人教新版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)134《最短路徑問(wèn)題》課件

八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題看圖思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的人多了……禁止踐踏愛護(hù)草坪兩點(diǎn)之間，線段最短看圖思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的將軍飲馬問(wèn)題：

兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？

這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問(wèn)題。將軍飲馬問(wèn)題：兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問(wèn)題早在古P兩點(diǎn)之間線段最短.

根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問(wèn)將軍怎樣走路程最短？最短路線：將軍飲馬：A---P---B.P兩點(diǎn)之間線段最短.根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例1

例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？AB河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對(duì)稱：

例2變式：已知：P、Q是△ABC的邊AB、

AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？?jī)牲c(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對(duì)稱：例2變式：已知：P、Q是△ABC的邊AB、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)草地河邊.駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？OMN(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部草地河邊.駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬例3變式：已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例3變式：已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，(三)二次軸對(duì)稱：例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要（四）二次軸對(duì)稱ABA/B/PQ最短路線：APQBlMNABA/B/PQ最短路線：APQBlMN例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，

試問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位......AA'BB'CDMON例4變式：（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部......AA'BB'CDMON例4變式：（四）二次軸對(duì)稱兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使將軍從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA(五)造橋選址問(wèn)題兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.古有愚公移山，今有學(xué)子搬橋，呵呵!我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連問(wèn)題延伸如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問(wèn)題延伸如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座思維分析如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處思維分析如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ思維方法

沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點(diǎn)至Ａ１點(diǎn)，沿垂直于第二條河岸方向平移Ｂ點(diǎn)至Ｂ１點(diǎn)，連接A1B1分別交A、B的對(duì)岸于N、P兩點(diǎn)，建橋MN和PQ.最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.思維方法沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點(diǎn)至Ａ１（2）把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，化折線為直線，

將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：（3）可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決。（1）求最短路線問(wèn)題------

通過(guò)幾何變換找對(duì)稱圖形。（4）“選橋選址問(wèn)題”移動(dòng)橋?qū)捄筮€是可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決。（2）把A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬的反思是進(jìn)步的階梯我的收獲；我的疑惑；面對(duì)一個(gè)新的求線段最短問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)怎樣的途徑去研究它？反思是進(jìn)步的階梯我的收獲；我的疑惑；面對(duì)一個(gè)新的求線段最短問(wèn)八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題看圖思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的人多了……禁止踐踏愛護(hù)草坪兩點(diǎn)之間，線段最短看圖思考：為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒(méi)有路，走的將軍飲馬問(wèn)題：

兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問(wèn)怎樣走路程最短？

這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問(wèn)題。將軍飲馬問(wèn)題：兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問(wèn)題早在古P兩點(diǎn)之間線段最短.

根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問(wèn)將軍怎樣走路程最短？最短路線：將軍飲馬：A---P---B.P兩點(diǎn)之間線段最短.根據(jù)：BA(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)例1

例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？AB河兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對(duì)稱：

例2變式：已知：P、Q是△ABC的邊AB、

AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？?jī)牲c(diǎn)在一條直線同側(cè)(二)一次軸對(duì)稱：例2變式：已知：P、Q是△ABC的邊AB、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)草地河邊.駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A，問(wèn)：這位將軍怎樣走路程最短？OMN(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部草地河邊.駐地A例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬例3變式：已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R，使△PQR的周長(zhǎng)最短嗎？(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例3變式：已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，(三)二次軸對(duì)稱：例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要（四）二次軸對(duì)稱ABA/B/PQ最短路線：APQBlMNABA/B/PQ最短路線：APQBlMN例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，

試問(wèn)怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，反彈擊中黑球？（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位......AA'BB'CDMON例4變式：（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部......AA'BB'CDMON例4變式：（四）二次軸對(duì)稱兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使將軍從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA(五)造橋選址問(wèn)題兩點(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.古有愚公移山，今有學(xué)子搬橋，呵呵!我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連問(wèn)題延伸如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問(wèn)題延伸如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上