2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.3.2方差與標(biāo)準差學(xué)案

2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.3.2方差與標(biāo)準差學(xué)案2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.3.2方差與標(biāo)準差學(xué)案2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.3.2方差與標(biāo)準差學(xué)案資料僅供參考文件編號：2022年4月2018版高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.3.2方差與標(biāo)準差學(xué)案版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：2.3.2方差與標(biāo)準差1．理解樣本數(shù)據(jù)方差與標(biāo)準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)的方差、標(biāo)準差．(重點、難點)2．掌握通過合理抽樣對總體的穩(wěn)定性水平作出科學(xué)估計的思想．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理方差與標(biāo)準差閱讀教材P69～P70“例4”上邊的內(nèi)容，并完成下列問題．1．極差的概念我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差．2．方差與標(biāo)準差的概念(1)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2為這個樣本的方差．(2)方差的算術(shù)平方根s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)為樣本的標(biāo)準差．填空：(1)已知樣本方差為s2＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－5)2，則樣本的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________.【導(dǎo)學(xué)號：11032048】【解析】由題意得eq\x\to(x)＝5，n＝10，∴eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋x10,10)＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50.【答案】550(2)數(shù)據(jù)10,6,8,5,6的方差s2＝________.【解析】5個數(shù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(10＋6＋8＋5＋6,5)＝7，所以s2＝eq\f(1,5)×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.【答案】3.2[小組合作型]方差與標(biāo)準差的計算(1)某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖如圖2-3-7，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為________．圖2-3-7(2)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和標(biāo)準差分別為________、________.【精彩點撥】根據(jù)方差和均值的定義進行計算．【自主解答】(1)依題意知，運動員在5次比賽中的分數(shù)依次為8,9,10,13,15，其平均數(shù)為eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11.故方差為s2＝eq\f(1,5)[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝eq\f(1,5)(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.(2)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10)＝1，方差s′2＝eq\f(1,10)[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4，新數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的均值eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(x1＋a＋x2＋a＋…＋x10＋a)＝eq\f(1,10)(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝1＋a.新數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的方差s2＝eq\f(1,10)[(x1＋a－1－a)2＋(x2＋a－1－a)2＋…＋(x10＋a－1－a)2]＝eq\f(1,10)[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4.∴s＝2.【答案】(1)6.8(2)1＋a2求樣本方差或標(biāo)準差的步驟：(1)求樣本的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i；(2)利用公式s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2求方差s2；(3)利用s＝eq\r(s2)求標(biāo)準差s.[再練一題]1．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為________．【解析】由題意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以樣本方差為s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.【答案】2方差與標(biāo)準差的應(yīng)用甲、乙兩臺機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從加工的零件中抽取6件測量，所得數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)計算的結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【精彩點撥】eq\x(求平均數(shù))→eq\x(計算方差)→eq\x(根據(jù)方差的大小進行判斷)【自主解答】(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同．又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．1．方差和標(biāo)準差都是反映一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小．方差、標(biāo)準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差、標(biāo)準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小或數(shù)據(jù)越集中，穩(wěn)定．2．比較兩組數(shù)據(jù)的異同點，一般情況是從平均數(shù)及方差或標(biāo)準差這兩個方面考慮．[再練一題]2．甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間他們參加5次測試，成績記錄如下：甲：7876749082乙：9070758580現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，應(yīng)選擇________同學(xué)．(填“甲”或“乙”)【解析】eq\x\to(x)甲＝80，eq\x\to(x)乙＝80，而seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.∵eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，選甲參加更合適．【答案】甲[探究共研型]平均數(shù)、方差的性質(zhì)探究1方差與原始數(shù)據(jù)的單位相同嗎為什么標(biāo)準差的取值范圍如何s＝0表示怎樣的意義？

