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文檔簡介
1990年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)一、選擇題(共15小題,每小題4分,滿分60分)1.(4分)方程=的解是()ABCx=Dx=9.x=.x=..2.(4分)把復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()ABCD....i3.(4分)(2009?煙臺二模)如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S,那么圓柱的體積等于()ABCD....4.(4分)方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)的解的個數(shù)是()A1B2C3D4....5.(4分)已知如圖是函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(|φ|<)的圖象,那么()A.?=BCD.?=2,φ=﹣,φ=.?=,φ=﹣.?=2,φ=6.(4分)函數(shù)的值域是()A.{﹣2,4}B.,,{﹣204}C{﹣2,0,2,D{﹣4,﹣,2.4}.0,4}7.(4分)如果直線y=ax+2與直線y=3x﹣b關(guān)于直線y=x對稱,那么()ABCa=3,b=﹣2a=3,b=6D....8.(4分)極坐標(biāo)方程4sinθ=5ρ表示的曲線是()A圓.B橢圓.C雙曲線的一支D拋物線..9.(4分)設(shè)全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|=1},N=(x,y)|y≠x+1.那么等于()A.B(,)C(2,3).D.(,{23}{y)|y=x+1}x.10.(4分)(2010?建德市模擬)若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+2)2+y2=3,則的最大值為()ABCD....11.(4分)如圖,正三棱錐SABC的側(cè)棱與底面邊長相等,如果E、F分別為SC、AB的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成的角等于()A90°B60°C45°D30°....12.(4分)已知h>0.設(shè)命題甲為:兩個實(shí)數(shù)a,b滿足|a﹣b|<2h;命題乙為:兩個實(shí)數(shù)a,b滿足|a﹣1|<h且|b﹣1|<h.那么()A甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件.B甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件.C甲是乙的充分條件.D甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件.13.(4分)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰),那么不同的排法共有()A24種B60種C90種D120種14.(4分)以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A.70個B.64個C.58個D.52個15.(4分)設(shè)函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個單位所得到的圖象為C.又設(shè)圖象C'與C關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么C'所對應(yīng)的函數(shù)是()A.﹣2).2).(x+2.(x+2)y=﹣arctg(xBy=arctg(x﹣Cy=﹣arctgDy=arctg)二、填空題(共5小題,每小題5分,滿分25分)16.(5分)雙曲線的準(zhǔn)線方程是_________.17.(5分)(x﹣1)﹣(x﹣1)2+(x﹣1)3﹣(x﹣1)4+(x﹣1)5的展開式中,x2的系數(shù)等于_________.18.(5分)(2011?上海模擬)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,如果sn是{an}的前n項(xiàng)的和,那么等于_________.19.(5分)函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是_________.20.(5分)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2=_________.三、解答題(共6小題,滿分65分)21.(10分)有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).22.(10分)已知sina+sinB=,cosa+cosB=,求tg(a+B)的值.23.(10分)如圖,在三棱錐SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).24.(11分)設(shè)a為實(shí)數(shù),在復(fù)數(shù)集C中解方程:z2+2|z|=a.25.(12分)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0)到這個橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是.求這個橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).26.(12分)f(x)=lg,其中a是實(shí)數(shù),n是任意自然數(shù)且n≥2.(Ⅰ)如果f(x)當(dāng)x∈(﹣∞,1]時有意義,求a的取值范圍;(Ⅱ)如果a∈(0,1],證明2f(x)<f(2x)當(dāng)x≠0時成立.1990年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(共15小題,每小題4分,滿分60分)1.(4分)方程=的解是()ABCx=Dx=9.x=.x=..考點(diǎn):分析:對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);指數(shù)式與對數(shù)式的互化.