湖南省五市十校教研教改共同體2023學年高三(最后沖刺)數(shù)學試卷(含解析)_第1頁
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文檔簡介

2023學年高考數(shù)學模擬測試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線,若與軸的交點坐標為,則該雙曲線的標準方程可能為()A. B. C. D.2.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.3.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動,現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種4.若為虛數(shù)單位,則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若所有點,所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,則()A. B. C.1 D.9.已知是雙曲線的左、右焦點,若點關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點滿足(為坐標原點),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.10.已知銳角滿足則()A. B. C. D.11.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.12.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則______,的最大值是______.14.已知,則________.(填“>”或“=”或“<”).15.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.16.已知,那么______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效,對全校學生進行了一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級,同時對相應等級進行量化:“合格”記5分,“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷,統(tǒng)計結(jié)果及對應的頻率分布直方圖如下:等級不合格合格得分頻數(shù)624(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù);(2)其他條件不變,在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談,每次抽取1人,求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下,第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率;(3)用分層抽樣的方法,從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人,記所選4人的量化總分為,求的數(shù)學期望.18.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和19.(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計,在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機?并說明理由.20.(12分)(江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學試題)在平面直角坐標系中,已知平行于軸的動直線交拋物線:于點,點為的焦點.圓心不在軸上的圓與直線,,軸都相切,設(shè)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若直線與曲線相切于點,過且垂直于的直線為,直線,分別與軸相交于點,.當線段的長度最小時,求的值.21.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線極坐標方程為.若直線交曲線于,兩點,求線段的長.22.(10分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,且,求的取值范圍.

2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】

直線的方程為,令,得,得到a,b的關(guān)系,結(jié)合選項求解即可【題目詳解】直線的方程為,令,得.因為,所以,只有選項滿足條件.故選:A【答案點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標準方程,考查運算求解能力.2、D【答案解析】

由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【題目詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【答案點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)3、B【答案解析】

分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當醫(yī)院A只分配1人時,共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當乙在醫(yī)院A時,共有種不同分配方案,當乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時,共有種不同分配方案,所以當醫(yī)院A分配2人時,共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【答案點睛】本題考查排列與組合的綜合應用,在做此類題時,要做到分類不重不漏,考查學生分類討論的思想,是一道中檔題.4、B【答案解析】

由共軛復數(shù)的定義得到,通過三角函數(shù)值的正負,以及復數(shù)的幾何意義即得解【題目詳解】由題意得,因為,,所以在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.故選:B【答案點睛】本題考查了共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【答案解析】

利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【題目詳解】的定義域為,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當、時,成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【答案點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.6、A【答案解析】

由復數(shù)的運算法則計算.【題目詳解】因為,所以故選:A.【答案點睛】本題考查復數(shù)的運算.屬于簡單題.7、D【答案解析】令,可得.在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象(如圖所示).當時,.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點,則有,解得.所以當直線與函數(shù)的圖象切時.又當直線經(jīng)過點時,有,解得.結(jié)合圖象可得當直線與函數(shù)的圖象有3個交點時,實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時,實數(shù)的取值范圍是.選D.點睛:已知函數(shù)零點的個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對于一些比較復雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.8、D【答案解析】

依題意,可得,在上單調(diào)遞增,于是可得在上的值域為,繼而可得,解之即可.【題目詳解】解:,因為,,所以,在上單調(diào)遞增,則在上的值域為,因為所有點所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為,所以,解得,故選:D.【答案點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,理解題意,得到是關(guān)鍵,考查運算能力,屬于中檔題.9、B【答案解析】

先利用對稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【題目詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點,且,所以,因為,所以,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【答案點睛】本題考查了點關(guān)于直線對稱點的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.10、C【答案解析】

利用代入計算即可.【題目詳解】由已知,,因為銳角,所以,,即.故選:C.【答案點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用,考查學生的運算能力,是一道基礎(chǔ)題.11、C【答案解析】

利用對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式,將a,b,c與,比較即可.【題目詳解】由,,,所以有.選C.【答案點睛】本題考查對數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.12、A【答案解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質(zhì).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【答案解析】

