機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)

.優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的求解方法:解析解法和數(shù)值近似解法。解析解法是指優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)方程(數(shù)學(xué)模型)描述，用數(shù)學(xué)解析方法的求解方法。解析法的局限性：數(shù)學(xué)描述復(fù)雜，不便于或不可能用解析方法求解。數(shù)值解法：優(yōu)化對(duì)象無法用數(shù)學(xué)方程描述，只能通過大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)或擬合方法構(gòu)造近似函數(shù)式，求其優(yōu)化解；以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，通過試驗(yàn)逐步改進(jìn)得到優(yōu)化解。數(shù)值解法可用于復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可用于沒有數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化問題。但不能把所有設(shè)計(jì)參數(shù)都完全考慮并表達(dá)，只是一個(gè)近似的數(shù)學(xué)描述。數(shù)值解法的基本思路：先確定極小點(diǎn)所在的搜索區(qū)間，然后根據(jù)區(qū)間消去原理不斷縮小此區(qū)間，從而獲得極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。.優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型包含的三個(gè)基本要素：設(shè)計(jì)變量、約束條件(等式約束和不等式約束)目標(biāo)函數(shù)(一般使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值)。.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，兩類設(shè)計(jì)方法：優(yōu)化準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。優(yōu)化準(zhǔn)則法：芥+1=CkXk(為一對(duì)角矩陣)數(shù)學(xué)規(guī)劃法：Xk+1=Xk+a*(aJdk分別為適當(dāng)步長、某一搜索方向一一數(shù)學(xué)規(guī)劃法的核心).機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題一般是非線性規(guī)劃問題，實(shí)質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問題。重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：等式約束優(yōu)化問題的極值問題和不等式約束優(yōu)化問題的極值條件。.對(duì)于二元以上的函數(shù)，方向?qū)?shù)為某一方向的偏導(dǎo)數(shù)。工"工coseddx0 dxx0 ti=1i函數(shù)沿某一方向的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點(diǎn)處的梯度與這一方向單位向量的內(nèi)積。梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向(最速上升方向)，建議用單位向量表示，而梯度的模是函數(shù)變化率的最大值。.多元函數(shù)的泰勒展開。f(x)=f(x)+Vf(x》Ax+】AxtG(x)Ax0 0 2 0=f(x0)+=f(x0)+ff[』Ax-1+2L1 2」x02」Ax]2d.x2i-22f_d.xd.x12S2f_d.xd.x12d.x22Ax11Ax2海賽矩陣：G(x海賽矩陣：G(x0)=s2fd.x21s2fSxSx12Sx227.SxSx2I(對(duì)稱方陣)S2fI極值條件是指目標(biāo)函數(shù)取得極小值時(shí)極值點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。某點(diǎn)取得極值，在此點(diǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，極值點(diǎn)的必要條件：極值點(diǎn)必在駐點(diǎn)處取得。用函數(shù)的二階倒數(shù)來檢驗(yàn)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。二階倒數(shù)大于零，取得極小值。