【提示】由于方差進行了平方運算，故方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，從而標(biāo)準差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位相同．由標(biāo)準差的定義知s≥0，當(dāng)s＝0時，表示所有的樣本數(shù)據(jù)都相同．探究2所有樣本數(shù)據(jù)均加上一個常數(shù)，其平均數(shù)、方差改變嗎若所有樣本數(shù)據(jù)均乘以一個非零常數(shù)時，結(jié)果又會怎樣

【提示】設(shè)樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則樣本x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＋b，方差為s2；樣本ax1，ax2，…，axn的平均數(shù)為aeq\o(x,\s\up6(－))，方差為a2s2.從某班抽取5名學(xué)生測量身高(單位：cm)數(shù)據(jù)如下：161,163,162,165,164.求這5名學(xué)生身高的平均數(shù)及標(biāo)準差．【精彩點撥】本題可用兩種解法．方法一是直接套公式計算．方法二把原數(shù)據(jù)統(tǒng)一減去一個常數(shù)160，通過新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差求解．【自主解答】法一：身高的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(161＋163＋162＋165＋164,5)＝163(cm)，標(biāo)準差s＝eq\r(\f(1,5)[161－1632＋163－1632＋162－1632＋165－1632＋164－1632])＝eq\r(2)(cm)．法二：將原數(shù)據(jù)都減去160之后得到一組新數(shù)據(jù)為1,3,2,5,4，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,5)(1＋3＋2＋5＋4)＝3，新數(shù)據(jù)的方差s′2＝eq\f(1,5)[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，由平均數(shù)及方差的性質(zhì)得原數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝160＋3＝163(cm)，原數(shù)據(jù)的標(biāo)準差s＝eq\r(s′2)＝eq\r(2)(cm)．1．平均數(shù)、方差具有以下性質(zhì)．(1)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變．(2)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.2．利用以上性質(zhì)可使平均數(shù)，方差的計算變得簡單．[再練一題]3．已知k1，k2，…，kn的方差為5，則3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差為________.【解析】設(shè)k1，k2，…，kn的平均數(shù)為eq\x\to(k)，則3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均數(shù)為3(eq\x\to(k)－4)，∴s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)3(ki－4)－3(eq\x\to(k)－4)]2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)3(ki－eq\x\to(k))]2＝9×eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(ki－eq\x\to(k))2＝9×5＝45.【答案】451．下列敘述不正確的是________．(填序號)①樣本的平均數(shù)可以近似地描述總體的平均水平；②極差描述了一組數(shù)據(jù)變化的幅度；③樣本的方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小；④一個班級的數(shù)學(xué)成績的方差越大說明成績越穩(wěn)定．【解析】選項①②③都是對三個基本概念的正確描述，方差越大說明一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)的波動越大，所以，一個班級的數(shù)學(xué)成績的方差越大，說明成績越不穩(wěn)定，因此選項④是不正確的．故選④.【答案】④2．甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差見表：甲乙丙丁平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))8.58.88.88方差s23.53.52.18.7則參加奧運會的最佳人選應(yīng)為________．【解析】由平均數(shù)及方差的定義知，丙的平均成績較高且較穩(wěn)定．【答案】丙3．若1,2,3，x的平均數(shù)是5，而1,3,3，x，y的平均數(shù)是6，則1,2,3，x，y的方差是________．【解析】由5＝eq\f(1＋2＋3＋x,4)得x＝14.同理y＝9.由s2＝eq\f(1,5)(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.【答案】24.564．已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，方差是4，則xy＝________.【解析】由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9＋10＋11＋x＋y,5)＝10，,\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(92＋102＋112＋x2＋y2))－102＝4，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，①,x2＋y2＝218，②))①2－②得2xy＝182，∴xy＝91.【答案】915．假定下述數(shù)據(jù)是甲、乙兩個供貨商的交貨天數(shù)，甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根據(jù)兩個供貨商的交貨情況．并計算哪個供貨商交貨時間短一些，哪個供貨商交貨時間較具一致性與可靠性？【解】eq\o