武漢大學(xué)線性代數(shù)3-1課件

第三章線性方程組向量組的秩及其極大線性無關(guān)組

矩陣的秩齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組有解的條件及解的結(jié)構(gòu)維向量及其線性相關(guān)定義1：數(shù)域F上的n個(gè)有次序的數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為數(shù)域F上的一個(gè)n維向量,其中稱為第i個(gè)分量，

以后我們用小寫希臘字母來代表向量。而用小寫拉丁字母來代表數(shù)。維向量及其線性相關(guān)3.1維向量3.1.1分量全為零的向量稱為零向量。向量組,

,…，稱為矩陣A的行向量組．

反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.數(shù)域F上全體n元向量組成的集合，記為3.1.2向量的運(yùn)算及性質(zhì)定義

向量相等：如果和

是數(shù)域F上的兩個(gè)n維向量，如果他們的對(duì)應(yīng)分量都相等，即則稱向量定義

向量的和：如果和

是數(shù)域F上的兩個(gè)n維向量負(fù)向量：向量稱為向量的負(fù)向量向量的差加法運(yùn)算滿足性質(zhì)注：零向量和負(fù)向量是唯一的加法的逆運(yùn)算是減法。線性運(yùn)算：上述向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算注：滿足上述的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。

(5)向量方程有唯一解兩個(gè)特殊的子向量空間和稱為平凡子空間例1：3維向量的全體是一個(gè)向量空間。的一個(gè)子向量空間。成的向量空間,是平面上所有向量全體構(gòu)由xoy例2：RyxyxV},|)0,,({?==a解：所以V是一個(gè)向量空間。例4：設(shè)a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷集合是否為向量空間.（這個(gè)向量空間稱為由向量a，b生成的向量空間）一般地，由向量組所生成的向量空間為記作保留方程組多余方程例5：求解非齊次線性方程組解：方程組（1）對(duì)應(yīng)著向量組由此可抽象出定義：設(shè)是數(shù)域F上的n維向量組，

3.1.4線性組合與線性表示對(duì)P中的任何一組數(shù)向量稱為向量組A的一個(gè)線性組合，若記作：則稱向量是向量組A的線性組合（表示）稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。例如：有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。定義：3.1.5線性相關(guān),線性無關(guān)注意例7

討論向量組的線性相關(guān)性。例8

設(shè)問能否由線性表示。3.1.6線性相關(guān)性的刻畫

至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示

向量組線性相關(guān)定理1存在一組不全為零的數(shù)使證明：1）不妨設(shè)線性相關(guān)，于是例81）如果向量組中有一部分向量組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)。

2）如果向量組線性無關(guān)，則其任一部分向量組線性相也必線性無關(guān)。從而有一組不全為零的數(shù)使由定義知線性相關(guān)。所以如果向量組中有一部分向量組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組必線性相關(guān)。2）用反證法，若任一部分組線性相關(guān)，則由1）知整體組線性相關(guān)，矛盾，故整體組無關(guān)，部分組必線性無關(guān)。線性方程組的向量表示（*）3.1.7線性相關(guān)性的判斷.定理2

設(shè)向量組則向量組線性相關(guān)的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量的齊次線性方程組有非零解，且它的一個(gè)非零解就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。有非零解，且它的一個(gè)非零解就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。推論2

n個(gè)n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的方陣的行列式不等于零推論3

n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的方陣的行列式等于零推論4：當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。證明：若向量組線性相關(guān)，則線性相關(guān)。若向量組線性無關(guān)，則方程組系數(shù)矩陣行列式故方程組有唯一非零解，故向量組線性相關(guān)，故線性相關(guān)。

則向量必能由向量組A線性表示，且表示式唯一.定理3向量組線性無關(guān),而向量組線性相關(guān),且所以可由線性表示。兩式相減下面證明惟一性，設(shè)能由向量組線性表示，推論5則表示式唯一的充要條件是向量組線性無關(guān)。向量證明：充分性，由定理5即得必要性，由能由向量組線性表示向量故存在一組數(shù)使由表示式唯一性知：（1）又存在一組數(shù)使（2）（1）+（2）得故所以，向量組線性無關(guān)

