概率與統(tǒng)計(jì)的交匯的五種題型

概率與統(tǒng)計(jì)的交匯的五種題型統(tǒng)計(jì)和古典概型的綜合是高考解答題的一個(gè)命題趨勢和熱點(diǎn)，此類題一般在實(shí)際生活背景中結(jié)合統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識，考查學(xué)生的綜合解題能力，在解決綜合問題時(shí)，要求同學(xué)們對圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉，挖掘出圖表所給予的有用信息，排除有關(guān)數(shù)據(jù)的干擾，進(jìn)而抓住問題的實(shí)質(zhì)，達(dá)到求解的目的.題型一、隨機(jī)抽樣與概率交匯例1.某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計(jì)20至40歲401858大于40歲152742總計(jì)5545100(1)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名，大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.【解析】(1)由于大于40歲的42人中有27人收看新聞節(jié)目，而20至40歲的58人中，只有18人收看新聞節(jié)目，故收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān).(2)27×＝3，所以大于40歲的觀眾應(yīng)抽取3名.(3)由題意知，設(shè)抽取的5名觀眾中，年齡在20歲至40歲的為a1，a2，大于40歲的為b1，b2，b3，從中隨機(jī)取2名，基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10個(gè)，設(shè)恰有一名觀眾年齡在20至40歲為事件A，則A中含有基本事件6個(gè)：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，所以【點(diǎn)評】本題將統(tǒng)計(jì)抽樣與概率綜合在一起，掌握抽樣方法的特點(diǎn)以及古典概率事件空間的列舉是解題的關(guān)鍵，利用分層抽樣的定義以及各層抽樣比是解決分層抽樣的重要手段.通過列舉法列舉出所有事件發(fā)生的可能性的種數(shù),尋找出問題中所要求的事件的可能性的種數(shù)即可求解出所求概率,列舉法又稱枚舉法,它是解決隨機(jī)事件的重要方法.【變式訓(xùn)練1】（1）假定某運(yùn)動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A.0.50 B.0.45C.0.40 D.0.35【解析】兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1,2,3,4中的之一，它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10個(gè)，因此所求的概率為＝0.50.故選A.（2）某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：組號分組頻數(shù)頻率第1組[50,60)50.05第2組[60,70)a0.35第3組[70,80)30b第4組[80,90)200.20第5組[90,100]100.10合計(jì)1001.00(1)求a，b的值；(2)若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率.【解析】(1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.(2)因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應(yīng)分別抽取3人、2人、1人.設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從6位同學(xué)中抽2位同學(xué)有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1).其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學(xué)至少有1位同學(xué)入選的概率為.題型二、頻率分布直方圖與概率交匯例2.某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實(shí)踐，對[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組[25,30)1200.6第二組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)A0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率.【解析】(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為＝0.06.頻率分布直方圖如下：第一組的人數(shù)為＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝＝1000.由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1000×0.3＝300，所以P＝＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數(shù)為1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因?yàn)閇40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30＝2∶1，所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人.設(shè)[40,45)歲中的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊(duì)的選法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8種.所以選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為.【點(diǎn)評】涉及頻率分布直方圖的考題注重頻率、頻數(shù)的計(jì)算，旨在考查對問題的分析與信息提取.利用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，一要正確理解小矩形的面積及縱坐標(biāo)的幾何意義，二要通過圖表對已知數(shù)據(jù)正確分析并計(jì)算各段的頻率.在頻率分布直方圖中,每個(gè)小矩形的面積就是相應(yīng)的頻率或概率,所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵,也是識圖的基礎(chǔ)?！咀兪接?xùn)練2】把參加某次鉛球投擲的同學(xué)的成績(單位：米)進(jìn)行整理，分成以下6個(gè)小組：[5.25,6.15)，[6.15,7.05)，[7.05,7.95)，[7.95,8.85)，[8.85,9.75)，[9.75,10.65]，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示是這個(gè)頻率分布直方圖的一部分.