八年級(jí)數(shù)學(xué)培訓(xùn)

一、“圖形與幾何”部分關(guān)于圖形的運(yùn)動(dòng)變化對(duì)“圖形的運(yùn)動(dòng)變化”，要確立如下理念：只有通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)或圖形的變換，才能真正把握?qǐng)D形的性質(zhì).案例1

P11（閱讀

圖形的運(yùn)動(dòng)）圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折（對(duì)稱(chēng)）是剛體運(yùn)動(dòng)（剛體運(yùn)動(dòng)的特征是保距、保角，即一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)多次的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，所得到的圖形與運(yùn)動(dòng)前的圖形仍然全等），因而圖形的許多性質(zhì)都可以通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變化去實(shí)現(xiàn).案例2

探索“三角形中位線的性質(zhì)”.問(wèn)題情境：怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個(gè)平行四邊形？操作：在三角形紙片ABC中，分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE（為什么？）；沿DE將△ABC剪成兩部分，并將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)1800到△CFE的位置（如圖1）.圖1探索：點(diǎn)段DF上嗎？四邊形BCFD是平行四邊形嗎？如果是，DE與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？FEDCBA2.圖形的運(yùn)動(dòng)變化是“圖形與幾何”中十分重要的內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的思想方法.一方面，數(shù)學(xué)中，

接觸的最基本的圖形是“對(duì)稱(chēng)”（軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)，如：圓、正多邊形、等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形等）；另一方面，認(rèn)識(shí)“不對(duì)稱(chēng)圖形”時(shí)，又往往是運(yùn)用這些“對(duì)稱(chēng)圖形”為工具的.案例3

P52（

：線段垂直平分線外的點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等嗎？為什么？）線段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱(chēng)軸.案例4

P68（數(shù)學(xué)活動(dòng):折紙與證明）教學(xué)中，要通過(guò)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生較為充分地認(rèn)識(shí)到：認(rèn)識(shí)“不對(duì)稱(chēng)圖形”時(shí)，往往要運(yùn)用一些“對(duì)稱(chēng)圖形”為工具.3.對(duì)“對(duì)稱(chēng)（軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)軸）、旋轉(zhuǎn)、平移”的基本性質(zhì)，要通過(guò)“探索”得到，即通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變化去發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)，而不是單純地把這些性質(zhì)作為現(xiàn)成的結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生.進(jìn)行這樣的探索活動(dòng)，有助于學(xué)生感受圖形運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的不變量和不變關(guān)系.案例5P43（通過(guò)操作、思考活動(dòng)，探索軸對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分）.同樣，在七（下）

中，

也曾通過(guò)“操作、思考”活動(dòng)，探索了平移的基本性質(zhì)；還將在八（下)

中，通過(guò)“操作、思考”活動(dòng)，探索中心對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì).案例6

P13：對(duì)三角形全等的判定（1），通過(guò)剪紙、觀察、作圖，得到基本事實(shí)：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，再通過(guò)“讀一讀”用圖形運(yùn)動(dòng)變化的思想給予證實(shí).教學(xué)時(shí)，對(duì)基本事實(shí)--兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用圖形運(yùn)動(dòng)變化的思想給予證實(shí)：在△ABC和△A，B，C，中，BC=B，C，，∠B=∠B，∠C=∠C，.把△ABC疊合到△A，B，C，上，使BC

與B，C，重合，∠B與∠B，、∠C與∠C，落在BC的同一側(cè).因?yàn)椤螧

=∠B，，所以BA落在射線B，A，上.又因?yàn)椤螩=∠C，，所以CA落在射線C，A，上.根據(jù)“兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)”，可以知道點(diǎn)A與點(diǎn)A，重合.于是△ABC

與△A，B，C，重合，即△ABC

≌△A，B，C，.以“圖形的運(yùn)動(dòng)變化”為主線，展開(kāi)對(duì)“圖形與幾何”的研究.將“圖形與幾何”課程整合為全等變換、相似變換和對(duì)稱(chēng)變換3個(gè)主體內(nèi)容，其中，對(duì)稱(chēng)變換包括：軸對(duì)稱(chēng)圖形：主要研究軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)及等腰三角形；中心對(duì)稱(chēng)圖形：主要