根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化可知,?,進(jìn)而得到答案.解答:解:∵∴∴故選A.2.(4分)把復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()ABCD....i考點(diǎn):分析:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.把復(fù)數(shù)1+i乘以cos(﹣)+isin(﹣),化簡為代數(shù)形式即可.所得到的解答:解:復(fù)數(shù)1+i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)向量:(1+i)[cos(﹣故選D.)+isin(﹣)]=(1+i)=,點(diǎn)評:復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn),實(shí)際上復(fù)數(shù)乘以一個模為1的輔角為﹣復(fù)數(shù)三角形式,注意旋轉(zhuǎn)方向,本題是基礎(chǔ)題.3.(4分)(2009?煙臺二模)如果底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是S,那么圓柱的體積等于()ABCD....考點(diǎn):專題:分析:解答:旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).計(jì)算題.設(shè)圓柱高為h,推出底面半徑,求出圓柱的側(cè)面積,然后求出圓柱的體積即可得到選項(xiàng).解:設(shè)圓柱高為h,則底面半徑為.由題意知,S=πh2,∴h=,∴V=π()2?h=故選D.本題是基礎(chǔ)題,考查圓柱的側(cè)面積、體積的計(jì)算及其關(guān)系,考查計(jì)算能力,??碱}型..點(diǎn)評:4.(4分)方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)的解的個數(shù)是()A1B2C3D4....考點(diǎn):專題:分析:正弦函數(shù)的圖象;函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.計(jì)算題.通過二倍角公式化簡的2sinxcosx=sinx,進(jìn)而推斷sinx=0或cosx=,進(jìn)而求出x的值.解:sin2x=2sinxcosx=sinx解答:∴sinx=0或cosx=∵x∈(0,2π)∴x=π或或故選C本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式.屬基礎(chǔ)題.點(diǎn)評:5.(4分)已知如圖是函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(|φ|<)的圖象,那么()A.?=BCD.?=2,φ=﹣,φ=.?=,φ=﹣.?=2,φ=考點(diǎn):專題:分析:由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.計(jì)算題;數(shù)形結(jié)合法.由圖象過(0,1)及|φ|<,求出ψ的值,函數(shù)圖象過點(diǎn)(知ω?=2π,求出ω.解:因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(0,1),所以,1=2sinφ,∴sinφ=,∵|φ|<,,0),據(jù)五點(diǎn)法作圖的過程+解答:∴φ=,故函數(shù)y=2sin(ωx+),又∵函數(shù)圖象過點(diǎn)(∴0=2sin(ω?+),由五點(diǎn)法作圖的過程知,ω?,0),=2π,+∴ω=2,綜上,φ=,ω=2,故選C.本題考查五點(diǎn)法作圖的方法,在本題圖中的一個完整的標(biāo)準(zhǔn)周期內(nèi),圖象上的五個關(guān)鍵點(diǎn)的點(diǎn)評:橫坐標(biāo)分別為:0,,π,,2π.6.(4分)函數(shù)的值域是()A.{﹣2,4}B.,,{﹣204}C{﹣2,0,2,D{﹣4,﹣,2.4}.0,4}考點(diǎn):專題:分析:函數(shù)的值域;三角函數(shù)的化簡求值.計(jì)算題;分類討論.根據(jù)正切和余切的定義求出函數(shù)的定義域,分四種情況由三角函數(shù)值的符號,去掉絕對值求解.解答:點(diǎn)評:解:由題意知,函數(shù)的定義域是{x|x≠在各個象限中函數(shù)的值當(dāng)x是第一象限角時,因所有三角函數(shù)值大于零,故y=4;當(dāng)x是第二象限角時,因?yàn)橹挥姓抑荡笥诹?,故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2;當(dāng)x是第三象限角時,因?yàn)檎兄岛陀嗲兄荡笥诹悖蕐=﹣1﹣1+1+1=0;當(dāng)x是第四象限角時,因?yàn)橹挥杏嘞抑荡笥诹?,故y=﹣2;所以函數(shù)的值域是{﹣2,0,4}.故選B.本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及符號,根據(jù)定義求出函數(shù)的定義域,由三角函數(shù)值的符號進(jìn)行化簡求值.,k∈Z},下由各個象限中三角函數(shù)值的符號來確定7.(4分)如果直線y=ax+2與直線y=3x﹣b關(guān)于直線y=x對稱,那么()A.a(chǎn)=,b=6B.a(chǎn)=,b=﹣6C.a(chǎn)=3,b=﹣2D.a(chǎn)=3,b=6考點(diǎn):分析:反函數(shù).本題考查對互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系、反函數(shù)的求法等相關(guān)知識;本題可有兩種方法,其一,求出y=ax+2的反函數(shù)令其與y=3x﹣b的對應(yīng)系數(shù)相等獲得,其二由互為反函數(shù)圖象上的點(diǎn)之間的對稱關(guān)系,通過在圖象上取特殊點(diǎn)求解.解:解答:法一:由題意,函數(shù)y=3x﹣b的反函數(shù)為y=,與y=ax+2對照可得a=,b=6;法二:在y=ax+2上取點(diǎn)(0,2),則點(diǎn)(2,0)在y=3x﹣b上,故得b=6;又y=3x﹣6上有點(diǎn)(0,﹣6),則點(diǎn)(﹣6,0)在y=ax+2上,代入得a=,由此可得a=,b=6答案:a=,b=6本題解題思路清晰,方向明確,運(yùn)算量也小,屬于容易題目.