線L: =1-2x把函數f(x)= 2展開為2~■x~■x求被分方程xy+y—e=0滿足,:z求——Fx-2:z.:x:y(1)、曲邊三角形的面積;(2)、曲邊三角形饒X軸旋轉一周的旋轉體體積=-的平面方程.1x的哥級數，并寫出它的收斂區(qū)間yx=1=e的特解.uu24、設f(x)為連續(xù)函數，且f(2)=1,F(u)=(dy(f(x)dx,(u>1)(1)、交換F(u)的積分次序;(2)、求F(2).2005年江蘇省普通高?！皩＾D本”統(tǒng)一考試二1.一---ln242高等數學參考答案17、fz '—=cosx■f1，Fx-2:z '' =cosx(f122y)=2ycosxfrxjy1218、1、A2、C3、D4、B5、A6、Cl=[5,2,11，B=14,-3,0)，AB=11,-4,2:7、29、ji10、511、[dy]=f(x,y)dx12、(-1,1)二=lAB==18,-9,-22'13、因為F(x)在x=0處連續(xù),所以limF(x)=F(0)，x0平面點法式方程為:limF(x)=limx—0 xj0f(x)2sinxlimx—0f(x)-f(0)2=f'(0)2=62=88(x—3)—9(y—1)—22(z+2)=0,即8x—9y—22z=59.19、f(x)=14、dy3(2xdy_dt_cost-costtsintdxdx-sintd2ydx2(y)txtdt15、原式(sec22 .-1)dsecx=secxdsecx-secx二一sec

316、原式=xarctan1x2JIdx=一41 2ln(1x)2」二csct.-sintn=0x-secxC.11d(1x2)1x220、|(1)1+1xn,收斂域為一1<x<1.IL2n1y=e/xx1.e.鏟—exdxCCex= r x因為y（1）=e,e=e+C,所以C=0,故特解為y=—.xux u(1)F(u)=1f(x)d。=J1dx(f(x)dy=J1(x—1)f(x)dx；D21、證明：令f(x)=x3—3x+1,xWL1,1]，且f(—1)=3>0,f(1)=—1<0,(2)F(u)=(u—1)f(u),F(2)=(2—1)f(2)=f(2)=1.f(-1)f(1)<0,由連續(xù)函數零點定理知， f（x）在（-1,1）上至少有一實根2006年江蘇省普通高校“專轉本”統(tǒng)一考試(提醒：本題亦可用反證法證明)22、設所求函數為y=f(x),則有f(2)=4,f(2)=-3,f(2)=0.由y=6x+a,y(2)=0得a=—12,即y=6x—12.因為y=6x—12,故y=3x2-12x+C1,由y(2)=—3,解得C1=9.3 2故y=x-6x^9x+C2,由y(2)=4,解得C2=2.高等數學參考答案1、C2、B3、C7、28、f(xo) 9、13、原式=limx：1卜-431 -1x224、-110、5、C6、Axy/ ■ 、111、e(ysinx+cosx)12、1所求函數為：y=x3-6x29x2.一11 2 1 31 123、(1)S=(-ydy=-y0=-02 6 61 1(2)Vx=n](12-2x)dx=n(x-x2)20 014、dy一工dxxt2t1t2_2zii_4t31t2ji415、原式 2二1lnxd(1lnx)=3(1lnx)224、解：積分區(qū)域D為：1EyEu,y<x<u16、原式j2x2dsinx=x2sinxL0(2-22xsinxdx=——0 422xdcosx■02Tl+2xcosxJIJI-2；cosxdx=2JI--2421、令f(x)=3x—x3,xwI—2,2】，f'(x)=3—3x2=0,x=±1,f(—1)=—2,f(1)=2,f(2)=—2,f(—2)=2；所以fmin=-2,fmax=2,17、方程變形為y分離變量得:-f^ydp=f-dx，Px18、令g(x)=ln(1+x),故f(x);二(-1)12

