離散型隨機(jī)變量及其分布律

關(guān)于離散型隨機(jī)變量及其分布律第1頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五定義1若隨機(jī)變量X的全部可能取值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義2第2頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為或其中第3頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)演示離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系第4頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五例

1

拋擲均勻硬幣,令求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解第5頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五第6頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為2.兩點(diǎn)分布1.退化分布若隨機(jī)變量X取常數(shù)值C的概率為1,即則稱X服從退化分布.第7頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五實(shí)例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反兩面情況.

隨機(jī)變量X服從(0-1)分布.其分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布.記為X~b(1,p)第8頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明第9頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五3.均勻分布如果隨機(jī)變量X的分布律為實(shí)例拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,則有均勻分布隨機(jī)數(shù)演示第10頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五4.二項(xiàng)分布若X的分布律為：稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為,其中q＝1－p二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布第11頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五二項(xiàng)分布的圖形圖形演示第12頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五例如在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從B(5,0.6)的二項(xiàng)分布.二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示第13頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五4.泊松分布

泊松資料圖形演示第14頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五泊松分布的圖形泊松分布隨機(jī)數(shù)演示第15頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.第16頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五地震

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中

,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水第17頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中

,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.第18頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五泊松定理證明第19頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五第20頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五第21頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出第22頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五

設(shè)1000輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解例2

有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò),問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?第23頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五6.幾何分布

若隨機(jī)變量X的分布律為則稱X服從幾何分布.實(shí)例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目X

是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布律.幾何分布隨機(jī)數(shù)演示圖形演示第24頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五所以X服從幾何分布.說(shuō)明

幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn)“首次成功”的概率模型.解第25頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五7.超幾何分布設(shè)X的分布律為

超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到.說(shuō)明圖形演示第26頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布均勻分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布三、小結(jié)超幾何分布退化分布幾種分布比較演示第27頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五第28頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五第29頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五例從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品中一件、一件地取產(chǎn)品.設(shè)每次抽取時(shí),所面對(duì)的各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等.在下列三種情形下,分別求出直到取得正品為止所需次數(shù)X的分布律.(1)每次取出的產(chǎn)品經(jīng)檢定后又放回這批產(chǎn)品中去在取下一件產(chǎn)品;(2)每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中;(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.備份題第30頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五故X的分布律為解(1)X所取的可能值是第31頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五(2)若每次取出的產(chǎn)品都不放回這批產(chǎn)品中時(shí),故X的分布律為X所取的可能值是第32頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五(3)每次取出一件產(chǎn)品后總以一件正品放回這批產(chǎn)品中.故X的分布律為X所取的可能值是第33頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五例為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理(我們也只考慮這種情況),問(wèn)至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問(wèn)題使得合理配備維修工人問(wèn)題第34頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五由泊松定理得故有即個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備8第35頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五例6(人壽保險(xiǎn)問(wèn)題)在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同年齡同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn),在每一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí),家屬可在公司里領(lǐng)取200元.問(wèn)

(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少?(2)保險(xiǎn)公司獲利不少于一萬(wàn)元的概率是多少?

保險(xiǎn)公司在1月1日的收入是

250012=30000元解設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則第36頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五保險(xiǎn)公司這一年里付出200X元.假定

200X30000,即X15人時(shí)公司虧本.于是,P{公司虧本}=P{X15}=1-P{X<14}由泊松定理得P{公司虧本}(2)獲利不少于一萬(wàn)元,即30000-200X10000即X10P{獲利不少于一萬(wàn)元}=P{X10}第37頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理.例2第38頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五解第39頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，14點(diǎn)51分，星期五圖示概率分布第40頁(yè)，共43頁(yè)，2022年，5月20日，1