2019人教B版數(shù)學(xué)選修45講義第2章22排序不等式及

2019人教B版數(shù)學(xué)選修45講義：第2章2.2排序不等式及答案2019人教B版數(shù)學(xué)選修45講義：第2章2.2排序不等式及答案9/9薄PAGE9袀螁薁螞薇螄蚄莆芁聿2019人教B版數(shù)學(xué)選修45講義：第2章2.2排序不等式及答案排序不等式及答案

排序不等式

根源理，會(huì)用排序不等式解決的不等式．

教材整理1序和、亂序和、反序和的看法

a1≤a2≤?≤an，b1≤b2≤?≤bn兩數(shù)，c1，c2，?，cnb1，b2，?，

bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋?＋anbn兩個(gè)數(shù)的序和；稱a1bn＋a2bn－

1＋?＋anb1兩個(gè)數(shù)的反序和；稱a1c1＋a2c2＋?＋ancn兩個(gè)數(shù)的

亂序和．

教材整理2定理(排序原理，又稱排序不等式)

a1≤a2≤?≤an，b1≤b2≤?≤bn兩數(shù)，c1，c2，?，cnb1，b2，?，

bn的任一排列，有a1bn＋a2bn－1＋?＋anb1≤a1c1＋a2c2＋?＋ancn≤a1b1＋a2b2

＋?＋anbn，

等號(hào)建立(反序和等于序和)?a1＝a2＝?＝an或b1＝b2＝?＝bn，可作：

反序和≤亂序和≤序和．

已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，M與N的大小關(guān)系是( )

A．M>NB．M≥N

C．M<ND．M≤N

[解析]由排序不等式，知M≥N.

[答案]B

用排序不等式明不等式(字母大小已定)

【例1】已知a，b，c正數(shù)，a≥b≥c，求：

111(1)bc≥ca≥ab；

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a2b2c2111222222222[優(yōu)秀點(diǎn)]由于目條件中已明確a≥b≥c，故能夠直接構(gòu)造兩個(gè)數(shù)．11[自主解答](1)∵a≥b>0，于是a≤b，1又c>0，∴c>0，

1從而bc≥ca.

1同理，∵b≥c>0，于是b≤c，

1a>0，∴a>0，于是得ca≥ab，1

111從而bc≥ca≥ab.111(2)由(1)知bc≥ca≥ab>0且a≥b≥c>0，111222∴b2c2≥c2a2≥a2b2，a≥b≥c.由排序不等式，序和≥亂序和得a2b2c2b2c2a2111111b2c2＋c2a2＋a2b2≥b2c2＋c2a2＋a2b2＝c2＋a2＋b2＝a2＋b2＋c2，a2b2c2111故b2c2＋c2a2＋a2b2≥a2＋b2＋c2.

利用排序不等式明不等式的技巧在于仔察、解析所要明的式子的

構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的有大小序的兩個(gè)數(shù)．

．已知22221≤a2≤?≤an，求：a1＋a2＋?＋an－1＋an≥a1＋a2＋?＋an10<aa2a3an.a1[明]∵0<a1≤a2≤?≤an，

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∴a12≤a22≤?≤an2，1≥1≥?≥1，a1a2an由排序不等式知，亂序和不小于反序和，得

2222aaan－1a212121＋?＋＋≥a1·＋a2·＋?＋an·.＋a3a1a2ana1a2an2222因此a1＋a2＋?＋an－1＋an≥a1＋a2＋?＋ana2a3ana1.字母大小序不定的不等式明22【例2】a，b，c正數(shù)，求：a＋b2c