xn=019、yy' '"[，令P="則y=p+xp,代入得：xp=Inx+Cg(0)=0，g-1x：1.U1,1｝、n2<4,-3,1),l直線方程為止3y-120、：Z2一二x-y =2xf2y二xInx+C(x)八(-1)二n1 12 "x2(f212xf22n=0n=0n1-1-3一'3y)=2xf22xf21=2i3jkx2yf22.2=Pn?2故—2Wf(x)<2,即3x-x3<2.22、y=2x+y,y(0)=0通解為y=(—2x—2)+Cex,由y(0)=0得C=2,故y=—2x—2+2ex.c2 2 2 6423、(1)S=J(8-x2-x2)dx=—一 34—2(2)V=兀￡(4y)dy+兀J：0r8:y)2dy=16兀24、0f(x)dxdy=]0dxyf(x)dy=tJ0f(x)dxDtt(1)limg(t)=lim[f(x)dx=0,由g(t)的連續(xù)性可知t0 t00a=g(0)=limg(t)=0 (2)當t￥。時，g(t)=f(t),當t=0時，g(0)=hmg(h)-g(0)=limh>0h0f(x)dx=limf(h)=f(0)h>0綜上，g(t)=f(t).0000A、如果limun=0,則￡un必收斂

n>0 nJ2006年江蘇省普通高?！皩＾D本”統(tǒng)一考試高等數學、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.）00B、如果lim汕=l(0ElEg),則工Un必收斂

n叱Un n=11、若呵f（X）則limx_0QO QO QO OOC、如果工Un,則工U2必定收斂D、如果工（—1）nUn,則工Un必定收斂

n1 nT n1 n1A、B、22、函數f(X)=?2 1xsin一x0C、3D、X"0在x=0處x=06、設對一切x有f(-x,y)=-f(x,y),D={(x,y)|x2+y2M1,y之0},2 2Di={(x,y)|x+yW1,x20,y之0},貝UJJf(x,y)dxdy=DA、0BIIf(x,y)dxdyC、211f(x,y)dxdyD、411f(x,y)dxdy