這里提供了兩種方法,比較可見各有特點(diǎn),直接求反函數(shù)過程簡捷,較為簡單,特值代入,小巧易行,過程稍繁.點(diǎn)評:8.(4分)極坐標(biāo)方程4sinθ=5ρ表示的曲線是()A圓.B橢圓.C雙曲線的一支D拋物線..考點(diǎn):分析:簡單曲線的極坐標(biāo)方程.先在極坐標(biāo)方程4sinθ=5ρ的兩邊同乘以ρ,再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,進(jìn)行代換即得直角坐標(biāo)系,再利用直角坐標(biāo)方程即可進(jìn)行判斷.解:將方程4sinθ=5ρ兩邊都乘以p得:4ρsinθ=5ρ2,化成直角坐標(biāo)方程為5x2+5y2﹣4y=0.它表示一個圓.故選A.本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.解答:點(diǎn)評:9.(4分)設(shè)全集I={(x,y)|x,y∈R},集合M={(x,y)|=1},N=(x,y)|y≠x+1.那么等于()A.B(,)C(2,3).D.(,{23}{y)|y=x+1}x.考點(diǎn):分析:解答:交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.先化簡集合M,再計(jì)算解:∵M(jìn)={(x,y)|y=x+1或(x,y)≠(2,3)},.∴,又∵.∴.故答案選B.本題主要考查了集合間的交,并,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意弄清各集合中的元素.點(diǎn)評:10.(4分)(2010?建德市模擬)若實(shí)數(shù)x、y滿足(x+2)2+y2=3,則的最大值為()ABCD....考點(diǎn):專題:分析:簡單線性規(guī)劃.計(jì)算題.先判斷出方程表示的圖形,再給賦與幾何意義,作出圖象,結(jié)合圖判斷出當(dāng)直線與圓相切時斜率最大求出最大值.解答:解:(x+2)2+y2=3,表示以(﹣2,0)為圓心,以為半徑的圓表示圓上的點(diǎn)與(0,0)連線的斜率,設(shè)為k則y=kx由圖知,當(dāng)過原點(diǎn)的直線與圓相切時斜率最大故有解得或由圖知,故選A點(diǎn)評:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點(diǎn)連線斜率公式的形式、數(shù)形結(jié)合求最值.11.(4分)如圖,正三棱錐SABC的側(cè)棱與底面邊長相等,如果E、F分別為SC、AB的中點(diǎn),那么異面直線EF與SA所成的角等于()A90°B60°C45°D30°....考點(diǎn):專題:分析:異面直線及其所成的角.計(jì)算題;壓軸題.先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點(diǎn)AC的中點(diǎn)D,得到的銳角或直角就是異面直線所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.解答:解:如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接DE、DF,∠DEF為異面直線EF與SA所成的角設(shè)棱長為2,則DE=1,DF=1,根據(jù)SA⊥BC,則ED⊥DF∴∠DEF=45°,故選C.點(diǎn)評:本小題主要考查異面直線所成的角,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.12.(4分)已知h>0.設(shè)命題甲為:兩個實(shí)數(shù)a,b滿足|a﹣b|<2h;命題乙為:兩個實(shí)數(shù)a,b滿足|a﹣1|<h且|b﹣1|<h.那么()A甲是乙的充分條件,但不是乙的必要條件.B甲是乙的必要條件,但不是乙的充分條件.C甲是乙的充分條件.D甲不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件.考點(diǎn):分析:解答:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.巧妙運(yùn)用絕對值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分條件,可以解答本題.解:由|a﹣1|<h且|b﹣1|<h得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|<2h,所以甲是乙的必要條件;不妨令h=1,a=0.5,b=﹣0.3,|a﹣1|=0.5<1,而|b﹣1|=1.3>1,因而甲不是乙的充分條件.故選B|a|+|b|≥|a+b|的合理運(yùn)用,以及巧妙運(yùn)用|a﹣1|+|1﹣b|的使用,是解答甲是乙的必要條件的一個關(guān)鍵;充分條件的推導(dǎo)用的是特殊值否定法.點(diǎn)評:13.(4分)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰),那么不同的排法共有()A.24種B.60種C.90種D.120種考點(diǎn):專題:分析:排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.轉(zhuǎn)化思想.根據(jù)題意,首先計(jì)算五人并排站成一排的情況數(shù)目,進(jìn)而分析可得,B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的,使用倍分法,計(jì)算可得答案.解答:解:根據(jù)題意,使用倍分法,五人并排站成一排,有A55種情況,而其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的,則其情況數(shù)目是相等的,則B站在A的右邊的情況數(shù)目為×A55=60,故選B.點(diǎn)評:本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意使用倍分法時,注意必須保證其各種情況是等可能的.14.