二階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，判斷開始不為零的導(dǎo)數(shù)階數(shù)如果是偶次，則為極值點(diǎn)，奇次則為拐點(diǎn)。二元函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充分條件是在該點(diǎn)出的海賽矩陣正定。極值點(diǎn)反映函數(shù)在某點(diǎn)附近的局部性質(zhì)。.凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃。凸規(guī)劃問題的任何局部最優(yōu)解也就是全局最優(yōu)點(diǎn)。凸集是指一個(gè)點(diǎn)集或一個(gè)區(qū)域內(nèi)，連接其中任意兩點(diǎn)的線段上的所有元素都包含在該集合內(nèi)。性質(zhì)：凸集乘上某實(shí)數(shù)、兩凸集相加、兩凸集的交集仍是凸集。凸函數(shù)：連接凸集定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)的線段上，函數(shù)值總小于或等于用任意兩點(diǎn)函數(shù)值做線性內(nèi)插所得的值。數(shù)學(xué)表達(dá)：f[ax+(1-a)x]<af(x)+(1-a)f(x)0<a<1，若兩式均去掉等號(hào)，則f(x)稱作嚴(yán)格凸函數(shù)。凸函數(shù)同樣滿足倍乘，加法和倍乘加仍為凸函數(shù)的三條基本性質(zhì)。凸規(guī)劃針對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為凸函數(shù)是的約束優(yōu)化問題。.等式約束優(yōu)化問題的極值條件。兩種處理方法：消元法和拉格朗日乘子法。也分別稱作降維法和升維法。消元法:將等式約束條件的一個(gè)變量表示成另一個(gè)變量的函數(shù)。減少了變量的個(gè)數(shù)。拉格朗日乘子法是通過增加變量九將等式約束優(yōu)化問題變成無約束優(yōu)化問題，增加了變量的個(gè)數(shù)。.不等式約束優(yōu)化問題的極值條件。不等式約束的多元函數(shù)極值的必要條件為庫恩塔克條件。庫恩塔克條件:

式*)的-——十才(式*)的-——十才(x*)=0(x*)j =0Sxi，幾何意義：在約束極小值處，函數(shù)的負(fù)梯度一定能表示成所有起作用約束在N>0ij該點(diǎn)梯度的非負(fù)線性組合。對(duì)于含有等式約束的優(yōu)化問題的拉格朗日乘子，并沒有非負(fù)的要求。11.一維搜索是指一元函數(shù)的極值問題。搜索區(qū)間的外推法(進(jìn)退法)假設(shè)函數(shù)在搜索區(qū)間具有單谷性，使函數(shù)在搜索區(qū)間形成“高低高”趨勢(shì)來確定極小點(diǎn)所在的區(qū)間。分別對(duì)應(yīng)搜索的起點(diǎn)，中間點(diǎn)和終點(diǎn)。再利用區(qū)間消去法原理比較函數(shù)值的大小以確定極小值所在的搜索區(qū)間。11.12.一維搜索方法。試探法：常用的一維搜索的方法是黃金分割法(0.618法)。適用于任何單谷函數(shù)求極小值問題。12.黃金分割法要求插入點(diǎn)的位置相對(duì)于區(qū)間的兩端點(diǎn)對(duì)稱。所以插入點(diǎn)的位置為：％二b黃金分割法要求插入點(diǎn)的位置相對(duì)于區(qū)間的兩端點(diǎn)對(duì)稱。所以插入點(diǎn)的位置為：％二b一九(b—a)，區(qū)間縮短X(b-a)率為x；插值法(函數(shù)逼近法)利用試驗(yàn)點(diǎn)的函數(shù)值建立函數(shù)近似表達(dá)式來求函數(shù)的極小點(diǎn)。兩種用二次函數(shù)f1(a)逼近原來函數(shù)的方法：牛頓法(切線法)和拋物線法(二次插值法)。牛頓法迭代公式：a=a-r，k+1kf”(a)k13.牛頓法的計(jì)算步驟：計(jì)算f'(a)f(a)；求a二次插值法：13.牛頓法的計(jì)算步驟：計(jì)算f'(a)f(a)；求a二次插值法：c1=y-y—3 1a-a31a-a

□ ;a-a23k+1二aka+ai〈-a<8則求得近似解ak+1k*=ak+1a，對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為極小值。無約束優(yōu)化問題。常用的數(shù)值計(jì)算方法為搜索方法?；舅枷?從給定的初始點(diǎn)，沿某一搜索方向進(jìn)行搜索，確定最佳步長使函數(shù)值沿搜索方向下降最大。各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別在于確定其搜索方向的方法不同，所以，搜索方向的構(gòu)成問題是無約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。無約束優(yōu)化方法可以分為兩類：一類是利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)的無約束優(yōu)化方法，如最速下降法，共軛梯度法，牛頓法和變尺度法；另一類只利用目標(biāo)函數(shù)值的無約束優(yōu)化方法，如坐標(biāo)輪換法，單形替換法，和鮑威爾法。