高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題含答案-教師版

高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題含答案-教師版高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題含答案-教師版高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題含答案-教師版高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題含答案-教師版編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:抽象函數(shù)周期性的探究（教師版）抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力.而在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對于抽象函數(shù)周期性的判定和運用比較困難,所以特探究一下抽象函數(shù)的周期性問題.利用周期函數(shù)的周期求解函數(shù)問題是基本的方法.此類問題的解決應(yīng)注意到周期函數(shù)定義、緊扣函數(shù)圖象特征，尋找函數(shù)的周期，從而解決問題.以下給出幾個命題：命題1：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)+f(x)=1，則f(x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期.命題2：若a、b()是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).(1)函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=f(x+b)，則f(x)是周期函數(shù)，且|a-b|是它的一個周期.(2)函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是它的一個周期.(3)函數(shù)圖象關(guān)于點M(a,0)和點N(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且2|a-b|是它的一個周期.(4)函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點M(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且4|a-b|是它的一個周期.命題3：若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f(x)定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù).若f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期.我們也可以把命題3看成命題2的特例,命題3中函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性中已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.下面證明命題3（1），其他命題的證明基本類似.設(shè)條件A:定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù).條件B:f(x)關(guān)于x=a對稱條件C:f(x)是周期函數(shù),且2a是其一個周期.結(jié)論:已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.證明:①已知A、B→C（2001年全國高考第22題第二問）∵f(x)是R上的偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)又∵f(x)關(guān)于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函數(shù),且2a是它的一個周期②已知A、C→B∵定義在R上的函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)關(guān)于x=a對稱③已知C、B→A∵f(x)關(guān)于x=a對稱∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一個周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函數(shù)由命題3(2)，我們還可以得到結(jié)論:f(x)是周期為T的奇函數(shù)，則f()=0基于上述命題闡述，可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)具有某些關(guān)系.根據(jù)上述命題，我們易得函數(shù)周期，從而解決問題，以下探究上述命題在解決抽象函數(shù)問題中的運用.1.求函數(shù)值例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時f(x)=x，求f(2007)的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4)∴f(x+8)=－f(x+4)=f(x)∴8是f(x)的一個周期∴f(2007)=f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函數(shù)∴f(-x)=f(x+4)∴f(x)關(guān)于x=2對稱又∵f(x)是奇函數(shù)∴8是f(x)的一個周期，以下與方法一相同.例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值解：由條件知f(x)1，故類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為8，故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=22.求函數(shù)解析式例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)=－2x+1，則當(dāng)時求f(x)的解析式解：當(dāng)時∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函數(shù)∴f(－x)=f(x)∴f(x)=2x+1當(dāng)時∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(-4+x)=f(x)∴當(dāng)時求f(x)=2x－73.判斷函數(shù)的奇偶性例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=，類比命題1可知，函數(shù)f(x)的周期為1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)關(guān)于x=999對稱，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x)f(x)是偶函數(shù)4.判斷函數(shù)的單調(diào)性例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時f(x)為增函數(shù)解：設(shè)則∵f(x)在[-2，0]上是減函數(shù)∴又函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，類比命題3（1）知函數(shù)f(x)的周期為4故f(x+4)=f(x)∴∵f(-x)=f(x)∴故當(dāng)時f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào).求a的值.解：∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)關(guān)于（3，0）對稱∵f(x)=f(2-x)∴f(x)關(guān)于x=1對稱∴根據(jù)命題2（4）得8是f(x)的一個周期∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào)∴a=6確定方程根的個數(shù)例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在區(qū)間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個根？

解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10故f(x+10)=f(x)∴f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0，10]上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，因此方程f(x)=0在區(qū)間[－1000，1000]上至少有1+2=401個根.兩類易混淆的函數(shù)問題：對稱性與周期性劉云漢例1.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（5+x）=f（5－x），問：y=f（x）是周期函數(shù)嗎它的圖像是不是軸對稱圖形

例2.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（5+x）=f（5－x），問：y=f（x）是周期函數(shù)嗎它的圖像是不是軸對稱圖形

這兩個問題的已知條件形似而質(zhì)異。有的同學(xué)往往把它們混為一談，從而得出錯誤的結(jié)論。為了準(zhǔn)確地回答上述問題，必須掌握以下基本定理。定理1：如果函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（5+x）=f（5－x），那么y=f（x）的圖像關(guān)于直線對稱。證明：設(shè)點是y=f（x）的圖像上任一點，點P關(guān)于直線x=a的對稱點為Q，易知，點Q的坐標(biāo)為。因為點在y=f（x）的圖像上，所以于是所以點也在y=f（x）的圖像上。由P點的任意性知，y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱。定理2：如果函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（a+x）=f（b－x），那么y=f（x）的圖像關(guān)于直線的對稱。證明：（略）（證明同定理1）定理3：如果函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+a）=f（x－a），那么y=f（x）是以2a證明：令，則代入已知條件得：根據(jù)周期函數(shù)的定義知，y=f（x）是以2a定理4：如果函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足，那么y=f（x）是以為周期的周期函數(shù)。證明：（略）（證法同定理3）由以上的定理可知，在已知條件或中，等式兩端的兩自變量部分相加得常數(shù)，如，說明的圖像具有對稱性，其對稱軸為。等式兩端的兩自變量部分相減得常數(shù)，如，說明f（x）是周期函數(shù)，其周期T=a+b。容易證明：定理1、2、3、4的逆命題也是成立的。牢牢掌握以上規(guī)律，則例1、例2迎刃而解。例1中，，因此f（x）的圖像關(guān)于直線x=5對稱。由這個已知條件我們不能判定f（x）是周期函數(shù)。例2中，，因此f（x）是周期函數(shù)，其周期T=10。由這個已知條件我們不能判定它是軸對稱圖形。例3.若函數(shù)f（x）=x2+bx+c對于任意實數(shù)t均有f（3+t）=f（1－t），那么（）A.f（2）<f（1）<f（4） B.f（1）<f（2）<f（4） C.f（2）<f（4）<f（1） D.f（4）<f（2）<f（1） 解析：在f（3+t）=f（1－t）中（3+t）+f（1－t）=4所以拋物線f（x）=x2+bx+c的對稱軸為x=2作示意圖如圖1，可見，應(yīng)選A。圖1例4.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x－2）=－f（x），給出下列四個結(jié)論：①f（2）=0；②f（x）是以4為周期的函數(shù)；③f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對稱；④f（x+2）=f（－x）其中所有正確命題的序號是___________。解析1：（1）因為y=f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，所以f（－x）=－f（x）令x=0，得f（－0）=－f（0）所以f（0）=0又已知f（x－2）=－f（x）令x=2，得f（0）=－f（2）所以f（2）=－f（0）=0故①成立。（2）因為f（x－2）=－f（x），所以由x－（x－4）=4（兩自變量相減得常數(shù)）所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)。故②成立。（3）由f（x+2）=f（－x）得：（x+2）+（－x）=2（兩自變量相加得常數(shù)）所以f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱。而不是關(guān)于直線x=2對稱。故③是錯誤的。（4）由（2）知，f（x）應(yīng)滿足f（x+2）=f（x－2）而f（x－2）=－f（x）所以f（x+2）=－f（x）=f（－x）故④成立。綜上所述，應(yīng)填①②④。解析2：根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造出函數(shù)的圖像如圖2。圖2由圖可見，①②④正確，而③不正確。例5.函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，則a=___________。解析：因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱所以