則向量組，必線性無關(guān)。推論6向量組線性無關(guān),而向量不能由向量組A線性表示，定理與推論都是重要的！例10:證明n維基本向量組線性無關(guān).解:只有零解故線性無關(guān)。例11

判斷向量組由故線性無關(guān)解：設(shè)數(shù)使得成立。即未知量為系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關(guān)。向量對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無關(guān)。例12:試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.例13已知向量組線性無關(guān),證明:用定義設(shè)只有零解.所以,證明：記由于方程組的前n個(gè)方程即是的n個(gè)方程。故的解一定是的解。由于線性無關(guān)，故方程組只有零解，從而也只有零解，因此也是線性無關(guān)的，反之，如果線性相關(guān)，即有非零解，則也有非零解，故線性相關(guān)。定理4如果一組n維向量線性無關(guān)，那么，將

這組向量各任意添加m個(gè)分量所得新（m+n維）向

量

組也線性無關(guān)；

如果線性相關(guān)，那么其各去掉相同

的若干個(gè)分量所得新向量組也線性相關(guān)。推論7

如果在數(shù)域P上的n維向量空間中，有n個(gè)向量線性無關(guān)，則中的任一向量都可由線性表示，且表法惟一。？定理咋這多哎！難！例14已知向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)，

證明：1）可以由線性表示，2）不能由線性表示。證明：1）因?yàn)榫€性相關(guān)，線性無關(guān)，

故線性無關(guān)，所以可由線性表

示。所以可由線性表示。

故可由線性表示，故線性相關(guān)，與題設(shè)矛盾，所以不能由線性表示2）由1）知，可由線性表示，即存在一組

不全為零的數(shù)使

若可由線性表示，則存在一組不

全為零的數(shù)使：例15設(shè)A是n階方陣，是n維列向量，如果證明：線性無關(guān)。證明：設(shè)是一組數(shù)，且（1）將（1）式兩邊同時(shí)左乘則此時(shí)有：（2）將（2）式兩邊同時(shí)左乘依次類推得：故（1）式只有在時(shí)才成立。所以線性無關(guān)。例16設(shè)向量線性無關(guān)，又

討論向量組的線性相關(guān)性。解：設(shè)有數(shù)使（1）即由線性無關(guān)，故有：

（2）又所以（2）只有零解，所以線性無關(guān)。例17設(shè)1）問t為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)；2）問t為何值時(shí)，向量組線性無關(guān)；3）當(dāng)線性相關(guān)時(shí)，將表示為的線性組合。解：設(shè)有數(shù)使得即得：此方程組的系數(shù)行列式為：1）當(dāng)t=5時(shí)，方程組有非零解，故線性相關(guān)；2）當(dāng)t5時(shí)，方程組只有零解，故線性無關(guān)；3）當(dāng)t=5時(shí)，向量組構(gòu)成的矩陣為：

（1）故上例告訴我們：矩陣的行初等變換不改變列向量組的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變行向量組的線性關(guān)系。在求解向量線性組合時(shí)，可用上例方法求解，即將向量表成矩陣的列，對(duì)矩陣進(jìn)行行初等變換，將矩陣變換成行最簡(jiǎn)形即可寫出向量的線性組合。其理論證明后面給出。

由以上例題,你可得出什么結(jié)論?例18A是矩陣，B是矩陣，其中，若AB=I

證明：B的列向量組線性無關(guān)。證明：設(shè)其中是B的列向量。

若（1）式兩邊左乘A得：故只有當(dāng)時(shí)，才有：（1）成立，所以線性無關(guān)，所以B的列向量線性無關(guān)。例19設(shè)A是n階矩陣，是n維線性無關(guān)向量，證明A可逆的充分必要條件是線性無關(guān)。證明：必要性設(shè)A可逆，且（1）（1）式兩邊左乘由線性無關(guān)，故只有時(shí)（1）式才成立。所以線性無關(guān)。充分性若線性無關(guān)，故由所以A可逆。例20設(shè)A是n階矩陣，是n