(4分)以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A.70個B.64個C.58個D.52個考點(diǎn):專題:分析:解答:棱錐的結(jié)構(gòu)特征.壓軸題;分類討論.以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)中任意選4個除去在同一個平面上的點(diǎn),可得四面體的個數(shù).解:正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個共有C84=70個不能組成四面體的4個頂點(diǎn)有,已有的6個面,對角面有6個所以以一個正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有:70﹣12=58個故選C.點(diǎn)評:本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查邏輯思維能力,是中檔題.15.(4分)設(shè)函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個單位所得到的圖象為C.又設(shè)圖象C'與C關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么C'所對應(yīng)的函數(shù)是()A.﹣2).2).(x+2.(x+2)y=﹣arctg(xBy=arctg(x﹣Cy=﹣arctgDy=arctg)考點(diǎn):專題:分析:解答:函數(shù)的圖象與圖象變化.壓軸題.根據(jù)平移變換和對稱變換引起的解析式變化規(guī)律依次求出C、C'對應(yīng)的解析式即可.解:將函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個單位所得到的圖象為C則C對應(yīng)的解析式為y=arctg(x﹣2)又∵圖象C'與C關(guān)于原點(diǎn)對稱則C'對應(yīng)的解析式為y=﹣arctg(﹣x﹣2)=arctg(x+2)故選D平移變換的口決是“左加右減,上加下減”點(diǎn)評:對稱變換的口決是“關(guān)于Y軸負(fù)里面,關(guān)于X軸負(fù)外面,關(guān)于原點(diǎn),既負(fù)里面,又負(fù)外面”二、填空題(共5小題,每小題5分,滿分25分)16.(5分)雙曲線的準(zhǔn)線方程是y=±.考點(diǎn):專題:分析:雙曲線的簡單性質(zhì).計(jì)算題.由焦點(diǎn)在y軸的雙曲線的準(zhǔn)線方程公式解:∵a=4,b=3,進(jìn)行求解.解答:則c=5,雙曲線的準(zhǔn)線方程是,故答案是本題比較簡單,解題時要注意雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上..點(diǎn)評:17.(5分)(x﹣1)﹣(x﹣1)2+(x﹣1)3﹣(x﹣1)4+(x﹣1)5的展開式中,x2的系數(shù)等于﹣20.考點(diǎn):專題:分析:二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.計(jì)算題.多項(xiàng)式展開式的含x2項(xiàng)的系數(shù)等于各個二項(xiàng)式展開式的系數(shù)和,利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出各個系數(shù).解:展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為﹣1﹣C32﹣C42﹣C52=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20故答案為﹣20解答:點(diǎn)評:本題考查等價轉(zhuǎn)化能力及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.18.(5分)(2011?上海模擬)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,如果sn是{an}的前n項(xiàng)的和,那么等于2.考點(diǎn):分析:等差數(shù)列的性質(zhì);極限及其運(yùn)算;等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.設(shè)an=a1+(n﹣1)d,sn=na1+d,代入求出極限即可.解答:解:設(shè)an=a1+(n﹣1)d,sn=na1+d,代入得===2故答案為2考查學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)的能力,運(yùn)用等差數(shù)列求和公式的能力,會求極限及運(yùn)算極限的能力.點(diǎn)評:19.(5分)函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.考點(diǎn):專題:分析:三角函數(shù)的最值.計(jì)算題;壓軸題.利用sinx與cosx的平方關(guān)系,令sinx+cosx=t,通過換元,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),求出對稱軸,利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值.解答:解:令t=sinx+cosx=∴sinxcosx=則∴y==()對稱軸t=﹣1∴當(dāng)t=時,y有最大值故答案為點(diǎn)評:本題考查三角函數(shù)中利用平方關(guān)系sinx+cosx與2sinxcosx兩者是可以相互轉(zhuǎn)化的、二次函數(shù)的20.(5分)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分,那么V1:V2=.考點(diǎn):專題:分析:棱柱、棱錐、棱臺的體積.計(jì)算題;壓軸題.設(shè)AEF面積為s1,ABC和A1B1C1的面積為s,三棱柱高位h;VAEF﹣A1B1C1=V1;VBCFE﹣B1C1=V2;總體積為:V,根據(jù)棱臺體積公式求V1;V2=V﹣V1以及面積關(guān)系,求出體積之比.