2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2014年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題題號(hào)一二三總分1～56～1011121314得分評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時(shí)不要超過(guò)裝訂線；3．草稿紙不上交．一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分．每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1．設(shè)非零實(shí)數(shù)，，滿足則的值為（）．（A）（B）（C）（D）2．已知關(guān)于的不等式組恰有個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍是（）．（A）＜＜（B）≤＜（C）＜≤（D）≤≤

3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長(zhǎng)度中，不一定是有理數(shù)的為（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC4．如圖，已知△ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）．（A）3（B）4（C）6（D）85．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*”為：，且，則的值為（）．（A）（B）（C）（D）二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．設(shè)，是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，則的值為．7．一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)1，2，3，4，5，6．?dāng)S這個(gè)正方體三次，則其朝上的面的數(shù)和為3的倍數(shù)的概率是．8．已知正整數(shù)a，b，c滿足，，則的最大值為．9．實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組為．10．的值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA．直線與軸交于點(diǎn)D．求∠DBC∠CBE．12．設(shè)△的外心、垂心分別為，若共圓，對(duì)于所有的△，求所有可能的度數(shù)．

13．如圖，設(shè)點(diǎn)D在△ABC外接圓上，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)X在上，E是的中點(diǎn)，過(guò)△ABC的內(nèi)心I作直線R平行于DE，分別與BC，AX交于點(diǎn)R，T，設(shè)直線DR與ET交于點(diǎn)S．證明：點(diǎn)S在△ABC的外接圓上．14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)．

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題1．A解：由已知得，故．于是，所以．2．C解：根據(jù)題設(shè)知不等式組有解，解得，＜＜．由于不等式組恰有個(gè)整數(shù)解，這個(gè)整數(shù)解只能為，，，，，因此≤＜，解得＜≤．3．D解：因AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，所以，OA＝OB＝OC＝是有理數(shù)．于是，OD＝OA－AD是有理數(shù)．由Rt△DOE∽R(shí)t△COD，知，都是有理數(shù)，而AC＝不一定是有理數(shù)．4．C解：因?yàn)镈CFE是平行四邊形，所以DE//CF，且EF//DC．連接CE，因?yàn)镈E//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原來(lái)陰影部分的面積等于△ACE的面積．連接AF，因?yàn)镋F//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因?yàn)?，所以S△ABC=4S△ACF．故陰影部分的面積為6．5．C解：設(shè)，則，于是．二、填空題6．2解：由于，故，．所以．7．解：擲三次正方體，朝上的面的數(shù)和為3的倍數(shù)的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3，12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4，15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5，18＝6＋6＋6．記擲三次正方體面朝上的數(shù)分別為，，．則使＋＋為3的倍數(shù)的（，，）中，3個(gè)數(shù)都不相等的有8組，恰有兩個(gè)相等的有6組，3個(gè)數(shù)都相等的有6組．故所求概率為．8．解：由已知，消去c，并整理得．由a為正整數(shù)及≤66，可得1≤a≤3．若，則，無(wú)正整數(shù)解；若，則，無(wú)正整數(shù)解；若，則，于是可解得，．（=1\*romani）若，則，從而可得；（=2\*romanii）若，則，從而可得．綜上知的最大值為．9．，（為任意實(shí)數(shù)）解：由韋達(dá)定理得由上式，可知．若，則，，進(jìn)而．若，則，有（為任意實(shí)數(shù)）．經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組與（為任意實(shí)數(shù)）滿足條件．10．解：設(shè)，那么．上式對(duì)，2，…，99求和，得原式．三、解答題11．解：將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)．直線過(guò)點(diǎn)B．將點(diǎn)C(0，)的坐標(biāo)代入，得．…………5分拋物線的頂點(diǎn)為(1，)．于是由勾股定理得BC＝，CE＝，BE＝．因?yàn)锽C2＋CE2＝BE2，所以，△BCE為直角三角形，．…………10分因此tan==．又tan∠DBO=，則∠DBO＝．所以，．…………20分12．解：分三種情況討論．（=1\*romani）若△為銳角三角形．因?yàn)?，所以由，可得，于是．………?分（=2\*romanii）若△為鈍角三角形．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由，可得，于是；?dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，因?yàn)椋杂?，可得，于是．………?5分（=3\*romaniii）若△為直角三角形．當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角．綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及．…………20分13．證明：如圖，設(shè)DR與△ABC的外接圓交于點(diǎn)，AX與交于點(diǎn)，連接．由D為的中點(diǎn)知，A，I，D三點(diǎn)共線，且∠∠，△∽△，所以，①即．②…………5分由E為的中點(diǎn)知，∠∠，△∽△，所以，③即．④由∥，知．又因?yàn)椋浴鳌住?，則有．⑤…………10分由為△的內(nèi)心，連接CI，由知．由式=1\*GB3①，=5\*GB3⑤，得，即．⑥由式=2\*GB3②，④，得．⑦由式=6\*GB3⑥，=7\*GB3⑦得，…………15分于是∥．又∥，故點(diǎn)與重合，即點(diǎn)在直線上．從而，點(diǎn)與重合，即點(diǎn)S在△的外接圓上．…………20分14．解：若n≤6，取1，2，…，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個(gè)正整數(shù)M是≤＜≤7的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|()，7|()