＋b2＋c22a

2＋a2b3c3ca3＋2b≤bc＋ca＋ab.[優(yōu)秀點(diǎn)](1)目涉及到與排序有關(guān)的不等式；

(2)目中沒(méi)有出a，b，c的大小序．解答本不如先定a≤b≤c，再

利用排序不等式加以明．

[自主解答]不如0<a≤b≤c，a3≤b3≤c3，

1110<bc≤ca≤ab，

由排序原理：亂序和≤序和，得

313131313131a·＋b·＋c·≤a·＋b·＋c·，caabbcbccaaba3·1＋b3·1＋c3·1≤a3·1＋b3·1＋c3·1.abbccabccaab將上面兩式相加得222222a3＋b3＋c3a＋b＋b＋c＋c＋a≤2，cabbccaab將不等式兩除以2，

a2＋b2b2＋c2c2＋a2a3b3c3得2c＋2a＋2b≤bc＋ca＋ab.

在排序不等式的條件中需要限制各數(shù)的大小關(guān)系，于沒(méi)有出大小關(guān)系

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的情況：(1)要依照各字母在不等式中地位的對(duì)稱性，限制一種大小關(guān)系．(2)若給

出的字母不擁有對(duì)稱性，必然不能夠直接限制字母的大小序次，而要依照詳盡情境分類談?wù)摚?/p>

22222＋a2．本例的條件不變，試證明：a＋b＋b＋c＋c≥a＋b＋c.22c2a2b證明不如設(shè)≥≥，則222111212121[]a≥b≥c，c≥≥a，則a···亂abc>0bc＋ba＋cb(序和)

≥a2·1＋b2·1＋c2·1(反序和)，abc

同理，b2·1＋c2·1＋a2·1(亂序和)cab

a2·1＋b2·1＋c2·1(反序和)．a(chǎn)bc

a2＋b2b2＋c2c2＋a2兩式相加再除以2，可得a＋b＋c≤2c＋2a＋2b.利用排序不等式求最值【例3】設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求a＋b＋c的最小值．b＋cc＋aa＋b[優(yōu)秀點(diǎn)撥]b＋c由對(duì)稱性，不如設(shè)a≥b≥c>0，注意到＝1，想法構(gòu)造b＋cb＋c數(shù)組，利用排序不等式求解．[自主解答]不如設(shè)a≥b≥c，則a＋b≥a＋c≥b＋c，1≥1≥1，b＋cc＋aa＋b由排序不等式得，a＋b＋c≥b＋c＋a，b＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋ba＋b＋c≥c＋a＋b，b＋cc＋aa＋bb＋cc＋aa＋b

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上兩式相加，則a＋b＋c2b＋cc＋aa＋b≥3，即abc3.＋＋≥2b＋cc＋aa＋b當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，abc3＋＋a＋b取最小值.b＋cc＋a2

1．解析待求函數(shù)的構(gòu)造特點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)有序數(shù)組．

2．運(yùn)用排序原理求最值時(shí)，必然考據(jù)等號(hào)可否建立，若等號(hào)不行立，則取不

到最值．

x2y2z23．已知x，y，z是正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求t＝y(tǒng)＋z＋x的最小值．111[解]不如設(shè)x≥y≥z>0，則x2≥y2≥z2，z≥y≥x.由排序不等式，亂序和≥反序和．x2y2z2212121＋＋y＋z＋x≥x·＋y·＋·＝z.xyzzxyx2y2z2又x＋y＋z＝1，y＋z＋x≥1，1當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝3時(shí)，等號(hào)建立．

x2y2z2故t＝y(tǒng)＋z＋x的最小值為1.

