2022-2023學(xué)年福建省寧德市屏南第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年福建省寧德市屏南第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.求證：參考答案：見(jiàn)解析【分析】構(gòu)造函數(shù)h（x）＝ex﹣x﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可證明ex≥x+1，【詳解】h（x）＝ex﹣x﹣1，所以h'（x）＝ex﹣1，當(dāng)x≥0時(shí)，h'（x）≥0，h（x）為增函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，所以h（x）≥h（0）＝0，所以ex≥x+1，【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了構(gòu)造法的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)，若的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.3

B.

C.－

D.－3參考答案：D略3.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得

（）A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立

B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C．當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立

D．當(dāng)n=8時(shí)該命題成立參考答案：A略4.如圖，OABC是四面體，G是△ABC的重心，G1是OG上一點(diǎn)，且OG=3OG1，則(

)A．B．C．D．參考答案：C略5.已知f（x）為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且?x∈R，均有f（x）+f'（x）＜0，則以下判斷正確的是（）A．e2017?f（2017）＞f（0）B．e2017?f（2017）=f（0）C．e2017?f（2017）＜f（0）D．e2017f（2017）與f（0）的大小無(wú)法確定參考答案：C【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】令g（x）=exf（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論．【解答】解：令g（x）=exf（x），則g′（x）=ex[f（x）+f′（x）]＜0，故g（x）在R遞減，故g（2017）＜g（0），即e2017f（2017）＜f（0），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．6.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】設(shè)這女子每天分別織布an尺，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q=2．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)這女子每天分別織布an尺，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q=2．則=5，解得．∴a3==．故選：A．7.若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且滿足，則A

B

C

D

參考答案：A略8.已知直線平面，直線平面，下面有三個(gè)命題：①，②，③，則其正確命題的個(gè)數(shù)為

（

）A、0

B、1

C、2

D、3參考答案：C略9.若球的半徑為，則這個(gè)球的內(nèi)接正方體的全面積等于（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A10.某校有行政人員、教學(xué)人員和教輔人員共人，其中教學(xué)人員與教輔人員的比為,行政人員有人，現(xiàn)采取分層抽樣容量為的樣本，那么行政人員應(yīng)抽取的人數(shù)為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列結(jié)論：①x+y的最小值為；②對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）與題中方程必有兩組不同的實(shí)數(shù)解；③過(guò)點(diǎn)M（0，18）向題中方程所表示曲線作切線，切點(diǎn)分別為A、B，則直線AB的方程為y=3；④若x，y∈N*，則xy的值為36或32．以上結(jié)論正確的有（用序號(hào)表示）參考答案：①③④【考點(diǎn)】圓的一般方程．【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的參數(shù)方程，由x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，判斷①正確；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示過(guò)點(diǎn)（0，8）的直線系，而點(diǎn)程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示過(guò)點(diǎn)（0，8）的直線系，而點(diǎn)（0，8）在圓上，故直線和圓可能相切、相交，判斷②不正確；由圓的對(duì)稱性、切線的對(duì)稱性知，A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，求出點(diǎn)M到AB的距離為15，故AB的方程為y=18﹣15=3，判斷③正確；利用圓x2+（y+2）2=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有（6，6），（8，4），從而得到x，y∈N*時(shí)xy的值，判斷④正確．【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0即x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）為圓心，以10為半徑的圓．令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正確；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，表示過(guò)x﹣2y+16=0與2x+y﹣8=0交點(diǎn)（0，8）的直線系，而點(diǎn)（0，8）在圓上，故有的直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，有的直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，故②不正確；過(guò)點(diǎn)M（0，18）向題中方程所表示曲線作切線，切點(diǎn)分別為A，B，由圓的對(duì)稱性、切線的對(duì)稱性知，A，B關(guān)于y軸對(duì)稱．而切線MA=，MA與y軸的夾角為30°，點(diǎn)M到AB的距離為MA?cos30°=15，故AB的方程為y=18﹣15=3，故③正確；圓x2+（y+2）2=100上的坐標(biāo)為正整數(shù)點(diǎn)有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，則xy的值為36或32，故④正確．綜上，①③④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)方程，直線系方程，切線長(zhǎng)的計(jì)算方法，判斷②不正確是解題的難點(diǎn)，是中檔題．12.如圖，已知二面角的大小為60°，其棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，則線段的長(zhǎng)為

．參考答案：13.若隨機(jī)變量X的概率分布表如下，則常數(shù)c=_________．X01P9c2﹣c3﹣8c參考答案：14.某小學(xué)1000名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示．其中成績(jī)分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)估計(jì)成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的人數(shù)約為．參考答案：200【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【分析】由頻率分布直方圖得成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的頻率，由此根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)估計(jì)成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的人數(shù)．【解答】解：由頻率分布直方圖得成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的頻率為：0.02×10=0.2，∴根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)估計(jì)成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)的人數(shù)約為：0.2×1000=200．故答案為：200．15.不等式的解集為_(kāi)_____________