對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)及平行四邊形（包括矩形、菱形、正方形）；對(duì)稱(chēng)圖形：主要從軸對(duì)稱(chēng)性及旋轉(zhuǎn)不變性的角度研究圓.布魯納認(rèn)為，如果學(xué)生沒(méi)有掌握一般原理，就不能激發(fā)智慧；如果學(xué)生學(xué)的知識(shí)沒(méi)有結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系起來(lái)，就容易遺忘；如果不教給學(xué)生學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，就不能從已知推斷未知.以“對(duì)稱(chēng)”為基本結(jié)構(gòu)來(lái)探索圖形的基本性質(zhì)：由“軸對(duì)稱(chēng)”探索等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、角平分線、線段的垂直平分線的性質(zhì)；由“中心對(duì)稱(chēng)”探索平行四邊形、矩形、菱形、正方形、三角形中位線的性質(zhì)；由“對(duì)稱(chēng)變換（軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)及旋轉(zhuǎn)不變性）”探索圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系以及垂徑定理、切線長(zhǎng)定理等.這樣處理

有3個(gè)好處：（1）有了圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等基本結(jié)構(gòu)，學(xué)生再動(dòng)手、動(dòng)腦就會(huì)理解透徹、印象深刻；抓住了圖形的共性，如平行四邊形、矩形、菱形、正方形的共性都是中心對(duì)稱(chēng)圖形，具有中心對(duì)稱(chēng)的一切性質(zhì)；等腰三角形、等邊三角形、角、線段都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，具有軸對(duì)稱(chēng)的一切性質(zhì)；有了“對(duì)稱(chēng)”這樣一根主線，綱舉目張，使知識(shí)更顯、和諧.教學(xué)時(shí)，要將“圖形與幾何”的教學(xué)置于“幾何變換”的基本結(jié)構(gòu)中.為體現(xiàn)圖形運(yùn)動(dòng)變化的理念，在八年級(jí)“軸對(duì)稱(chēng)圖形”、“中心對(duì)稱(chēng)圖形”兩章中，對(duì)圖形的性質(zhì)定理，一般從圖形運(yùn)動(dòng)變化的角度加以證實(shí)；對(duì)圖形的判定定理，采用傳統(tǒng)的“三段論證”的方法加以證明；在九年級(jí)“對(duì)稱(chēng)圖形─圓”中，對(duì)圓中的一些主要定理，則先用“觀察、操作─探索、猜想”的方法“發(fā)現(xiàn)”定理，再?gòu)膱D形運(yùn)動(dòng)變化的角度證實(shí)定理（實(shí)質(zhì)上是對(duì)前面的“操作、探索”過(guò)程的合理性做出解釋?zhuān)?，最后用傳統(tǒng)的“證”的方法證明定理.案例7

研究等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性.探索(合情推理）：把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？圖2

圖3證實(shí)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：如圖2，在△ABC中，AB=AC.沿三角形的角平分線AD所在的直線把△ABC翻折，因?yàn)椤螧AD=∠CAD，所以AB落在射線AC上.因?yàn)锳B=AC，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，于是△ABD與△ACD重合（如圖3）.ABCDDC(B)A點(diǎn)評(píng)：通過(guò)將圖形翻折，

不僅可以發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)：等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；等腰三角形的兩底角相等；等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.而且在接下來(lái)的演繹推理時(shí)，折痕就是

要作的輔助線，它將等腰三角形分成兩個(gè)全等的三角形，這是翻折（合情推理）給

帶來(lái)的啟示（這樣，接下來(lái)的演繹推理也就不難了）.由此可見(jiàn)，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理，它們具有不同的功能，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具（從某種意義上說(shuō)，合情推理是解決問(wèn)題的“源”，而接下來(lái)的演繹推理只是它的“流”).案例8

研究平行四邊形的中心對(duì)稱(chēng)性.圖4操作：如圖4，O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn).用透明紙覆蓋在圖4上，描出平行四邊形ABCD及對(duì)角線AC，再用大頭針釘在點(diǎn)O處，將透明紙上的平行四邊形旋轉(zhuǎn)1800.你發(fā)現(xiàn)了什么？運(yùn)用圖形的運(yùn)動(dòng)變化證實(shí)圖形的性質(zhì)：當(dāng)平行四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)1800時(shí)，因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C與點(diǎn)A重合.AB由AB

