基金使用計(jì)劃數(shù)學(xué)建模市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

基金使用計(jì)劃

某高?；饡?huì)有一筆數(shù)額為M元基金，打算將其存入銀行或購(gòu)置國(guó)庫(kù)券。當(dāng)前銀行存款及各期國(guó)庫(kù)券利率見(jiàn)下表。假設(shè)國(guó)庫(kù)券每年發(fā)行一次，發(fā)行時(shí)間不定。取款政策參考銀行現(xiàn)行政策。?；饡?huì)計(jì)劃在n年內(nèi)每年用部分本息獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)異師生，要求每年獎(jiǎng)金額大致相同，且在n年末仍保留原基金數(shù)額。校基金會(huì)希望取得最正確基金使用計(jì)劃，以提升每年獎(jiǎng)金額。請(qǐng)你幫助校基金會(huì)在以下情況下設(shè)計(jì)基金使用方案，并對(duì)M=5000萬(wàn)元，n=給出詳細(xì)結(jié)果：1.

只存款不購(gòu)國(guó)庫(kù)券。2.

可存款也可購(gòu)國(guó)庫(kù)券。3.

學(xué)校在基金到位后第三年要舉行百年校慶，基金會(huì)希望這一年獎(jiǎng)金比其它年度多20%。1銀行存款稅后年利率（%）國(guó)庫(kù)券年利率（%）活期0.792六個(gè)月期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.142基金使用計(jì)劃模型假設(shè)H1：該筆資金于年底一次性到位，自下一年起每年年底一次性發(fā)放獎(jiǎng)金，每年發(fā)放獎(jiǎng)金額是固定，記為yn。H2：僅考慮購(gòu)置二年、三年、五年期國(guó)庫(kù)券情況，假設(shè)三種國(guó)庫(kù)券每年最少發(fā)行一次，且只要想買，就一定能買到。H3：銀行利率和國(guó)庫(kù)券利率執(zhí)行現(xiàn)行利率標(biāo)準(zhǔn)，在n年內(nèi)不變。H4；國(guó)庫(kù)券提前支取，按同期銀行存款利率計(jì)息，且收取2%手續(xù)費(fèi)。3基金使用計(jì)劃模型建立將1元錢存入銀行，k年后本息最多可達(dá)rk元。第k年有Mk元存款到期，到期時(shí)取出本息和最大rkMkM元基金分成n份，每年一份M1，M2，M3，…，Mn將Mk存入銀行k年，到期取出本息作為第k年獎(jiǎng)金。rkMk=yn，k=1，2，…，

n-1rnMn=yn+M（1）（2）（3）4基金使用計(jì)劃整理k=1，2，…,n-1令每年獎(jiǎng)金額與M比值5基金使用計(jì)劃rk求法?k表示1元本金存k年期定時(shí)存款，k年后本息和1元本金存k年x1個(gè)一年期，x2個(gè)二年期，x3個(gè)三年期，x5個(gè)五年期本息和記為Ak（x1，x2，x3，x5）則其中6銀行存款稅后年利率（%）國(guó)庫(kù)券年利率（%）活期0.792六個(gè)月期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.147由（8）式不難看出以下結(jié)論任意交換兩個(gè)存期次序不改變本息和。且2個(gè)一年期不如一個(gè)2年期，以下解釋相同8定理：假如Ak（x1，x2，x3，x5）在取得最大值，則9表1銀行存款各種存款策略年均利率存款策略銀行存款稅后年均利率（%）最正確存款策銀行存款稅后最正確年均利率（%）一年期（1）1.800(1)1.800二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2)2.124(5)2.304六年期(3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.25510最大利率存款方案k存法rk5mm個(gè)五年期?5m5m+1m個(gè)五年期，一個(gè)一年期?1?5m5m+2m個(gè)五年期，一個(gè)二年期?2?5m5m+3m個(gè)五年期，一個(gè)三年期?3?5m5m+4m個(gè)五年期，一個(gè)三年期，一個(gè)一年期

?3?1?5m

最大利率存款方案表11Yn=rk*Mk=109.82(萬(wàn)元)Mk元107.88105.71103.13101.3198.4796.7394.7992.4890.844108.6612能夠存款也能夠購(gòu)置國(guó)庫(kù)券模型仍將M分成n份，Mk可作存款或購(gòu)置國(guó)庫(kù)券用，本息和作為第k年獎(jiǎng)金，最終一筆除獎(jiǎng)金外，還應(yīng)留下基金本金?；灸Ｐ屯Ｐ?，現(xiàn)需要求出最優(yōu)存款方案國(guó)庫(kù)券在一年內(nèi)不定時(shí)發(fā)行，為確保能及時(shí)買到，可考慮以下策略一筆錢先存六個(gè)月定時(shí)，若上六個(gè)月發(fā)行國(guó)庫(kù)券，以活期利率提前支取，購(gòu)置國(guó)庫(kù)券，國(guó)庫(kù)券到期取出，再存一個(gè)六個(gè)月期，剩下時(shí)間存活期。若在下六個(gè)月發(fā)行國(guó)庫(kù)券，這時(shí)六個(gè)月期已到，可再存活期，有國(guó)庫(kù)券時(shí)馬上購(gòu)置，國(guó)庫(kù)券到期取出，剩下時(shí)間存活期。發(fā)覺(jué)：購(gòu)置國(guó)庫(kù)券之前和購(gòu)置國(guó)庫(kù)券之后時(shí)間恰好是一年，所以購(gòu)置k年期國(guó)庫(kù)券需要k+1年13各種存款策略比較基金使用計(jì)劃（1）3年使用，假如考慮購(gòu)置2年期國(guó)庫(kù)券，則在3年內(nèi)可取得六個(gè)月活期β0、六個(gè)月定時(shí)βh及一個(gè)兩年期國(guó)庫(kù)券2α2利息，三年結(jié)束時(shí)一元本金增加系數(shù)為說(shuō)明，三年定時(shí)存款是首選方案（2）4年使用，假如考慮購(gòu)置3年期國(guó)庫(kù)券，則在4年內(nèi)可取得六個(gè)月活期β0、六個(gè)月定時(shí)βh及一個(gè)3年期國(guó)庫(kù)券3α3利息，4年結(jié)束時(shí)一元本金增加系數(shù)為說(shuō)明，購(gòu)置國(guó)庫(kù)券是首選方案。同理5年期、6年期購(gòu)置國(guó)庫(kù)券都是首選方案14最大利息存款方法基金使用計(jì)劃

k存法rk6mm個(gè)5年期國(guó)庫(kù)券+六個(gè)月定時(shí)＋六個(gè)月活期6m+1m個(gè)5年期國(guó)庫(kù)券，一個(gè)一年期存款6m+2m個(gè)5年期國(guó)庫(kù)券，一個(gè)2年期存款6m+3m個(gè)5年期國(guó)庫(kù)券，一個(gè)3年期存款6m+4m個(gè)5年期國(guó)庫(kù)券，一個(gè)3年期國(guó)庫(kù)券6m+5m個(gè)5年期國(guó)庫(kù)券，一個(gè)1年期存款一個(gè)3年期國(guó)庫(kù)券表n=時(shí)各年用于獎(jiǎng)金發(fā)放本金Mk與M比值%k123456789Mk/M2.5052.4552.3952.3532.3112.1782.1392.096