人教九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納1/33人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納新人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程可否為一元二次方程，先看它可否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．若是能整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程．（4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a≠0）21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是經(jīng)過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開(kāi)平方法：用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).直接開(kāi)平方法就是平方的逆運(yùn)算.平常用根號(hào)表示其運(yùn)算結(jié)果.2、配方法經(jīng)過(guò)配成完滿平方式的方法，獲取一元二次方程的根的方法。這類解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依照是完滿平方公式。1.轉(zhuǎn)變：將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系數(shù)化1：將二次項(xiàng)系數(shù)化為13.移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè)4.配方：等號(hào)左右兩邊同時(shí)加前一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方5.變形：將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完滿平方形式6.開(kāi)方：左右同時(shí)開(kāi)平方7.求解：整理即可獲取原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，爾后計(jì)算鑒識(shí)式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)即可獲取方程的根。因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，獲取兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所獲取的根，就是原方程的兩個(gè)根。這類解一元二次方程的方法叫做因式分解法。實(shí)責(zé)問(wèn)題與一元二次方程列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的連續(xù)和發(fā)展從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是特別相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問(wèn)題大部分都可經(jīng)過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決．若是未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，因此能夠用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增加的平均增加率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等．第二十二章二次函數(shù)22.1二次函數(shù)及其圖像二次函數(shù)（quadraticfunction）是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)能夠表示為y=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。一般的，自變量x和因變量y之間存在以下關(guān)系：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，極點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；極點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，極點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）對(duì)稱軸為x=h，極點(diǎn)的地址特點(diǎn)和圖像的張口方向與函數(shù)ｙ＝ax２的圖像同樣，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成極點(diǎn)式；交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]；重要見(jiàn)解：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的張口方向，a>0時(shí)，張口方向向上，a<0時(shí)，張口方向向下。a的絕對(duì)值還可以夠決定張口大小,a的絕對(duì)值越大張口就越小,a的絕對(duì)值越小張口就越大。在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的平方的圖像，能夠看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線。y不同樣的二次函數(shù)圖像若是所畫(huà)圖形正確無(wú)誤，那么二次函數(shù)將是由一般式平移獲取的。軸對(duì)稱x1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的極點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）極點(diǎn)2.拋物線有一個(gè)極點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，4ac-b2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。張口3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的張口方向和大小。當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上張口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下張口。|a|越大，則拋物線的張口越小。決定對(duì)稱軸地址的因素4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的地址。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；由于若對(duì)稱軸在左邊則對(duì)稱軸小于0，也就是-b/2a<0,因此b/2a要大于0，因此a、b要同號(hào)當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。由于對(duì)稱軸在右側(cè)則對(duì)稱軸要大于0，也就是-b/2a>0,因此b/2a要小于0，因此a、b要異號(hào)可簡(jiǎn)單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。事實(shí)上，b有其自己的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？山?jīng)過(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)獲取。決定拋物線與y軸交點(diǎn)的因素5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c）拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)Δ=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處獲取最小值,當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處獲取最大值當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，7.特別值的形式①當(dāng)x=１時(shí)y=a+b+c②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c用函數(shù)見(jiàn)解看一元二次方程21.若是拋物線yaxbxc與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)的值是0，因此xx020的一個(gè)根。