利用等差數(shù)列前項和公式,列出方程組,求出首項和公差的值,利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式,可求出的表達式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【題目詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以,數(shù)列的通項公式為;(2),,令,則且,,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在時單調(diào)遞減,在時單調(diào)遞增,當或時,取得最大值為.故答案為:;.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.14、【答案解析】

注意到,故只需比較與1的大小即可.【題目詳解】由已知,,故有.又由,故有.故答案為:.【答案點睛】本題考查對數(shù)式比較大小,涉及到換底公式的應用,考查學生的數(shù)學運算能力,是一道中檔題.15、【答案解析】

由,解得,進而求出,即可得出結(jié)果.【題目詳解】解:因為,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【答案點睛】本題主要考查平面向量的運算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【答案解析】

由已知利用誘導公式可求,進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【題目詳解】∵,∴,,∴.故答案為:.【答案點睛】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)64,65;(2);(3).【答案解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出,平均數(shù),中位數(shù);(2)設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,由條件概率公式可求出;(3)從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中隨機抽取10人進行座談,其中“不合格”的學生數(shù)為,“合格”的學生數(shù)為6;由題意可得,5,10,15,1,利用“超幾何分布”的計算公式即可得出概率,進而得出分布列與數(shù)學期望.【題目詳解】由題意知,樣本容量為,.(1)平均數(shù)為,設(shè)中位數(shù)為,因為,所以,則,解得.(2)由題意可知,分數(shù)在內(nèi)的學生有24人,分數(shù)在內(nèi)的學生有12人.設(shè)“第1次抽取的測試得分低于80分”為事件,“第2次抽取的測試得分低于80分”為事件,則,所以.(3)在評定等級為“合格”和“不合格”的學生中用分層抽樣的方法抽取10人,則“不合格”的學生人數(shù)為,“合格”的學生人數(shù)為.由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1.,.所以的分布列為0510151.【答案點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學期望,考查了計算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【答案解析】

(1)由化為,利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系,得到是首項為,公差為的等差數(shù)列求解.(2)由(1)得到,再利用錯位相減法求解.【題目詳解】(1)可以化為,,,,又時,數(shù)列從開始成等差數(shù)列,,代入得是首項為,公差為的等差數(shù)列,,.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,.【答案點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系和錯位相減法求和,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.19、(1)(2)分布列見解析,數(shù)學期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【答案解析】

(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,即可按照古典概型的概率計算公式計算得出;(2)依題意可知服從二項分布,先計算出隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的分布列和數(shù)學期望;(3)可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機.【題目詳解】(1)設(shè)事件:“在樣本中任取個,這個出行人恰好不是青年人”為,由表可得:樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,所以在樣本中任取個,這個出行人恰好不是青年人的概率.(2)由題意,的所有可能取值為:因為在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以,,,所以隨機變量的分布列為:故.(3)答案不唯一,言之有理即可.如可以從滿意度的均值來分析問題,

2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)如下:由表可知,乘坐高鐵的人滿意度均值為:乘坐飛機的人滿意度均值為:因為,所以建議甲乘坐高鐵從市到市.【答案點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算,解題關(guān)鍵是對題意的理解,概率類型的判斷,屬于中檔題.20、(1).(2)見解析.【答案解析】試題分析:(1)設(shè)根據(jù)題意得到,化簡得到軌跡方程;(2)設(shè),,,,構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值.解析:(1)因為拋物線的方程為,所以的坐標為,設(shè),因為圓與軸、直線都相切,平行于軸,所以圓的半徑為,點,則直線的方程為,即,所以,又,所以,即,所以的方程為.(2)設(shè),,,由(1)知,點處的切線的斜率存在,由對稱性不妨設(shè),由,所以,,所以,,所以.令,,則,由得,由得,所以在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以當時,取得極小值也是最小值,即取得最小值,此時.點睛:求軌跡方程,一般是問誰設(shè)誰的坐標然后根據(jù)題目等式直接求解即可,而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式,例

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