∥CD，可知∠BAC

=∠DCA，于是AB落在射線CD上；由AD

∥BC，可知∠DAC=∠BCA，于是CB落在射線AD上.圖5因?yàn)椤皟蓷l直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)”，所以點(diǎn)B（AB與CB的交點(diǎn)）與點(diǎn)D（CD與AD的交點(diǎn)）重合.同理，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合.連接BD，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，由“成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且被對(duì)稱(chēng)中心平分”，知BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且被點(diǎn)O平分（如圖5）.這樣，就通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)變化，發(fā)現(xiàn)：平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱(chēng)中心.OB(D)A(C)D

(B)C

(A)拓展、延伸：在證實(shí)平行四邊形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形的過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)平行四邊形還有哪些性質(zhì)？（平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分）“案例8”中，

編寫(xiě)的思路是：通過(guò)合情推理和圖形的運(yùn)動(dòng)變化，確認(rèn)平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，并把它看成一個(gè)剛體，通過(guò)圍繞中心（兩條對(duì)角線的交點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)1800

，去認(rèn)識(shí)、理解平行四邊形的其他性質(zhì).讓圖形“動(dòng)”起來(lái)，充分利用圖形的運(yùn)動(dòng)變化去認(rèn)識(shí)、理解幾何圖形，是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的好方法.

應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題.幾何圖形的直觀，為運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法研究圖形性質(zhì)提供了有利條件.通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)，探索發(fā)現(xiàn)并確認(rèn)圖形的一些性質(zhì)，有利于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的

，并從中體會(huì)研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法.《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)研究圖形的方法應(yīng)是多樣的，傳統(tǒng)的“

證”是研究圖形的

法，但不是唯一的方法.研究圖的方法是否科學(xué)，其標(biāo)準(zhǔn)是：（1）有出發(fā)點(diǎn)（從基本事實(shí)、定義及已證明了的定理出發(fā)）；（2）說(shuō)理的過(guò)程是有根有據(jù)的；（3）得出的結(jié)論是經(jīng)得起檢驗(yàn)的.較3.運(yùn)用“對(duì)稱(chēng)性”的語(yǔ)言加以表述，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比.教學(xué)時(shí)，一方面要重視運(yùn)用“對(duì)稱(chēng)性”的語(yǔ)言（圖形運(yùn)動(dòng)的方法）證實(shí)圖形的性質(zhì)，另一方面又不應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格地運(yùn)用“對(duì)稱(chēng)性”的語(yǔ)言寫(xiě)出推理過(guò)程（重在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“證明的多樣性”，初步學(xué)會(huì)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法研究圖形）.基于此，建議：教學(xué)中，必要時(shí)，可像“對(duì)稱(chēng)圖形—圓”那樣，用合情推理的方法進(jìn)行探索，并提出猜想—用圖形運(yùn)動(dòng)變化的方法加以確認(rèn)—用演繹推理加以證明.案例9

P60（

：你還可用什么方法證明上述定理？關(guān)于“推理能力”關(guān)于“推理教學(xué)”的基本結(jié)構(gòu).推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中，經(jīng)常使用的思維方式.具有一定的推理能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)課程和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要目標(biāo).推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中.關(guān)于“推理教學(xué)”的基本結(jié)構(gòu)是：（1）在七（上）第6章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）”中，在定義“線段的中點(diǎn)”、“角平分線”概念后，在探索、確認(rèn)“余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角”的性質(zhì)后，用“因?yàn)椤?，所以……”的句式進(jìn)行簡(jiǎn)單推理（這一階段，只出“因”和“果”，引導(dǎo)學(xué)生弄清因與果的關(guān)系）.在七（下）第7章“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”中，在探索發(fā)現(xiàn)直線平行的條件、平行線的性質(zhì)后，用“因?yàn)椤?，所以……，理由是……”的句式進(jìn)行推理（此時(shí)出三段論證的3個(gè)要素，但沒(méi)有形式化地表達(dá)推理過(guò)程）.在七（下）第12章“證明”中，正式給出形式化的三段論證“∵……，∴……（……）”，并以“三角形內(nèi)角和定理”為范例，完整地呈現(xiàn)命題證明的全過(guò)程.對(duì)“推理教學(xué)”給出了3個(gè)層次，目的是對(duì)“推理教學(xué)”應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生弄清“因”與“果”，弄清“由因得果的理由”，而不是急于進(jìn)行形式化的“證”，因?yàn)檫^(guò)早地進(jìn)行形式化的訓(xùn)練，反而會(huì)削弱學(xué)生“有條理的思考與表達(dá)”的能力.