已知從左到右前5個(gè)小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小組的頻數(shù)是7.規(guī)定：投擲成績不小于7.95米的為合格.(1)求這次鉛球投擲成績合格的人數(shù)；(2)你認(rèn)為這次鉛球投擲的同學(xué)的成績的中位數(shù)在第幾組？請說明理由；(3)若參加這次鉛球投擲的學(xué)生中，有5人的成績?yōu)閮?yōu)秀，現(xiàn)在要從成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)選出2人參加相關(guān)部門組織的經(jīng)驗(yàn)交流會，已知a，b兩位同學(xué)的成績均為優(yōu)秀，求a，b兩位同學(xué)中至少有1人被選到的概率.【解析】（1）∵第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.∴參加這次鉛球投擲的總?cè)藬?shù)為＝50.根據(jù)規(guī)定，第4、5、6組的成績均為合格，人數(shù)為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.(2)∵成績在第1、2、3組的人數(shù)為(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成績在第5、6組的人數(shù)為(0.30＋0.14)×50＝22，參加這次鉛球投擲的總?cè)藬?shù)為50，∴這次鉛球投擲的同學(xué)的成績的中位數(shù)在[7.95,8.85)內(nèi)，即第4組.(3)設(shè)這次鉛球投擲成績優(yōu)秀的5人分別為a，b，c，d，e，則選出2人的所有可能的情況為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10種，其中a、b至少有1人的情況為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7種，∴a、b兩位同學(xué)中至少有1人被選到的概率為P＝.題型三、莖葉圖與概率交匯例3.某校團(tuán)委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利用周末時(shí)間進(jìn)行了一次社會實(shí)踐活動，且每個(gè)小組有5名同學(xué)，在實(shí)踐活動結(jié)束后，學(xué)校團(tuán)委會對該班的所有同學(xué)都進(jìn)行了測試，該班的A，B兩個(gè)小組所有同學(xué)所得分?jǐn)?shù)(百分制)的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高1分.(1)若在B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過85分的概率；(2)現(xiàn)從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，求|m－n|≤8的概率.【解析】(1)A組學(xué)生的平均分為，∴B組學(xué)生平均分為86分.設(shè)被污損的分?jǐn)?shù)為x，則，解得x＝88，∴B組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別為93,91,88,83,75，其中有3人的分?jǐn)?shù)超過85分.∴在B組學(xué)生隨機(jī)選1人，其所得分超過85分的概率為.(2)A組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分別是94,88,86,80,77，在A組學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，其分?jǐn)?shù)組成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10個(gè).隨機(jī)抽取2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)m，n滿足|m－n|≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6個(gè).∴|m－n|≤8的概率P=.【點(diǎn)評】莖葉圖具有對數(shù)據(jù)隨時(shí)記錄,隨時(shí)添加的功能，方便記錄與表示所有的原始數(shù)據(jù)信息，所以在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中且位數(shù)不多時(shí)更適宜用莖葉圖對樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過觀察莖葉圖中的數(shù)據(jù)分布,即可對數(shù)據(jù)的特征進(jìn)行粗略的判斷，存在數(shù)據(jù)被污損(或缺失)的題目是近年各地的高頻考題，關(guān)鍵是根據(jù)莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征，先求出被污損(或缺失)的數(shù)據(jù)，然后求解相關(guān)問題?！咀兪接?xùn)練3】某次的一次學(xué)科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．（Ⅰ）求參加測試的總?cè)藬?shù)及分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的人數(shù)；（Ⅱ）若要從分?jǐn)?shù)在[80，100）之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，恰有一份分?jǐn)?shù)在[90，100）之間的概率．【解析】(Ⅰ）成績在[50，60）內(nèi)的頻數(shù)為2，由頻率分布直方圖可以看出，成績在[90，100]內(nèi)同樣有2人．由，解得n=25．成績在[80，90）之間的人數(shù)為25﹣（2+7+10+2）=4人，∴參加測試人數(shù)n=25，分?jǐn)?shù)在[80，90）的人數(shù)為4人.（Ⅱ）設(shè)“在[80，100]內(nèi)的學(xué)生中任選兩人，恰有一人分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)”為事件M，將[80，90）內(nèi)的4人編號為a，b，c，d；[90，100]內(nèi)的2人編號為A，B,在[80，100]內(nèi)的任取兩人的基本事件為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個(gè)．其中，恰有一人成績在[90，100]內(nèi)的基本事件有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8個(gè)．∴所求的概率得.題型四、樣本的數(shù)字特征與概率交匯例4.一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認(rèn)知程度,對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽,滿分100分(90分及以上為認(rèn)知程度高),現(xiàn)從參賽者中抽取了x人,按年齡分成5組(第一組:

