基礎(chǔ)隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)

隨機(jī)變量及其分布、離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為》X。,…,X,…,X,X取每一個(gè)12in值x(i=1,2，…,n)的概率P(X=X)=p,則稱以下表格iiiXx1x2…xi…xPP1P2…p.…pn為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱X的分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：（1）P20,i=1,2,…,ni(2(2)p+p+…+p=1

12n常見的兩種分布：1．兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X的分布列為X01P1-pp則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p=P(x=i)為成功概率.2．超幾何分布一般地，在含有乂件次品的N件產(chǎn)品中，任取口件，其中恰有乂件次品，則事件｛X二k｝發(fā)生的概率為：CkCn—kP(X=k)=M_N-M,k=0,1,2,3,...,mCnN則隨機(jī)變量X的概率分布列如下:X01…mPC0Cn-0MN—MCnNC1Cn-1MN-MCnN…CmCn-mMN-MCnN其中m=min{M,n},且〃<N,M<N,n,M,NgN*注：超幾何分布的模型是不放回抽樣二、條件概率P(AB)一般地，設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)>0，稱P(B|A)=ppA^-為在事件A發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的條件概率.0WP(BIA)W1三、相互獨(dú)立事件設(shè)A,B兩個(gè)事件，如果事件人是否發(fā)生對(duì)事件8發(fā)生的概率沒有影響(即P(AB)=P(A)P(B)),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。即A、B相互獨(dú)立oP(AB)=P(A)P(B)一般地，如果事件A1,A2,…,An兩兩相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AA...A)=P(A)P(A)...P(A).12n12n注：(1)互斥事件：指同一次試驗(yàn)中的兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；(2)相互獨(dú)立事件：指在不同試驗(yàn)下的兩個(gè)事件互不影響.四、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地，在相同條件下，重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，記A是“第i次試驗(yàn)的結(jié)果”，顯然，iP(AA…A)=P(A)P(A)???P(A)12n12n“相同條件下”等價(jià)于各次試驗(yàn)的結(jié)果不會(huì)受其他試驗(yàn)的影響注:獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜐M足以下三方面特征第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行；第二：各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；第三：每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生.五、二項(xiàng)分布一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X=k)=Ckpk(1-p)n一k，k=0,1,2,…，nnX01…k…nPC0p0qnnC1p1qn-1n…Ckpkqn-kn…Cnpnq0n此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)，并稱p為成功概率.六、離散隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)一般地，隨機(jī)變量X的概率分布列為Xx1x2…xi…xPP1P2…p.…pn

則稱E(X)=xp+xp++xp++xp1122iinn為X的數(shù)學(xué)期望或均值，簡(jiǎn)稱為期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平..若y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，則Y也是變量Yax+bax+b…ax+b…ax+bnPpiP2…pi…pn則EY=aE(X)+b，即E(aX+b)=aE(X)+b.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=1xp+0x(1-p)=p即若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p?若X~B(n,p)，則E(X)=np七、離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為XX1X2…Xi…XPp1p2…pi…pn則稱DX=(x-E(X))2p+(x-E(X))2p+-??+(x-E(X))2p為隨機(jī)變量X的方差.1122nn并稱、DXT,為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差..若X服從兩點(diǎn)分布，則D(x)=p(1-p)?若X~B(n,p)，則D(X)=np(1-p)3．D(aX+b)=a2D(X)八、正態(tài)分布.正態(tài)分布一般記為N(u,。2).口為正態(tài)分布的均值；。是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差2．結(jié)合正態(tài)曲線，歸納其以下性質(zhì)：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交.(2)曲線關(guān)于直線x=u對(duì)稱.(3)當(dāng)x=h時(shí)，曲線位于最高點(diǎn).(4)當(dāng)xV口時(shí)，曲線上升(增函數(shù))；當(dāng)x>口時(shí)，曲線下降(減函數(shù))．并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近.(5)口一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；。越小，曲線越“高”，總體分布越集中；3.3。原則:對(duì)于正態(tài)總體(口,。2)取值的概率：練習(xí)：.正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)日與0,()相應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀越扁平。A.日越大B.日越小C.o越大D.o越