14.最速下降法(梯度法)。從某點(diǎn)出發(fā)，搜索方向去該點(diǎn)的負(fù)梯度方向。為了使目標(biāo)函數(shù)獲得最大下降值。其步長14.因子去一維最佳步長：fQk因子去一維最佳步長：fQk+1)=fTxk-aVf(xk彳=minfxk-aVfQ)=min①(a)，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。最速下降法迭代行進(jìn)的距離縮短，收斂速度減慢。梯度反映的是函數(shù)的局部性質(zhì)。最速下降法的收斂速度和變量的尺度關(guān)系很大。最速下降方向的每一次搜索方向與前一次的搜索方向互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。15.牛頓型方法。多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式：xk15.牛頓型方法。多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式：xk+1=xk-Tv2fQ、-1vfQ)。若某一迭代方法能使二次函數(shù)在有限次迭代內(nèi)達(dá)到極小點(diǎn)，則稱此迭代方法是二次收斂的。牛頓方法時(shí)二次收斂的。牛頓法和阻尼牛頓法統(tǒng)稱為牛頓型方法。主要缺點(diǎn)是計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣，并對(duì)該矩陣求逆。16.共軛方向法。對(duì)于二元函數(shù)，為避免鋸齒現(xiàn)象，在第二次的迭代搜索方向上取到極小點(diǎn)。所必須滿足的條件：(d0)Gd1=0，滿足條件的兩個(gè)向量d0\d1稱之為共軛向量，或稱之為對(duì)G是共軛方向。多維函數(shù)當(dāng)中，共軛向量互相正交且線性無關(guān)；n維空間互相共軛的非零向量的個(gè)數(shù)不超過n；共軛方向法具有二次收斂性。格拉姆-斯密特向量共軛化方法：選定線性無關(guān)向量組：v0%……I(例如他們是n個(gè)坐標(biāo)軸上的單位向量)首

(d0^G^v先，取d0=v，令d1=v+pd0，根據(jù)共軛條件確定p=- f，同樣地，根據(jù)0 110 10Q0)GQ0)Q)GvG^確定dk+1共軛方向的搜索方向可由梯度法和鮑威爾法提供。17.共軛梯度法(旋轉(zhuǎn)梯度法)。共軛方向與梯度之間的關(guān)系：O,b(gk+1-gk)=0，表明沿方向dk搜索，其終點(diǎn)17.阿，共軛方向的遞服°口Xk+1與始點(diǎn)Xk的梯度之差(gk+1-gk)與dk的共軛方向dj正交。計(jì)算過程:第一個(gè)搜索方向取X0的負(fù)梯度-g0，阿，共軛方向的遞服°口則d”-g0；求d0的共軛方向d1作為下一次的搜索方向d1=-彳+口0d0，其中p0g2推公式：dk+1=-g+串dk，第一個(gè)方向取作負(fù)梯度方向，其余各步的搜索方向?qū)⒇?fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度,k+1Mk『對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正，共軛方向法是對(duì)最速下降法的一種改進(jìn)。18.變尺度法：放大或縮小各個(gè)坐標(biāo)，改善函數(shù)的偏心程度。Qx18.變尺度法：放大或縮小各個(gè)坐標(biāo)，改善函數(shù)的偏心程度。Qxfx1 1「石xtQtGQxf-xTGx，若矩陣G是正定的，那么總存在矩陣是使QtGQ=I，將偏心程度變?yōu)榱恪３叨茸儞Q后牛頓方向：dk=-G-1Vf(xk)=-QQtVfQk)，牛頓迭代公式：xk+1=xk+adk=xk-aQQtVf(xk)，H=QQt是在X空間內(nèi)測(cè)量距離大小的度量，稱作尺度矩陣。變尺度法中利用尺度矩陣代替海賽矩陣的逆陣進(jìn)行求解19.Xk+1=xk-aHgdk=-Hg，擬牛頓條件：H(19.Xk+1=xk-aHgdk=-Hg，擬牛頓條件：H(k+1gk+1-gk)=Xk+1-Xk，變尺度法的一般步驟：選定初始點(diǎn)X0和收斂精度￡；計(jì)算初始點(diǎn)的梯度g，選取初始對(duì)稱正定矩陣H(例如H=/)，置kf0；計(jì)算搜索方向dk=-Hg；沿dk方向進(jìn)行一維搜索Xk+1=Xk+akdk，計(jì)算gk+1=Vf(xk+1),sk=xk+1-xk,y=g川-gk，判斷是否滿足迭代終止準(zhǔn)則，若滿足，則x*=xk+1，若迭代n次后仍沒找到極小點(diǎn)，重置H為單位矩陣,并以當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)為初始點(diǎn)Xk+1fX0，返回到計(jì)算g =VfQ+1),sk+1 k=Xk+1-Xk,y=g-g進(jìn)行下一輪的迭代或者計(jì)算矩陣H=H+E，置k+1fk返回到計(jì)算dk=-Hkgkkk+1kk+1 kkDFP算法。選取不同的形式的矯正矩陣E就構(gòu)成不同的變尺度法。DFP算法的E形式:E=auuT+puuT經(jīng)過推到后DFP的校正公式：H=H+

