物理中的最值問題

資料僅供參考文件編號：2022年4月版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：物理中的最值問題1.（2010重慶理綜）曉明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，當(dāng)球某次運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉。球飛離水平距離d后落地，如圖9所示，已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為3d/4，重力加速度為g，忽略手的運(yùn)動半徑和空氣阻力。求繩斷時(shí)球的速度大小v1，和球落地時(shí)的速度大小v2。問繩能承受的最大拉力多大？改變繩長，使球重復(fù)上述運(yùn)動。若繩仍在球運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長應(yīng)為多少最大水平距離為多少

【解析】（1）設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動規(guī)律，有豎直方向d=gt2水平方向d=v1t，聯(lián)立解得v1=。由機(jī)械能守恒定律，有mv22=mv12+mg(d-3d/4)解得v2=。設(shè)繩能承受的拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力。球做圓周運(yùn)動的半徑為R=3d/4對小球運(yùn)動到最低點(diǎn)，由牛頓第二定律和向心力公式有T-mg=mv12/R，聯(lián)立解得T=mg。設(shè)繩長為L，繩斷時(shí)球的速度大小為v3，繩承受的最大拉力不變，有T-mg=mv32/L解得v3=。繩斷后球做平拋運(yùn)動，豎直位移為d-L，水平位移為x，飛行時(shí)間為t1，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有d-L=gt12，x=v3t1聯(lián)立解得x=4.當(dāng)L=d/2時(shí)，x有極大值，最大水平距離為xmax=d.2.如圖所示，一質(zhì)量為M=5.0kg的平板車靜止在光滑水平地面上，平板車的上表面距離地面高h(yuǎn)=0.8m，其右側(cè)足夠遠(yuǎn)處有一固定障礙物A。另一質(zhì)量為m=2.0kg可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，以v0=8m/s的水平初速度從左端滑上平板車，同時(shí)對平板車施加一水平向右、大小為5N的恒力F。當(dāng)滑塊運(yùn)動到平板車的最右端時(shí)，兩者恰好相對靜止。此時(shí)車去恒力F。當(dāng)平板車碰到障礙物A時(shí)立即停止運(yùn)動，滑塊水平飛離平板車后，恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑。已知滑塊與平板車間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，圓弧半徑為R=1.0m，圓弧所對的圓心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）平板車的長度。（2）障礙物A與圓弧左端B的水平距離。（3）滑塊運(yùn)動圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對軌道壓力的大小?！窘馕觥浚?）滑塊與平板車間的滑動摩擦力f=μmg，對滑塊，由牛頓第二定律得a1=f/m=μg=5m/s2； 對平板車，由牛頓第二定律得a2=(F+f)/M=3m/s2； 設(shè)經(jīng)過時(shí)間t1，滑塊與平板車相對靜止，共同速度為v，則v=v0-a1t1=a2t2解得t1=1s （1分） v=3m/s （2）設(shè)滑塊從平板車上滑出后做平拋運(yùn)動的時(shí)間為t2則h=gt22，xAB=vt2， 障礙物A與圓弧左端B的水平距離xAB=1.2m。（3）對小物塊，從離開平板車到C點(diǎn)，由動能定理得 在C點(diǎn)由牛頓第二定律得FN-mg=m 聯(lián)立得FN=86N。 由牛頓第三定律得滑塊運(yùn)動到圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)對軌道壓力的大小為86N。如圖所示，在粗糙水平臺階上放置一質(zhì)量m=0.5kg的小物塊，它與水平臺階間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，與臺階邊緣O點(diǎn)的距離s=5m。在臺階右側(cè)固定一個(gè)1/4圓弧擋板，圓弧半徑R=1m，圓弧的圓心也在O點(diǎn)。今以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy?，F(xiàn)用F=5N的水平恒力拉動小物塊，一段時(shí)間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板。（，取g=10m/s2）（1）若小物塊恰能擊中擋板上的P點(diǎn)（OP與水平方向夾角為37°），求其離開O點(diǎn)時(shí)的速度大小；（2）為使小物塊擊中擋板，求拉力F作用的最短時(shí)間；（3）改變拉力F的作用時(shí)間，使小物塊擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時(shí)小物塊動能的最小值?！窘馕觥浚?）小物塊從O到P，做平拋運(yùn)動。水平方向：（2分）豎直方向：（2分）解得：（2分）（2）為使小物塊擊中檔板，小物塊必須能運(yùn)動到O點(diǎn)。由動能定理得：解得：（2分）由牛頓第二定律得：解得：（2分）由運(yùn)動學(xué)公式得：解得：（2分）（3）設(shè)小物塊擊中擋板的任意點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由運(yùn)動學(xué)規(guī)律可得：；由機(jī)械能守恒得：（2分