關(guān)于推理論證的層次性.《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：推理能力的形成不同于知識(shí)和技能的掌握，需要一個(gè)長(zhǎng)期、緩慢的過(guò)程，要遵循小步子、多層次的原則，由易到難、由淺入深地逐步發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力案例10

“八（上）第1章

全等三角形”是學(xué)生學(xué)習(xí)采綜合法證明的關(guān)鍵內(nèi)容，為使所有學(xué)生能“過(guò)關(guān)”，用如下方法呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容：直接用所給條件加以判定，如P14中的例1.適當(dāng)準(zhǔn)備條件，如P15、16中的例2、例3.“準(zhǔn)備條件”是對(duì)“直接用條件”的一次提升，涉及到對(duì)基本概念的理解（如線段的中點(diǎn)、角平分線、余角和補(bǔ)角、平行和垂直等）以及圖形的一些性質(zhì)（如平行線的性質(zhì)等）；涉及到從較復(fù)雜的圖形中抽象出簡(jiǎn)單圖形.既要準(zhǔn)備條件，又要對(duì)結(jié)論進(jìn)行延伸，如P18中的例4、P20中的例5.“例5”需要綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和三角形全等的條件加以證明，并通過(guò)對(duì)結(jié)論的延伸，引導(dǎo)學(xué)生探索“全等三角形的對(duì)應(yīng)線段相等”的證明過(guò)程.安排了例7（P24）.目的是：給出添加“輔助線”的方法；為運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)變化的思想得到“HL”做準(zhǔn)備.在上述過(guò)程的基礎(chǔ)上，強(qiáng)化證明的綜合性，如P28中的例8（涉及2次證明三角形全等）.例8的教學(xué)關(guān)系到“圖形與幾何”教學(xué)是否能成功，學(xué)生對(duì)“推理論證”的學(xué)習(xí)是否能“過(guò)關(guān)”.“八（上）第1章

全等三角形”證明的層次性表現(xiàn)為：（1）判定兩個(gè)三角形全等，直接可用的條件由多到少；（2）論證由一次全等過(guò)渡到兩次全等；（3）圖形由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；（4）論證的結(jié)論由“全等”遞進(jìn)到邊或角相等，兩線平行或垂直；（5）從不需要添加輔助線過(guò)渡到需要添加常見(jiàn)的輔助線；（6）從命題以“圖形和符號(hào)語(yǔ)言”的形式給出到以“文字語(yǔ)言”的形式給出等.這樣的“推理論證”層次分明，坡度平緩，有助于學(xué)生拾級(jí)而上逐步學(xué)會(huì)綜合法證明.如果脫離學(xué)生實(shí)際，任意拔高，將使部分學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的.八（上）“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，除了“全等三角形”外，還包括“軸對(duì)稱(chēng)圖形”，主要研究軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，線段、角的對(duì)稱(chēng)性，等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性.對(duì)“等腰三角形”，

除了探索并證明它的性質(zhì)（側(cè)重于用“圖形的運(yùn)動(dòng)變化”加以確認(rèn)）和判定方法（側(cè)重于運(yùn)用演繹推理加以證明）外，

設(shè)計(jì)了“思考與表達(dá)”欄目注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析證明思路、學(xué)會(huì)有條理的表達(dá)（怎樣想？怎樣寫(xiě)？）案例11

P56中的例3、P61中的例1.（“怎么想”，體現(xiàn)“由未知想須知”的思路，滲透分析的思考方法；“怎么寫(xiě)”幫助學(xué)生用綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，以利于逐步發(fā)展學(xué)生合乎邏輯的思考能力，并掌握綜合法證明的格式.）注重合情推理與演繹推理的融合.推理，是從一個(gè)或幾個(gè)命題經(jīng)過(guò)推斷得出一個(gè)新命題的過(guò)程.其中，合情推理（如分類(lèi)、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、猜想等）是從范圍較小題得到范圍較大題，是“由特殊到一般”的推理，它常常是得到新結(jié)論的方法和途徑，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力（如，探索多邊形內(nèi)角和公式）.演繹推理是從范圍較大題得到范圍較小題，是“由一般到特殊”的推理（、、結(jié)論）.很早就注意到“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面……用歐幾里得方式提出來(lái)的數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)卻是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué).”因此，與之相適應(yīng)，應(yīng)有兩類(lèi)推理：用合情推理獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；用演繹推理驗(yàn)證猜想，證明結(jié)論，“兩種推理功能不同，相輔相成.”教學(xué)中，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“探索結(jié)論、提出猜想”的活動(dòng)過(guò)程，切實(shí)克服推理教學(xué)中重演繹，輕歸納、類(lèi)比，只滿(mǎn)足于證明現(xiàn)成結(jié)論的現(xiàn)象.教學(xué)不僅僅是“告訴”，更重要的在于如何組織、引導(dǎo)學(xué)生盡可能地重新經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，并在這個(gè)過(guò)程中體驗(yàn)和領(lǐng)悟，探索和發(fā)現(xiàn)，把握和發(fā)展.常講，要把教學(xué)作為過(guò)程來(lái)進(jìn)行，而不是作為結(jié)果來(lái)進(jìn)行.