kkkkkkk k+1 ksstHyyrH-k―k-

sTyk—k~~kk kyTH/k20.20.坐標(biāo)輪換法(變量輪換法)：每次搜索只允許一個(gè)變量變化，其余變量保持不變，沿坐標(biāo)方向輪流進(jìn)行搜索的尋優(yōu)方法。這種方法的收斂效果和目標(biāo)函數(shù)等值線的形狀有很大關(guān)系。.鮑威爾方法。直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法。任選一初始點(diǎn)不。，再選兩個(gè)線性無關(guān)的向量，如坐標(biāo)軸單位向量61=11。>和e2=［。1》作為初始搜素方向；從不。出發(fā)，順次沿e1\e2作一維搜索得到點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\z，。\刈，兩點(diǎn)的連線得到一新方向d1=xo-刈，用d1代替e形成兩個(gè)線性無關(guān)向量e\d1，作為下一輪迭代1 2 2 1 2的搜索方向。再從x0出發(fā)，沿d1方向作一維搜索得點(diǎn)X0作為下一輪迭代的初始點(diǎn)。在進(jìn)行兩輪的迭代后目標(biāo)函數(shù)取得極小值。改進(jìn)的鮑威爾方法中，判斷原向量組的“好壞”來界定原向量組是否需要替換。改進(jìn)鮑威爾法的具體步驟：給定初始點(diǎn)xo，沿n個(gè)線性無關(guān)的向量(n個(gè)坐標(biāo)軸單位向量)kT0；作一維搜索后沿dk=xk-xk移動(dòng)一個(gè)距離得到：xk=2xk-xk(反射點(diǎn)坐標(biāo))再求得三點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值n+1 n0 n+1 n0F=fQk)F=fQk)F=fQk)，根據(jù)判別條件f〈f和0 0 2n3 n+1 30(F0-2F2+4)(F0-F2-勺)〈0.5勺(F-f)確定是否要對(duì)原方向進(jìn)行替換。若不滿足判別條件，仍用原方向組，并以xkxk函數(shù)值中的較小者作為下一輪迭代的始點(diǎn)。若滿足上述判別條件，則將dk補(bǔ)充到原方向nn+1 n+1組中，下輪的始點(diǎn)是沿dk方向進(jìn)行進(jìn)行一維搜素的極小點(diǎn)xk+1n+1 0.單形替換法。單純性是指在n維空間中有k=n+1個(gè)頂點(diǎn)的多面體。區(qū)別于線性規(guī)劃中的單純型法。通過反射、擴(kuò)張、收縮、和縮邊等方式得到新的單純型，其中至少有一個(gè)頂點(diǎn)的函數(shù)值比原單純型要小。計(jì)算步驟：構(gòu)造初始單純型，計(jì)算各頂點(diǎn)的函數(shù)值。比較頂點(diǎn)函數(shù)值的大小，判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則:minf初始單純型，計(jì)算各頂點(diǎn)的函數(shù)值。比較頂點(diǎn)函數(shù)值的大小，判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則:minf -〈；maxfiTOC\o"1-5"\h\z1Q\ \不滿足收斂準(zhǔn)則，計(jì)算除x外其他各點(diǎn)的“重心"不，x=—￡x-x，反射點(diǎn)x，x=2x-x，H n+1n+1n(iH) n+2n+2 n+1H\二0 7f=f(x)；反射：當(dāng)f<f〈f時(shí)，以x代替x，f代替f，構(gòu)成一新單純型。擴(kuò)張(收縮)：當(dāng)n+2 n+2 Ln+2c n+2 Hn+2 Hfn+2〈fL時(shí)，取擴(kuò)張點(diǎn)xn+3=xn+1+a(p)(xn+2-xn+1)并計(jì)算其函數(shù)值fn+3=f(xn+3)，若fn+3〈fn+2則以xn+3代f+2代替f，構(gòu)成一新單純型；縮邊：可將各向替Xh，f+3代替f，構(gòu)成一新單純型。否則以xnf+2代替f，構(gòu)成一新單純型；縮邊：可將各向量『L的長度都縮小一半,即：廣2(xi+J。單形替代法當(dāng)問題維數(shù)n較高時(shí),需要經(jīng)過很多次迭代，因此一般用于n(10的情形。.目標(biāo)函數(shù)和約束條件都為線性的優(yōu)化問題稱之為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式中約束條件包含兩個(gè)部分：一是等式約束；而是變量的非負(fù)要求。如果約束條件中含有不等式約束，可引入松弛變量將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束。