就是方程axbxc2.二次函數(shù)的圖象與x軸的地址關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。實(shí)責(zé)問(wèn)題與二次函數(shù)在平常生活、生產(chǎn)和科研中，求使資料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸納為求二次函數(shù)的最大值或最小值。第二十三章旋轉(zhuǎn)23.1圖形的旋轉(zhuǎn)1.圖形的旋轉(zhuǎn)（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大體有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類則是由某一基本圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心能夠在圖形上也可以在圖形外。（4）會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。2.旋轉(zhuǎn)的基本特點(diǎn)：（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變。3.幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）在理解旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)時(shí)，第一要比較圖形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角。（2）旋轉(zhuǎn)的角度是對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)?yīng)極點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。（3）旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中地址沒(méi)有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直均分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。23.2中心對(duì)稱中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，若是它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所均分。②關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形是全等形。中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，若是旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。23.3課題學(xué)習(xí)圖案設(shè)計(jì)靈便運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．圖案設(shè)計(jì)就是經(jīng)過(guò)圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱或幾種的組合)把基本圖形組成擁有必然意義的新圖形，圖案設(shè)計(jì)時(shí)不但要看可否正確使用了圖形變換，還要看圖案可否很好的表現(xiàn)了設(shè)計(jì)妄圖．第二十四章圓24.1圓定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。（4）垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。注：圓心一般用字母O表示直徑：經(jīng)過(guò)圓心，而且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的地址。圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)量不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母π表示。計(jì)算時(shí)，平常取它的近似值，π≈3.14。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，若是兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，若是兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。周長(zhǎng)計(jì)算公式1.、已知直徑：C=πd2、已知半徑：C=2πr3、已知周長(zhǎng)：π4、圓周長(zhǎng)的一半:1\2周長(zhǎng)(曲線)5、半圓的長(zhǎng)：1\2周長(zhǎng)+直徑面積計(jì)算公式：1、已知半徑：S=πr平方2、已知直徑：S=π（d\2）平方3、已知周長(zhǎng)：S=π(c\2π)平方24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的地址關(guān)系1.點(diǎn)和圓的地址關(guān)系①點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑②點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑③點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑2.過(guò)三點(diǎn)的圓不在同素來(lái)線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。3.外接圓和外心經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)極點(diǎn)能夠做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條邊垂直均分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。4.直線和圓的地址關(guān)系訂交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓訂交，這條直線叫做圓的割線。相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。5.直線和圓地址關(guān)系的性質(zhì)和判斷若是⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么①直線l和⊙O訂交dr；②直線l和⊙O相切dr；③直線l和⊙O相離dr。圓和圓定義：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外面時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外面，叫做兩個(gè)圓的外切。兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的訂交。兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。原理：圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：兩圓外離＜＝＞d＞R+r兩圓外切＜＝＞d=R+r兩圓訂交＜＝＞R-r<d<R+r(R>＝r)兩圓內(nèi)切＜＝＞d=R-r(R>r)兩圓內(nèi)含＜＝＞d<R-r(R>r)24.3正多邊形和圓1、正多邊形的見(jiàn)解：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n≥3)均分(能夠借助量角器)，依次連接各均分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)見(jiàn)解：(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)稱軸有n條。(3)邊數(shù)同樣的正多邊形相似。重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。知識(shí)解說(shuō)1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。比方：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。若是一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。再如：矩形不是正多邊形，由于它只擁有各角相等，而各邊不用然相等；菱形不是正多邊形，由于，它只擁有各邊相等，而各角不用然相等。2、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有親近關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連接分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6均分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對(duì)的弧能夠發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，因此，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。因此，將一個(gè)圓6均分，依次連接各分點(diǎn)所獲取的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。(1)第一要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)見(jiàn)解：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長(zhǎng)an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；若是再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD??依照以上解說(shuō)，我們來(lái)解析RtΔAOM的基本元素：斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；一條直角邊AM——正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AM＝an；銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；銳角∠OAM——正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；能夠看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反響了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來(lái)均分圓。由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即均分極點(diǎn)在圓心的周角)能夠均分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)即可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來(lái)均分圓。