“創(chuàng)設(shè)情境”和“自主探索”是展開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和應(yīng)用過(guò)程，課程目標(biāo)的主要教學(xué)方式.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合情推理探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論是

版初中數(shù)學(xué)

的一個(gè)特點(diǎn).在八（上）“圖形與幾何”

中，創(chuàng)設(shè)了一些能體現(xiàn)通俗性、切實(shí)性、適度性（學(xué)生容易接受）的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生較充分地展開(kāi)合情推理的過(guò)程.案例12

P13（交流、作圖）；P17（

、作圖）.（“案例12”創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，較好地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合情推理探索出關(guān)于三角形全等的兩個(gè)基本事實(shí)）案例13

P65（操作、思考）.（“案例13”創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境，既引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合情推理，探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又發(fā)現(xiàn)了輔助線添加的“源”）二、“統(tǒng)計(jì)與概率”部分●對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”課程內(nèi)容的安排“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容在新課程中得到較大重視，成為與“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、

“綜合與實(shí)踐”并列的內(nèi)容.對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容，

共分為5章.其中，八年級(jí)（下冊(cè)）為：數(shù)據(jù)的收集、整理、描述（主要學(xué)習(xí)通過(guò)普查和抽樣

收集數(shù)據(jù)，利用扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直整理、描述數(shù)據(jù)）；認(rèn)識(shí)概率（主要研究事件發(fā)生的可能性大小，并通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)概率）.九年級(jí)（上冊(cè)）為：數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度（主要學(xué)

均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的概念，并利用它們分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度；等可能條件下的概率（主要學(xué)習(xí)等可能條件下的概率，并通過(guò)列表、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法計(jì)算這類(lèi)事件發(fā)生的概率）.九年級(jí)（下冊(cè)）為：統(tǒng)計(jì)與概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用（主要是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、概率知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題）.“統(tǒng)計(jì)、概率”與“數(shù)學(xué)”在許多方面是不一樣的，是“合而不同”的，相對(duì)于“數(shù)學(xué)”的科學(xué)性來(lái)說(shuō)，“統(tǒng)計(jì)與概率”既是科學(xué)又是藝術(shù).“數(shù)學(xué)”歷來(lái)被認(rèn)為是確定性的科學(xué)，這意味著從同樣的條件出發(fā)就應(yīng)當(dāng)?shù)玫酵瑯拥慕Y(jié)論，如果得到的結(jié)

論不一樣，就會(huì)被認(rèn)為其中至少有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的.但是，在日常生活中，存在著大量的隨機(jī)現(xiàn)象（在自然界

和人類(lèi)社會(huì)，嚴(yán)格確定的現(xiàn)象十分有限，不確定現(xiàn)象卻

是大量存在的），

事先無(wú)法確定它是否一定會(huì)發(fā)生.“統(tǒng)計(jì)與概率”從不同的角度研究、刻畫(huà)這些隨機(jī)現(xiàn)象，為人們合理、理性地制定決策提供依據(jù).一般地，“統(tǒng)計(jì)”側(cè)重于用數(shù)據(jù)來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象；“概率”側(cè)重于建立理論模型來(lái)刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象.案例1

統(tǒng)計(jì)與概率都是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，其是數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息；通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律）.有一位預(yù)報(bào)員這樣預(yù)報(bào)天氣：明天下雨的概率是50%，帶不帶傘你自己決定.所有人都認(rèn)為這則預(yù)報(bào)沒(méi)有傳遞任何信息，等于沒(méi)說(shuō)（事實(shí)上，這位預(yù)報(bào)員在100次這樣的預(yù)報(bào)中，如果下雨與不下雨約各占一半，那么他的預(yù)報(bào)就十分準(zhǔn)確了）.假如換一個(gè)場(chǎng)景：一條河邊掛著一塊牌子，寫(xiě)著在這條河里游泳有50%的人會(huì)被鰐魚(yú)，你還敢在這條河里游泳嗎？你認(rèn)為這里有沒(méi)有向人們提供信息？（事實(shí)上，50%的概率是非常高的）“八（下）第7章