Di Di DiA、連續(xù)但不可導 B、連續(xù)且可導 C、不連續(xù)也不可導 D、可導但不連續(xù)、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）D、D、y=1——x1 -2x .D、--e C23、下列函數在1-1,1】上滿足羅爾定理條件的是A、y=ex B、y=1+xC、y=1-x24、已知Jf(x)dx=e2x+C,貝U』f'(—x)dx=_2x 1_2x _2xA、2eCBeC C、-2eC25、設￡un為正項級數，如下說法正確的是n17、已知xt0時，a(1-cosx)與xsinx是等級無窮小，則a=8、若mf(x)=A，且f(x)在x=x0處有定義，則當A=時，f(x)x>x0在x=x0處連續(xù).9、設f(x)在b,1】上有連續(xù)的導數且f(1)=2,，f(x)dx=3,則(xf'(x)dx=I—?I -h— f—b-f10、設耳=1,a，b,貝Ua，(a+b)=11、設u=exysinx,——=；:x12、“dxdy=.其中D為以點0(0,0)、A(1,0)、B(0,2)為頂點的三D角形區(qū)域.三、解答題(本大題共 8小題，每小題8分，滿分64分)13、計算lim—(=—.x1.x-1x=ln(1+t2)一,dyd2y14、若函數y=y(x)是由參數方程［x( )所確定，求dy、?、y=t-arctant dxdx、…11lnx15、計算』 dx.xn216、計算『xcosxdx.17、求微分方程x2y=xy-y2的通解.TOC\o"1-5"\h\z18、將函數f(x)=ln(1+x)展開為x的募函數(要求指出收斂區(qū)間) ^19、求過點M(3,1,—2)且與二平面x—y+z—7=0、4x—3y+z—6=0的直線方程.- -2一一，2 ZZ20、T^z=xf(x,xy)其中f(u,v)的二階偏導數存在，求一、 .二y :yx四、證明題(本題滿分8分).21、證明：當xE2時，3x-x3|<2.五、綜合題(本大題共3小題，每小題10分，滿分30分)22、已知曲線y=f(x)過原點且在點(x,y)處的切線斜率等于2x+y,求此曲線方程.2 223、已知一平面圖形由拋物線 y=x、y=—x+8圍成.(1)求此平面圖形的面積；(2)求此平面圖形繞y軸旋轉一周所得的旋轉體的體積 .1IIf(x)dxdyt=0土…24、設g(t)={tD ，其中Dt是由x=t、y=t以及坐標軸圍at=0成的正方形區(qū)域，函數f(x)連續(xù).(1)求a的值使得g(t)連續(xù)；.一'.、(2)求g(t).2007年江蘇省普通高?！皩＾D本”統(tǒng)一考試高等數學A、B、「::1(-1)nC、工D、cdzn1(-1)n、.n、填空題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)一、單項選擇題(本大題共 6小題，每小題4分，滿分24分.)TOC\o"1-5"\h\z什f(2x)ntt 11、右lim =2,則limxf(一)=x—0x J'2xA、1 B、1 C、2 D、44 22、已知當xt0時，x2ln(1+x2)是sinnx的高階無窮小，而sinnx又是1—cosx的高階無窮小，則正整數n=A、1 B、2 C、3 D、4 _....._.__. 一'，、一3、設函數f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3),則方程f(x)=0的實根個數為A、1 B、2 C、3 D、4 … --,?4、設函數f(x)的一個原函數為sin2x,則Jf(2x)dx=,八 1A、cos4x+CB、—cos4x+CC、2cos4x+CD、sin4x+C2x2 25、設f(x)=[sintdt,貝Uf(x)=4 2 2 4A、sinxB、2xsinxC、2xcosx D、2xsinx-7、設函數f(x)={(1+kx)xx#°,在點x=0處連續(xù)，則常數k=2x=028、若直線y=5x+m是曲線y=x+3x+2的一條切線，則常數m=9、定積分54-x2(1+xcos3x)dx的值為■' '' '1 1 —10、已知a,b均為單位向量，且ab,則以向量a.b為鄰邊的平行四邊2形的面積為 一x11、設z=一，則全微分dz=y12、設y=Ge2x+C2e3x為某二階常系數齊次線性微分方程的通解，則該微分方程為 三、解答題(本大題共8小題，每小題8分，滿分64分)6、下列級數收斂的是13、求極限則xe-x-1xtanx14、設函數y=y(x)由方程ex13、求極限則xe-x-1xtanx14、設函數y=y(x)由方程ex-ey=xy確定，求dydxx=0d2ydx2x=015、求不定積分Jx2e"dx.t、1 1-x216、計算定積分12 2dx.Vx17、設z=f(2x+3y,xy)其中f具有二階連續(xù)偏導數，求-2二z.:x;y四、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)21、設平面圖形由曲線y=1-x2(x之0)及兩坐標軸圍成.(1)求該平面圖形繞x軸旋轉所形成的旋轉體的體積；(2)求常數a的值，使直線y=a將該平面圖形分成面積相等的兩部分3 222、設函數f(x)=ax+bx+cx—9具有如下性質：(1)在點x=-1的左側臨近單調減少；(2)在點x=-1的右側臨近單調增加；(3)其圖形在點(1,2)的兩側凹凸性發(fā)生改變.試確定a,b,c的值.18、求微分方程xy'—y=2007x2滿足初始條件yxm=2008的特解.1919、求過點(1,2,3)且垂直于直線x+y+z+2=03十—、工口的平面萬程.、2x-y+z+1=020、計算二重積分』[Vx2+y2dxdy,其中D={x,y)|x2+y2W2x,y之0,D