如果原來問題中一些變量并不要求是非負(fù)的，那么可以寫成兩個(gè)非負(fù)變量之差。在目標(biāo)函數(shù)中不會(huì)出現(xiàn)松弛變量，但新的非負(fù)變量需要寫入目標(biāo)函數(shù)當(dāng)中。.基本解：當(dāng)變量數(shù)大于方程數(shù)，若使其中(變量數(shù)方程數(shù))個(gè)變量取零值，則當(dāng)方程有解時(shí)，其唯一解。基本可行解：滿足非負(fù)要求的基本解，其中取正值的變量稱為基本變量，取零值的變量稱為非基本變量，基本變量所對(duì)應(yīng)的系數(shù)列向量稱作基底向量?？尚薪猓和苟噙呅蝺?nèi)各點(diǎn)滿足全部約束條件的點(diǎn)。目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極小值的可行解就是最優(yōu)解，它處在凸多邊形的頂點(diǎn)上，只要在有限個(gè)頂點(diǎn)中尋找(基本可行解)。.基本可行解的轉(zhuǎn)換。進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算(高斯消元)。選定不同的軸元素，得到不同基本可行解。將非基本變量變成基本變量，實(shí)現(xiàn)一份基本解到另一個(gè)基本解的轉(zhuǎn)換?；究尚薪獾搅硪粋€(gè)基本可行解的轉(zhuǎn)換。若右端入都是非i負(fù)的，則必須選定為正值的軸元素進(jìn)行轉(zhuǎn)軸運(yùn)算。引入松弛因子將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束可以發(fā)現(xiàn)，這些松弛變量就可以作為初始基本可行解中的一部分基本變量。當(dāng)時(shí)，當(dāng)右端?為負(fù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的松弛變量就不可以作為基本可行解的基本變量。.單純型方法（精讀）解決從一組基本可行解轉(zhuǎn)換到另一組可行解時(shí)，判斷哪一組可行解時(shí)最優(yōu)解問題。單純型方法圍繞兩個(gè)規(guī)則進(jìn)行：一是。規(guī)則，二是最速變化規(guī)則（目標(biāo)函數(shù)變化最大規(guī)則）。.約束優(yōu)化方法，根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法。直接解法通常使用與僅含不等式約束的問題。基本思路：在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)X。，然后決定可行搜索方向d，以適當(dāng)?shù)牟介La，沿d方向進(jìn)行搜索，使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)X1完成一次迭代，重復(fù)迭代過程直至滿足收斂條件。間接法的基本思路：將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或一系列的無約束優(yōu)化問題，再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計(jì)算，得到原約束問題的最優(yōu)解。直接解法包括隨機(jī)方向法、復(fù)合型法、可行方向法、廣義節(jié)約梯度法，屬于間接解法的懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。.隨機(jī)方向法?；舅悸罚涸诳尚杏騼?nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行的搜索方向。優(yōu)點(diǎn)：對(duì)目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)無特殊要求，程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，使用方便，收斂速度比較快。按照一定的數(shù)學(xué)模型得到的隨機(jī)數(shù)稱為為隨機(jī)數(shù)。初始點(diǎn)X。必須是一個(gè)可行點(diǎn)。產(chǎn)生k個(gè)n維隨機(jī)單位向量，找到k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)中使目標(biāo)函數(shù)最小的點(diǎn)工屋得到可行搜索方向d= X。，進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索到一個(gè)滿足全部約束條件且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn)x。.復(fù)合型法?；舅悸罚涸诳尚杏騼?nèi)構(gòu)造具有k（n+1<k<2n）個(gè)頂點(diǎn)（k個(gè)頂點(diǎn)都必須是可行點(diǎn)）的初始復(fù)合型。