關(guān)于一些特其他正n邊形，還可以夠用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑即可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次均分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的均分線交于E)即可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，因此，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫(huà)弧與⊙O訂交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6均分點(diǎn)。顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3均分點(diǎn)。同樣，在圖(3)中均分每條邊所對(duì)的弧，即可把⊙O12均分??。5、正多邊形的對(duì)稱性。正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心，若是正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。如：正三角形、正方形。24.4弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式由于360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C＝2R，因此1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，比方，圓的半徑R＝10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都能夠求出第三個(gè)量。知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積以下列圖，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，由于圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，因此圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。又由于扇形的弧長(zhǎng)，扇形面積，因此又獲取扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的?。ò踊　?yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)＝弦長(zhǎng)＋弧長(zhǎng)（3）弓形的面積以下列圖，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中能夠看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以獲取弓形AmB的面積。當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與差異（2）扇形與弓形的聯(lián)系與差異圖示面積知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積圓錐的側(cè)面張開(kāi)圖是一個(gè)扇形，以下列圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，重點(diǎn)是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積張開(kāi)圖是矩形，以下列圖，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積知識(shí)小結(jié)：圓錐與圓柱的比較名稱圓錐圓柱圖形圖形的形成過(guò)由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)獲取的，如矩形程獲取的，如Rt△SOA繞直線ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。SO旋轉(zhuǎn)一周。圖形的組成一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面?zhèn)让鎻堥_(kāi)圖的扇形矩形特點(diǎn)面積計(jì)算方法第二十五章概率初步25.1隨機(jī)事件與概率1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間擁有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：(1)試驗(yàn)?zāi)軌蛟谕瑯拥臈l件下重復(fù)地進(jìn)行；·(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不僅一個(gè)，但早先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能夠確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的會(huì)集為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用e表示，e稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作{e}．2．隨機(jī)事件在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻表現(xiàn)某種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)．平常把必然事件(記作)與不能夠能事件(記作)看作特其他隨機(jī)事件．3．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了nA次，則比值nA／n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作f(A)n，即f(A)nnAn.(2)概率的統(tǒng)計(jì)定義在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率擁有牢固性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率f(A)在一個(gè)n牢固的值p(0<p<1)周邊搖動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的牢固值p為概率，即P(A)p．(3)古典概率的定義擁有以下兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：(i)試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不如記作{e1,e2,L,e};n(ii)在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)ei(i1,2,L,n）出現(xiàn)的概率同樣，即P({e})P({e})LP({en})12．在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為P(A)A中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)nA中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n．(4)幾何概率的定義若是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)地域(能夠是直線上的區(qū)間、平面或空間中的地域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)擁有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為P(A)A的長(zhǎng)度（或面積、體積）樣本空間的的長(zhǎng)度（或面積、體積）·25.2用列舉法求概率1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，而且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，能夠用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比解析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法．2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)解析求解的方法．但有時(shí)一一列舉出的情況數(shù)量很大，此時(shí)需要考慮如何去消除不合理的情況，盡可能減少列舉的問(wèn)題可能解的數(shù)量.3、利用列表法或樹(shù)形圖法求概率的重點(diǎn)是：①注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必同樣；②其中某一事件發(fā)生的概率某一事件發(fā)生的次數(shù)各種情況出現(xiàn)的次數(shù)；③在觀察各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能夠重復(fù)也不能夠遺漏；4、用列表法或樹(shù)形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它平常碰到實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不用然一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，頻率牢固于概率，但其實(shí)不完滿等于概率。25.3用頻率估計(jì)概率在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該牢固于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有差異又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不用然同樣，是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有親近的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越牢固于概率。在詳盡操作過(guò)程中，大家經(jīng)常發(fā)現(xiàn)：誠(chéng)然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸牢固于概率，但可能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著必然的偏差。