解:由題:設(shè)AEF面積為s1,ABC和A1B1C1的面積為s,三棱柱高位h;VAEF﹣解答:A1B1C1=V1;VBCFE﹣B1C1=V2;總體積為:V計(jì)算體積:V1=h(s1+s+)①V=sh②V2=V﹣V1③由題意可知,s1=④根據(jù)①②③④解方程可得:V1=sh,V2=sh;則故答案為:本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想,考查空間想象能力,是基礎(chǔ)題.點(diǎn)評:三、解答題(共6小題,滿分65分)21.(10分)有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).考點(diǎn):專題:分析:數(shù)列的應(yīng)用.計(jì)算題.設(shè)四個數(shù)依次為x,y,12﹣y,16﹣x.根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)知,由此能求出這四個數(shù).解:設(shè)四個數(shù)依次為x,y,12﹣y,16﹣x.依題意,有解答:由①式得x=3y﹣12.③將③式代入②式得y(16﹣3y+12)=(12﹣y)2,整理得y2﹣13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.從而得所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.22.(10分)已知sina+sinB=,cosa+cosB=,求tg(a+B)的值.考點(diǎn):分析:兩角和與差的正弦函數(shù);同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用.和差化積,兩已知等式出現(xiàn)相同的因式,兩式相除,約分得入即求的結(jié)果,注意二倍角公式的符號.解法一:由已知得角的正切,用二倍角公式代解答:sinα+sinβ=2sincos=,cos,兩式相除得tan=,tan(α+β)==點(diǎn)評:數(shù)學(xué)課本中常見的三角函數(shù)恒等式的變換,既是重點(diǎn),又是難點(diǎn).其主要難于三角公式多,難記憶,角度變化、函數(shù)名稱變化,運(yùn)算符號復(fù)雜、難掌握,解題時抓住題目本質(zhì),熟記公式,才不會出錯.23.(10分)如圖,在三棱錐SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).考點(diǎn):專題:分析:平面與平面之間的位置關(guān)系.計(jì)算題.欲證BD⊥DE,BD⊥DC,先證BD⊥面SAC,從而得到∠EDC是所求的二面角的平面角,利用Rt△SAC與Rt△EDC相似求出∠EDC即可.解答:解:由于SB=BC,且E是SC的中點(diǎn),因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.設(shè)SA=a,則AB=a,BC=SB=a∵AB⊥BC,∴AC=∴∠ACS=30°.,在Rt△SAC中tan∠ACS=又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.點(diǎn)評:本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能24.(11分)設(shè)a為實(shí)數(shù),在復(fù)數(shù)集C中解方程:z2+2|z|=a.考點(diǎn):專題:分析:復(fù)數(shù)的基本概念;復(fù)數(shù)相等的充要條件.壓軸題;分類討論.由于z2=a﹣2|z|為實(shí)數(shù),故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù),因而需分情況進(jìn)行討論.當(dāng)z是實(shí)數(shù)時,本題是一個關(guān)于z的一元二次方程組,解方程組即可;當(dāng)z是一個純虛數(shù)時,按照實(shí)數(shù)方程求解得到z的虛部,寫出純虛數(shù)即可.解答:解:設(shè)|z|=r.若a<0,則z2=a﹣2|z|<0,于是z為純虛數(shù),從而r2=2r﹣a.由于z2=a﹣2|z|為實(shí)數(shù),故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù),因而需分情況進(jìn)行討論.)i.解得r=(r=<0,不合,舍去).故z=±(若a≥0,對r作如下討論:(1)若r≤a,則z2=a﹣2|z|≥0,于是z為實(shí)數(shù).解方程r2=a﹣2r,得r=(r=故z=±(<0,不合,舍去).).(2)若r>a,則z2=a﹣2|z|<0,于是z為純虛數(shù).解方程r2=2r﹣a,得r=或r=(a≤1).故z=±()i(a≤1).綜上所述,原方程的解的情況如下:當(dāng)a<0時,解為:z=±(當(dāng)0≤a≤1時,解為:z=±(當(dāng)a>1時,解為:z=±()i;),z=±().)i;點(diǎn)評:本題還可以令z=x+yi(x、y∈R)代入原方程后,由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x,y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來求解.25.(12分)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0.求這個橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于)到這個橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是的點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn):專題:橢圓的應(yīng)用.計(jì)算題;壓軸題.分析:解答:由題設(shè)條件取橢圓的參數(shù)方程出b=1,a=2.從而求出這個橢圓的方程和橢圓上到點(diǎn)P的距離等于,其中0≤θ<2π,根據(jù)已知條件和橢圓的性質(zhì)能夠推的點(diǎn)的坐標(biāo).解:根據(jù)題設(shè)條件,可取橢圓的參數(shù)方程是,其中0≤θ<2π,,即a=2b.由可得設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d,則=
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