比較各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值，找到目標(biāo)函數(shù)最大值的頂點(diǎn)（最壞點(diǎn)）找到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)下降的新點(diǎn)代替最壞點(diǎn)，構(gòu)成新的復(fù)合型，重復(fù)迭代。根據(jù)不同的方法生成初始復(fù)合型。復(fù)合型的搜索方法：反射一一計(jì)算復(fù)合型頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)值，找出最好點(diǎn)XL、最壞點(diǎn)XH及次壞點(diǎn)XG，計(jì)算除最壞點(diǎn)XH外其他k-1個(gè)頂點(diǎn)的重中心XC,最壞點(diǎn)和中心點(diǎn)的連線方向?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)下降的方向，得反射點(diǎn)坐標(biāo)：XR=XC+a（XC-XH）；擴(kuò)張一一求得反射點(diǎn)為可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)下降較多，沿反射方向繼續(xù)移動(dòng)，找到更好的新點(diǎn)x，得擴(kuò)張點(diǎn)坐標(biāo)：EXE=XR+Y（XR—XC）;收縮一一中心店XC以外找不到好的反射點(diǎn)，在XC以內(nèi)采用收縮的方法，收縮點(diǎn)坐標(biāo)：X=X+P（X-X）壓縮一一采取將復(fù)合型各頂點(diǎn)向最好點(diǎn)X靠攏，采用壓縮的方法來改變復(fù)合型的形狀，kH CH L壓縮頂點(diǎn)坐標(biāo)：X=X-0.5（X-X）。jL Lj.可行方向法?；舅悸肥窃诳尚杏騼?nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)XJ確定一個(gè)可行方向d和適當(dāng)步長后，按Xk+1=Xk+adk進(jìn)行迭代計(jì)算。根據(jù)約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的不同形狀，分為以下三種不同的搜索策略。一是在約束面的迭代點(diǎn)Xk處，產(chǎn)生一個(gè)可行方向dk，沿此方向作一維最優(yōu)化搜索，得到可行域內(nèi)的新點(diǎn)xk+1，再沿xk+1點(diǎn)的負(fù)梯度方向dk+1=-VfQk+J繼續(xù)搜索；二是在約束面的迭代點(diǎn)xk處，產(chǎn)生一個(gè)可行方向dk，沿此方向作一維最優(yōu)化搜

索，得到可行域外的新點(diǎn)也+1，再設(shè)法將X點(diǎn)移動(dòng)到約束面上，即取dk與約束面的交點(diǎn)作為新的迭代點(diǎn)xk+1；三是沿約束面搜索，適用于只具有線性約束條件的非線性規(guī)劃問題。可行方向的兩個(gè)條件：可行條件一一[vgjQ力Tdk<0；下降條件——[fQ力Tdk〈0。可行反向的產(chǎn)生方法：優(yōu)選方向法和梯度投影法。優(yōu)選方向法為滿足兩個(gè)條件內(nèi)的可行方向的優(yōu)選；梯度投影法為當(dāng)負(fù)梯度方向-w 不滿足可行條件時(shí)，將-Vf 方向投影到約束面上。確定步長的兩種常用方法：去最優(yōu)步長或取ak到約束邊界的最大步長。31.懲罰函數(shù)法?；舅悸肥菍⒓s束優(yōu)化問題中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)一一懲罰函數(shù)。(X,r,r)=f(x)+rEg[g(x)]+丫￡h「h(x)]，加權(quán)項(xiàng)可分為障礙項(xiàng)和懲罰12 1Lj2 2LkJj=1 k=1項(xiàng)；障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中將阻止迭代點(diǎn)越出可行域，懲罰項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域內(nèi)或不滿足等式約束條件時(shí)，在迭代過程中將迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。根據(jù)迭代過程是否在可行域內(nèi)進(jìn)行，懲罰函數(shù)法可分為一下三種：內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法、外點(diǎn)懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法。32.內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化后懲罰函數(shù)的形式為:32.內(nèi)點(diǎn)法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化后懲罰函數(shù)的形式為:4(x,r