[20,25]

,第二組:[25,30]

,第三組:[30,35]

,第四組:

[35,40]

,第五組:[40,45]

,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有6人.(Ⅰ)求

x

;(Ⅱ)求抽取的x人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));(Ⅲ)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個(gè)體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分別記為1~5組,從這5個(gè)按年齡分的組和5個(gè)按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽代表相應(yīng)組的成績,年齡組中1~5組的成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1~5組的成績分別為93,98,94,95,90.(ⅰ)分別求5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差;(ⅱ)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù),評價(jià)5個(gè)年齡組和5個(gè)職業(yè)組對“一帶一路”的認(rèn)知程度,并談?wù)勀愕母邢?【解析】(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖得第一組頻率為0.015=0.05,所以,所以

x=120.(Ⅱ)設(shè)中位數(shù)為

a,

則,所以,

∴中位數(shù)為32．(Ⅲ)(i)5個(gè)年齡組的平均數(shù)為

,方差為

,5個(gè)職業(yè)組的平均數(shù)為.方差為

．(ii)評價(jià):從平均數(shù)來看兩組的認(rèn)知程度相同,從方差來看年齡組的認(rèn)知程度更好.【點(diǎn)評】對于樣本數(shù)字特征估計(jì)總體的考查一般先利用公式求出數(shù)值,然后結(jié)合數(shù)據(jù)關(guān)系進(jìn)行估計(jì).樣本平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使得平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)可靠性降低.所以對數(shù)據(jù)離散還是集中的判斷多結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述數(shù)據(jù)波動性的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)越分散；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)越集中．【變式訓(xùn)練4】某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人)．現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))．(1)求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；(2)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2.表1：生產(chǎn)能力分組[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人數(shù)6y3618①先確定x、y，再完成頻率分布直方圖，就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？(不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)②分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．【解析】(1)甲、乙被抽到的概率均為，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為P＝.(2)①由題意知A類工人中應(yīng)抽查25名，B類工人中應(yīng)抽查75名．故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.頻率分布直方圖如下：從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的差異程度更?。冢健?05＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8，＝×123＋×133.8＝131.1.A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)、B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123,133.8和131.1.題型五．回歸直線與概率交匯例5.中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權(quán),集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分兒口井,取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時(shí)期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費(fèi)用很高,如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費(fèi)用.勘探初期數(shù)據(jù)資料見如表:

井號I123456坐標(biāo)（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）鉆探深度（km）2456810出油量(L)407011090160205(Ⅰ)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a,并估計(jì)y的預(yù)報(bào)值;

(Ⅱ)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7（1，25）,若通過1、3、5、7號井計(jì)算出的的值(精確到0.01)相比于(Ⅰ)中b,a的值之差（即：）不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6（1，y）,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?

(參考公式和計(jì)算結(jié)果:,,,)(Ⅲ)設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有井號1~6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井,求恰好2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.【解析】(Ⅰ),

回歸直線必過平衡點(diǎn),

則,

所以回歸直線方程為y=6.5x+17.5,

當(dāng)x=1時(shí),y=6.5+17.5=24,即y的預(yù)報(bào)值為24.

(Ⅱ)，，,

,均不超過10%,

所以使用位置接近的已有舊井6(1,24).

(Ⅲ)由題意知原有出油量不低于50L的井中,3,5,6這3口井是優(yōu)質(zhì)井,

2,4這兩口井是非優(yōu)質(zhì)井,

由題意從這5口井中,隨機(jī)選3口井的情況有：(2,3,4),

(2,3,5),

(2,3,6),

(2,4,5),

(2,4,6),

(2,5,6),

(3,4,5),

(3,4,6),

(3,5,6),(4,5,6),共10種,其中恰有2口是優(yōu)質(zhì)井的有(2,3,5),

(2,3,6),

(2,5,6),

(3,4,5),

(3,4,6),

(4,5,6),共6種,所以恰有2口是優(yōu)質(zhì)井的概率P=.【點(diǎn)評】利用回歸直線可以進(jìn)行預(yù)測，回歸直線方程將部分觀測值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸，是對線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制，依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)報(bào)因變量值的基礎(chǔ)和依據(jù)，回歸直線過定點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))是常用解題結(jié)論.【變式