五、證明題(本大題共2小題，每小題9分，滿分18分)bbb23、設baa>0,證明：fdyff(x)e"dx=[(e-e)f(x)dx.'a'y 'a2 224、求證：當x>0時，(x—1)lnx々(x—1).2007年江蘇省普通高?！皩＾D本”統(tǒng)一考試16、解:1、B2、7、ln28、11、1dxy13、解:14、高等數學參考答案3、C4、A5、D6、D19、2n10、x.--dy12>yx..e-x-1lim x10xtanx:方程exGcos21 二dx4卡dt"717、解:- -2--z'J二z——=2f1+yf2, 二x 二xcy18、解:y''=5y'6y=0=limx)0y-e二xyx xe-1e=lim 二lim一二x02xx—02兩邊對x求導數得=2(=3f12x) f2 y(f213f22x)=6f11(2x3y)f12 xyf22'1 _ ’ 1 ，一原萬程可化為y--，y=2007x,相應的齊次方程y--，y=0的通解為y=Cx.可設原方程的通解為y=C(x)x.將其代入方程得C(x)x+C(x)-C(x)=2007x,所以C(x)=2007,從而C(x)=2007x+C,故原方程的通解為 y=(2007x+C)x.又y(1)=2008,e-ey'y'=y+xy',故所以C=1,于是所求特解為y=(2007x+1)x.dy

dx=y'xe-yeyx(本題有多種解法，大家不妨嘗試一下)19、解：由題意，所求平面的法向量可取為15、又當x=0時,dydxx=0_1d2yjdx2=-2.x=0n=(1,1,1)(2,-1,1)=解:x2e?dx=-x2d(e^)=-x2e^2xe%x=-x2e^-2xd(e^)二—『-2xe^-2e^C.=(2,1,-3).-1故所求平面方程為2(x-1)+(y-2)-3(x-3)=02xy-3z5=0.iiiiy2dm二D亍cos3m-160 920、解:TOC\o"1-5"\h\z-- 2cosr2 82dl，、、：；=80 0 3- 1 22 8二21、解：(1)V=［兀(1—x)dx=——；0 151 1 3 3a - 1 - 一 一(2)由題息得f(1—y)之dy—1(1—y)之dy.由此得(1—a)2—1——(1—a)2.解o a1得a=1-(1)3.4 —— x-1 c于是，當0<x<1時，F(x)<F6=0,即lnx<土」，又x2—1c0,故x12 2(x-1)Inx>(x-1);x1當x21時，F(x)AF(1)=0,即lnx至——,又x2—120,故x1(x2-1)lnx_(x-1)2.綜上所述，當x>0時，總有(x2-1)lnx之(x-1)2.22、解：f(x)=3ax+2bx+c,f(x)=6ax+2b.由題意得f(—1)=0、f(1)=0、f(1)=2,解得a=—1、b=3、c=9'awxwbD'awxwbD:*aEy<x23、證明：積分域D:1 ，積分域又可表示成y<x<bTOC\o"1-5"\h\zbb bx b xdyf(x)eydx=jdxf(x)eydy-Jf(x)edxeydyay aa a a= f(x)e2x(ex-ea)dx=(e3x-e2xa)f(x)dx.a a一* xT24、證明：令F(x)=lnx———，顯然，F(x)在(0,+至)上連續(xù).由于x1F'(x)=x12x(x1)2>0,故F(x)在(0,")上單調遞增,20082008年江蘇省普通高校“專轉本”統(tǒng)一考試4、設向量"a=(1,2,3),1=(3,2,4),則a?等于高等數學、單項選擇題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)1、設函數f(x)在(*,十比)上有定義，下列函數中必為奇函數的是A、y--f(x) B、y=x3f(x4)C、y=-f(-x) D、y=f(x)f(-x)2、設函數f(x)可導，則下列式子中正確的是A、(2, 5, 4) B、(2,-5,—4) C、(2, 5, —4) D、(一2,—5,4)5、函數z=ln-y在點(2,2)處的全微分dz為xTOC\o"1-5"\h\z11 ii 1,1, 1,1,A、 --dx —dy B、—dx -dy C、—dx- -dy D、一一 dx--dy2 2 2 2 2 2 2 2、"I ' ' 6、效分萬桂y+3y+2y=1的通解為? .x _2x x _2x1A、y=Ge c2e 1B、y=c1e c2e —2C、y=c1exc2e^x1 D、y=c1exc2e^x-2、填空題(本大題共6小題，每小題4分，滿分24分)A、f(0)-f(x)