排序不等式的特點(diǎn)

[研究問(wèn)題]

1．排序不等式的實(shí)質(zhì)含義是什么？

[提示]排序不等式的實(shí)質(zhì)含義是兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)

所得兩兩乘積之和最大；反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最?。⒁獾?/p>

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號(hào)建立的條件是其中一個(gè)序列為常數(shù)序列．

2．排序原理的思想是什么？

[提示]在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常涉及一些能夠比較大小的量，它們之間并沒(méi)

有起初規(guī)定大小序次，那么在解答問(wèn)題時(shí)，我們能夠利用排序原理的思想方法，

將它們按必然序次排列起來(lái)，既而利用不等關(guān)系來(lái)解題．因此，對(duì)于排序原理，

我們要記住的是辦理問(wèn)題的這種思想及方法，同時(shí)要學(xué)會(huì)善于利用這種比較經(jīng)典

的結(jié)論來(lái)辦理實(shí)責(zé)問(wèn)題．

【例4】若某網(wǎng)吧的3臺(tái)電腦同時(shí)出現(xiàn)了故障，對(duì)其維修分別需要45min,25

min和30min，每臺(tái)電腦耽誤1min，網(wǎng)吧就會(huì)損失元．在只能逐臺(tái)維修的條

件下，按怎樣的序次維修，才能使經(jīng)濟(jì)損失降到最??？

[優(yōu)秀點(diǎn)撥]這是一個(gè)實(shí)責(zé)問(wèn)題，需要轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題．要使經(jīng)濟(jì)損失降到最

小，即三臺(tái)電腦維修的時(shí)間與等待的總時(shí)間之和最小，又知道若維修第一臺(tái)所用

時(shí)間t1min時(shí)，三臺(tái)電腦等待維修的總時(shí)間為3t1min，依此類推，等待的總時(shí)間

為3t1＋2t2＋t3min，求其最小值即可．

[自主解答]設(shè)t1，t2，t3為25,30,45的任一排列，

由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，

因此依照維修時(shí)間由小到大的序次維修，可使經(jīng)濟(jì)損失降到最?。?/p>

1．第一，理解題意，實(shí)責(zé)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立合適模型．

2．三臺(tái)電腦的維修時(shí)間3t1＋2t2＋t3就是問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，從而轉(zhuǎn)變成求最小

值(運(yùn)用排序原理)．

4．有5個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭接水，若是水龍頭注滿這5個(gè)人的水桶需

要時(shí)間分別是4分鐘，8分鐘，6分鐘，10分鐘，5分鐘，那么怎樣安排這5個(gè)人

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接水的序次，才能使他們等待的總時(shí)間最少？

[解]依照排序不等式的反序和最小，可得最少時(shí)間為4×5＋5×4＋6×3＋

8×2＋10×1＝84(分鐘)．

即按注滿時(shí)間為4分鐘，5分鐘，6分鐘，8分鐘，10分鐘依次等水，等待的

總時(shí)間最少．

a11．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1，a2，a3的任一排列為a′1，a′2，a′3，則a′1

＋a2＋a3的最小值為()a′2a′3A．3B．6C．9D．12[解析]由題意，不如設(shè)1≥a2≥a3，則1≥1≥1，∴a1＋a2＋a3a>0a3a2>0′1′2′3a1aaa≥a＋a＋a＝3，123a1a2a3

當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝a3時(shí)等號(hào)建立．

[答案]A

2．設(shè)a，b，c為正數(shù)，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，則P與Q的大小

關(guān)系是( )

A．P>QB．P≥Q

C．P<QD．P≤Q

[解析]不如設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2≥c2>0.

由排序不等式得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.

P≥Q.

[答案]Ba＋b＋c3．銳角三角形中，設(shè)P＝，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，則P，Q的

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關(guān)系為( )

A．P≥QB．P＝Q

C．P≤QD．不能夠確定

[解析]不如設(shè)A≥B≥C，則a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，則由排序不等

式有

Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sin

BcosC＋2sinCcosA)

R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]

＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝a＋b＋c2＝P.[答案]C．若1，c2，c3是4,5,6的一個(gè)排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是________，4c最小值是________．[解析]由排序不等式，序次和最大，反序和最?。?/p>

∴最大值為1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值為1×6＋2×5＋3×4＝28.

[答案]

5．已知

[證明]

3228

a5b5c5c2a2b2a，b，c為正數(shù)，a≥b≥c，