參考答案：16.已知直線l：x﹣y+4=0與圓C：，則C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為

．參考答案：考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程；點(diǎn)到直線的距離公式．專題：計(jì)算題．分析：先再利用圓的參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出距離，最后利用三角函數(shù)的有界性求出距離的最小值即可．解答： 解：，∴距離最小值為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的和角公式及及三角函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．17.若方程表示橢圓，則m的取值范圍是．參考答案：（1，2）∪（2，3）【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由于方程表示橢圓，可得，即可．【解答】解：∵方程表示橢圓，∴，解得1＜m＜3，且m≠2．故答案為（1，2）∪（2，3）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（2015春?北京校級(jí)期中）設(shè)全集U=R，集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（Ⅰ）求A∩（?UB）；（Ⅱ）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∩C=C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）∵集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}={x|x≤﹣6，或x≥3}，B={x|log2（x+2）＜4}={x|﹣2＜x＜14}．∴?UB={x|x≤﹣2，或x≥14}，∴A∩（?UB）={x|x≤﹣6，或x≥14}，（Ⅱ）∵C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，當(dāng)2a≥a+1，即a≥1時(shí)，C=?，滿足條件，當(dāng)2a＜a+1，即a＜1時(shí)，若B∩C=C，則C?B，則﹣2≤2a＜a+1≤14，解得：﹣1≤a＜1，綜上所述，a≥﹣1．考點(diǎn)： 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．

專題： 集合．分析： （Ⅰ）解二次不等式，求出A，解對(duì)數(shù)不等式求出B，進(jìn)而可求A∩（?UB）；（Ⅱ）由C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，分C=?和C≠?兩種情況，討論滿足條件的a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．解答： 解：（Ⅰ）∵集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}={x|x≤﹣6，或x≥3}，B={x|log2（x+2）＜4}={x|﹣2＜x＜14}．∴?UB={x|x≤﹣2，或x≥14}，∴A∩（?UB）={x|x≤﹣6，或x≥14}，（Ⅱ）∵C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，當(dāng)2a≥a+1，即a≥1時(shí)，C=?，滿足條件，當(dāng)2a＜a+1，即a＜1時(shí)，若B∩C=C，則C?B，則﹣2≤2a＜a+1≤14，解得：﹣1≤a＜1，綜上所述，a≥﹣1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的交集，并集，補(bǔ)集運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．19.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，參考答案：（1）.（2）時(shí)，的取值范圍是；時(shí)，的取值范圍是試題分析：（1）由已知，可得，，利用，即得，，求得橢圓方程.（2）應(yīng)注意討論和的兩種情況.首先當(dāng)時(shí)，直線和橢圓有兩交點(diǎn)只需；當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，聯(lián)立，得,注意根據(jù)，確定

①平時(shí)解題時(shí)，易忽視這一點(diǎn).應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及得到②，將②代入①得，解得，由②得，故所求的取值范圍是.試題解析：（1）由已知，可得，，∵，∴，，∴.

5分（2）當(dāng)時(shí)，直線和橢圓有兩交點(diǎn)只需；

6分當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得,

由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，即

①

8分

9分又

②，11分將②代入①得，解得，由②得，故所求的取值范圍是.

12分綜上知，時(shí)，的取值范圍是；時(shí)，的取值范圍是

14分考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，不等式解法.【解析】略20.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)的直線l：y=kx+m（k∈R），使得?=0成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并得到a，c的關(guān)系，聯(lián)立求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式求得滿足?=0成立的直線l：y=kx+m存在．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），半焦距為c．依題意，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1，得a﹣c=1，解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（Ⅱ）存在直線l，使得?=0成立．理由如下：由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化簡(jiǎn)得3+4k2＞m2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，．若?=0，則x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，得，即，化簡(jiǎn)得，7m2=12+12k2，將代入3+4k2＞m2中，得，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，即或．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是：（﹣∞，]∪[，+∞）．21.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．（1）若函數(shù)，在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減，求的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在(0,1)上是否有零點(diǎn)，并說(shuō)明理由．參考答案：見(jiàn)解析．解：（）由得，∴，即，∴，∴，；∴，∴在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減；∴，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．（）假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即存在，使得，即，記．①若，則，即，由于，有，即證在上恒成立，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．而，，，∴在上存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，∴在上恒成立，即恒成立，②若，則，即，由于，有，即證在恒