x=一f(0)B、limx0f(x02x)-f(x)

x=f(x。)x-17、設函數f(x)=i^ ,則其第一類間斷點為 .x(x-1)C、f(x0 ：x)f(x0x)△x=f(x°)f(x0--=x)-f(x0：=x) ?Dlm =2f(x0)19 ? …3、設函數f(x)=2tsintdt,則f(x)等于ax,x_0,8、設函數f(x)=(tan3x在點x=0處連續(xù)，則a= .,x:二0,xA, 2 2 2 2 ?cA、4xsin2xB、8xsin2xC、-4xsin2xD、-8xsin2x9、已知曲線y=2x3—3x2+4x+5,則其拐點為.1 . 10、設函數f(x)的導數為cosx,且f(0)=一,則不定積分ff(x)dx211、定積分12sinx1x2dx的值為20、2 求被分方程xy=2y+x的通解.12、哥函數一：;n、的收斂域為nmn2四、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)三、計算題(本大題共8小題,每小題8分，滿分64分)21、 1 一一一，、，，求曲線y=-(x>0)的切線，使其在兩坐標軸上的截距之和最小，并求此x最小值.x—2小13、求極限：lim( )3xXf：x14、設函數y=y(x)由參數方程x=t—sint, _t豐2nn,nwZ所決定，求y=1-cost,2dydydxdx215、求不定積分:3六dx.16、求定積分:1eXdx.17、設平面幾經過點A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,5),求經過點P(1,22、設平面圖形由曲線(1)求該平面圖形繞2,1)且與平面幾垂直的直線方程.18、設函數z=f(x+y,Y),其中f(x)具有二階連續(xù)偏導數,

x-2,二z求 ：x.y2 _ 2 .y=x,y=2x與直線x=1所圍成.x軸旋轉一周所得的旋轉體的體積(2)求常數a,使直線x=a將該平面圖形分成面積相等的兩部分五、證明題(本大題共2小題，每小題9分，滿分18分)23、設函數f(x)在閉區(qū)間b2a](a>0)上連續(xù)，且f(0)=f(2a)#f(a),證明：在開區(qū)間(0,a)上至少存在一點之，使得f《)=f(W+a).2 119、計算二重積分JJxdxdy,其中D是由曲線y=—,直線y=x,x=2及y=024、對任意實數x,證明不等式：(1-x)exM1.所圍成的平面區(qū)域2008年江蘇省普通高?！皩＾D本”統(tǒng)一考試16高等數學參考答案1—6B、A、D、C、A、B7、0 8、3 9、(2,17)110、-cosx+-x+c11、n12、匚2.2】21 1 1 , 1 1 1 / 1 1 1 1 / 1 11x-2 ,1 x2 -2 .1 x2 二二 .1x2 — 二 x"2 1 .1 x2 不10edx=J0ed(x2)=2j0e x2dx2=2(ede2=2(x2e0-J0edx2)1 1 11x== v-2d=2e-2fe2dx2=2e_2e0=2e-2e+2=2.J。 0T T17、由題意得：AB=(—2,3,0),AC=(-2,0,5),那么法向量為13、X—^23x 23x 226人lim( )=lim(1- =lim(1，令y=xX x、.：xx'，：xn=ABMAc#100 -25, 0-2-2■53-20=(15,10,6).18、18、：:xTOC\o"1-5"\h\zx-23x 1\~y6 1lim( ) =lim(1—) =-6.x一；「：x x一；「： y e’ '…..".一." 14、y(t)=sint,x(t)=1—cost,y(t)=cost,x(t)=sint.' 2 0dy_y(t)_sintdy_y(t)x(t)-y(t)x(t)_ -1dxx(t) 1-cost'd