數(shù)據(jù)的收集、整理、描述”分析引導(dǎo)學(xué)生感悟統(tǒng)計(jì)思想.在統(tǒng)計(jì)里，通常是從總體中抽取樣本，并對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述、分析，目的是獲得樣本的某種特性，從而根據(jù)樣本特性去估計(jì)總體的相應(yīng)特性.教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性：不同的抽樣有可能得到不同的結(jié)果（結(jié)論的“不確定性”）；對(duì)于同樣的事件每次收集到的數(shù)據(jù)可能會(huì)是不同的，但只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教學(xué)時(shí)，要通過(guò)具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“統(tǒng)計(jì)學(xué)”與“數(shù)學(xué)”的主要區(qū)別有所體會(huì).立論基礎(chǔ)不同：從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系角度考慮，“數(shù)學(xué)”是建立在概念和符號(hào)基礎(chǔ)上的；統(tǒng)計(jì)學(xué)是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的（雖然概念、符號(hào)對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展也是重要的，但其本質(zhì)是通過(guò)數(shù)據(jù)進(jìn)行推理的）.推理方法不同：“數(shù)學(xué)”推理的依賴(lài)是公理和假設(shè)，推理的方法本質(zhì)上是演繹法；統(tǒng)計(jì)學(xué)推理的依賴(lài)是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，推理過(guò)程在本質(zhì)上是歸納法.判斷原則不同：“數(shù)學(xué)”在本質(zhì)上是確定的，從同樣的條件出發(fā)應(yīng)得到同樣的結(jié)果.因此，“數(shù)學(xué)”對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是“對(duì)、錯(cuò)”；統(tǒng)計(jì)學(xué)是通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)推理的，即使是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷結(jié)果.因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是“好、壞”，即允許“仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智”.“八（下）第8章對(duì)“概率初步”，認(rèn)識(shí)概率”分析將其分為2章：認(rèn)識(shí)概率和等可能條件下的概率.前者為利用“推斷性數(shù)據(jù)分析”估計(jì)概率，后者為計(jì)算概率.利用“推斷性數(shù)據(jù)分析”估計(jì)概率，與計(jì)算概率是完全不一樣的：“估計(jì)概率”只能依據(jù)數(shù)據(jù)，參照背景給出估計(jì)方法；“計(jì)算概率”需要對(duì)背景了如指掌（試驗(yàn)結(jié)果的有限性和等可能性），并給出定義和假設(shè).（這就是“概率初步”知識(shí)分成2章──“認(rèn)識(shí)概率”和“等可能條件下的概率”組織教學(xué)的原因）.案例2（某地試題）體育課上，甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，記作第1次傳球，經(jīng)過(guò)3次傳球后，球仍回到甲手中的概率有多大？解：用“樹(shù)狀圖”列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：∴P（3次傳球后球仍回到甲手中）=2/8=1/4.第二次第一次丙 第三次甲丙乙乙甲乙甲丙丙乙甲丙乙甲點(diǎn)評(píng)：利用古典概型計(jì)算概率的前提條件是“試驗(yàn)結(jié)果具有有限性和等可能性”（這需要對(duì)背景了如指掌；如果一些試驗(yàn)不具有有限性和等可能性，這類(lèi)隨機(jī)試驗(yàn)就不適用于概率的古典定義）.試題中，“甲、乙、丙三人間的傳球”不是等可能的（傳球中，有人為的因素），因此試題及其解答是錯(cuò)誤的.對(duì)本題，命題時(shí)至少應(yīng)補(bǔ)充條件：如果假設(shè)甲、乙、丙三人間的傳球是等可能的，那么經(jīng)過(guò)3次傳球后，球仍回到甲手中的概率有多大？需關(guān)注的問(wèn)題：八（下）“認(rèn)識(shí)概率”閱讀材料─概率小故事.

概率主要研究不確定現(xiàn)象，它是隨著保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但引起數(shù)學(xué)家思考概率問(wèn)題的卻是一個(gè)

的輸贏問(wèn)題.，17世紀(jì)中葉，法國(guó)

公子梅雷參加

，和賭友各押賭注32枚金幣.雙方約定：拋擲1枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上，梅雷得