應(yīng)該注意：這類偏差的存在是經(jīng)常的，而且是正常的。其他，由于碰到某些因素的影響，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)獲取的估計(jì)結(jié)果經(jīng)常不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地對(duì)待這樣的結(jié)果并試一試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的解說(shuō)。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)見(jiàn)解的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們經(jīng)常經(jīng)過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，獲取的估計(jì)結(jié)果就越可靠。第二十六章反比率函數(shù)26.1知識(shí)點(diǎn)1反比率函數(shù)的定義一般地，形如ky（k為常數(shù)，k0）的函數(shù)稱為反比率函數(shù)，它能夠從以下幾個(gè)方面來(lái)理解：x⑴x是自變量，y是x的反比率函數(shù)；⑵自變量x的取值范圍是x0的一的確數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是y0；⑶比率系數(shù)k0是反比率函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分；⑷反比率函數(shù)有三種表達(dá)式：①kyk0x②1ykx（k0），③xyk（定值）（k0）；⑸函數(shù)ky（k0）與xkx（k0）是等價(jià)的，因此當(dāng)y是x的反比率函數(shù)時(shí)，x也是y的反比率函y數(shù)。（k為常數(shù)，k0）是反比率函數(shù)的一部分，當(dāng)k=0時(shí)，ky，就不是反比率函數(shù)了，由于反比率函數(shù)xykx（k0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比率函數(shù)的表達(dá)式。26.2知識(shí)點(diǎn)2用待定系數(shù)法求反比率函數(shù)的解析式由于反比率函數(shù)ky（k0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此，只要一組對(duì)應(yīng)值，就可以求出k的值，從而x確定反比率函數(shù)的表達(dá)式。26.3知識(shí)點(diǎn)3反比率函數(shù)的圖像及畫(huà)法反比率函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點(diǎn)對(duì)稱，由于反比率函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量x0，函數(shù)值y0，因此它的圖像與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)量湊近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比率的畫(huà)法分三個(gè)步驟：⑴列表；⑵描點(diǎn)；⑶連線。再作反比率函數(shù)的圖像時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①列表時(shí)采用的數(shù)值宜對(duì)稱采用；②列表時(shí)采用的數(shù)值越多，畫(huà)的圖像越精確；③連線時(shí)，必定依照自變量大小從左至右（或從右至左）用圓滑的曲線連接，切忌畫(huà)成折線；④畫(huà)圖像時(shí)，它的兩個(gè)分支應(yīng)所有畫(huà)出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸訂交。知識(shí)點(diǎn)4反比率函數(shù)的性質(zhì)☆關(guān)于反比率函數(shù)的性質(zhì)，主要研究它的圖像的地址及函數(shù)值的增減情況，以下表：反k比率函y（k0）數(shù)xk的k0k0符號(hào)圖像①x的取值范圍是①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0y0性質(zhì)②當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在②當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、第三象限，在每第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。而增大。注意：描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必定指出“在每個(gè)象限內(nèi)??”否則，抽象地說(shuō)，當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小“，就會(huì)與事實(shí)不符的矛盾。反比率函數(shù)圖像的地址和函數(shù)的增減性，是有反比率函數(shù)系數(shù)k的符號(hào)決定的，反過(guò)來(lái)，由反比率函數(shù)圖像（雙曲線）的地址和函數(shù)的增減性，也能夠推斷出k的符號(hào)。如ky在第一、第三象限，則可知k0。x☆反比率函數(shù)ky（k0）中比率系數(shù)k的絕對(duì)值k的幾何意義。x以下列圖，過(guò)雙曲線上任一點(diǎn)P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，E、F分別為垂足，則kxyxyPFPES矩形OEPF☆反比率函數(shù)kkky（k0）中，k越大，雙曲線y越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)；k越小，雙曲線y越xxx湊近坐標(biāo)原點(diǎn)?！铍p曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)；雙曲線又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線y=x和直線y=－x。第二十七章相似27．1圖形的相似歸納若是兩個(gè)圖形形狀同樣,但大小不用然相等,那么這兩個(gè)圖形相似。（相似的符號(hào)：∽）判斷若是兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似比相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。性質(zhì)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。相似多邊形的面積比等于相似比的平方。27．2相似三角形判斷1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等2.兩邊對(duì)應(yīng)成比率,且?jiàn)A角相等3.三邊對(duì)應(yīng)成比率4.平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線訂交，所組成的三角形與原三角形相似。例題∵∠A=∠A';∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'性質(zhì)1.相似三角形的所有對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角均分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方27．3位似若是兩個(gè)圖形不但是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。性質(zhì):位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同素來(lái)線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線。位似能夠?qū)⒁粋€(gè)圖形放大或減小。位似圖形的中心能夠在任意的一點(diǎn)，但是位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。依照一個(gè)位似中心能夠作兩個(gè)關(guān)于已知圖形必然位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱。注意1、位似是一種擁有地址關(guān)系的相似，因此兩個(gè)圖形是位似圖形，必然是相似圖形，而相似圖形不用然是位似圖形；2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形可否位似；5、平行于三角形一邊的直線和其他兩邊訂交，所組成的三角形與原三角形位似。第二十八章銳角三角函數(shù)28．1銳角三角函數(shù)銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,28．2解直角三角形勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比方：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。直角三角形的特點(diǎn)A⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；⑵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；⑶直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；D⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a2+b2=c2；CB⑸勾股定理的逆定理：若是三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a2+b2=c2，則∠C＝90°；⑹射影定理：AC2=ADgAB,BC2=BDgAB,CD2=DAgDB．A銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為