切比雪夫低通濾波器設計

摘要隨著信息和數(shù)字時代的到來，數(shù)字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術領域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號中經(jīng)?；煊懈鞣N復雜成分，因此很多信號的處理都是基于濾波器而進行的。所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著舉足輕重的作用。而數(shù)字濾波器的設計都要以模擬濾波器為基礎的，這是因為模擬濾波器的理論和設計方方法都已發(fā)展的相當成熟，且有典型的模擬濾波器供我們選擇。，如巴特沃思濾波器、切比雪夫濾波器等。本次課程設計將運用MATLAB設計一個基于切比雪夫低通濾波器，并出所設計濾波器的幅度及幅度衰減特性。關鍵詞：模擬低通濾波切比雪夫1課題描述數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要工具之一，它通過數(shù)值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，而數(shù)字濾波器處理精度高、體積小、穩(wěn)定、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊功能。故本課題使用MATLAB信號處理箱和運用切比雪夫法設計數(shù)字低通濾波器。2設計原理切比雪夫濾波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，若濾波器的技術要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會超出技術指標。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實現(xiàn)這一點。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的(稱為I型切比雪夫濾波器)，也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的(稱為II型切比雪夫濾波器)。I型切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)是1IHc(jQ)|2=1+￡2C2(Q./Q)式中為N階切比雪夫多項式，定義為C(x)=cos(Ncos-ix)從定義切比雪夫多項式可以直接得出由CN(X)和CN-1(X)求CN+1(X)的遞推公式。將三角恒等式代入式，得CNU=2xCN(x)一CN-1(x)從式我們注意到，當0<x<1時，CN(x)在0和1之間變化；當x>1時，cos-1x是虛數(shù)，所以CN⑴像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考，1HC(jQ)|2對于0〈°/°p魚呈現(xiàn)出在1和1/(1+e2)之間的波動；而對于。,°p〉1單調(diào)地減小。需要用三個參量來確定該濾波器：e，°p和N。在典型的設計中，用容許的通帶波紋來確定e，而用希望的通帶截止頻率來確定°C。然后選擇合適的階次N，以便阻帶的技術要求得到滿足。定義允許的通帶最大衰減ap用下式表示：為了求切比雪夫濾波器在橢圓上極點的位置，我們首先要這樣確定，在大圓和小圓上以等角度等間隔排列的那些點：這些點對于虛軸呈對稱分布，并且沒有一個點落在虛軸上；但當N為奇數(shù)時要有一個點落在實軸上，而當N為偶數(shù)時，就都不會落在實軸上。切比雪夫濾波器的極點落在橢圓上，起縱坐標由相應的大圓上點的縱坐標來表示，起橫坐標由相應的小圓上點的橫坐標來表示。濾波器的分類（1） 從功能上分；低、帶、高、帶阻。（2） 從實現(xiàn)方法上分:FIR、IIR（3） 從設計方法上來分：Chebyshev（切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）（4） 從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器模擬濾波器的設計指標設ha（j。）是一個模擬濾波器的頻率響應，則基于平方幅度響應J（Q）=|Ha（jQ）|的低通濾波器技術指標為：0<|Ha（jO）|2<￡,。V。 （2-2-1）1j <|Ha（J。）2<'。〈口 （2-2-2）其中￡為通帶波動系數(shù)，。p和。s是通帶和阻帶邊緣頻率。A為阻帶衰減系數(shù)。這些指標如圖所示。從圖知必須滿足——，。=。|Ha（jO）|2=「+" P （2-2-3）無。=。，

其中參數(shù)￡和A是數(shù)字濾波器指標。切比雪夫I型濾波器切比雪夫低通濾波器的設計原理切比雪夫濾波器的幅頻特性具有等波紋特性。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫I型濾波器，振幅特性在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫II型濾波器，如圖所示分別畫出了濾波器的幅頻特性和衰減函數(shù)。以切比雪夫I型為例介紹其設計原理幅度平方函數(shù)用\H(jO)|2表示H（j。）H（j。）1； 。-…cn（①）p（2-3-1）式中，數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，8越大，波動幅度也越大。。稱為通帶截止頻率。令人=%，稱8為小于1的正為對。的歸一化頻率。定義允許的通帶內(nèi)最大衰減，「用下式表示

maxHa(jQ)|2a=10lg !1,Q<Qp min|Ha(jQ)|2 p(2-3-2)式中max|ha(jQ)|2=1(2-3-3)min|ha(jQ)|2=—-—1+￡2(2-3-4)因此a=10lg(1+￡2)(2-3-5)￡2=100.1Op-1 (2-3-6)這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減ap,可求出參數(shù)￡。階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時也影響通帶內(nèi)波動的疏密，因為N等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個數(shù)。設阻帶的起點頻率為Qs則有H(jQ)|2=1Q~

E2設阻帶的起點頻率為Qs則有H(jQ)|2=1Q~

E2Cn2(?T)

p(2-3-7)可以解出由人＞1，1(人)=ch(NarchX)=￡—1H(jQ)12as(2-3-8)Q=Q(2-3-9)(2-3-10)3dB截止頻率用Q表示，(2-3-11)H(Rif(2-3-11)按照（2-3-1）式，有

一一r1 1\O=Och—arch—IN8；(2-3-12)經(jīng)過一系列推論得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為1(p)=82N—一一r1 1\O=Och—arch—IN8；(2-3-12)經(jīng)過一系列推論得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為1(p)=82N—1rf(p—p)(2-3-13)i1=1 去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)=Ga(p)p=Op82N-1計(p—p.O~i=1(2-3-14)切比雪夫低通濾波器的設計步驟(1)確定低通濾波器的技術指標：邊帶頻率Op，通帶最大衰減a、阻帶最大衰減as、阻帶截至頻率Os，它們滿足ap=10lg1

\Ha<(jO)(2-3-15)a=10lg\Ha<(jO)2(2-3-16)(2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)￡人=OsOp(2-3-17)K1—1 10^100.1ap—1(2-3-18)archk-1N= archks(2-3-19)這樣，先由(2--18)式求出K1-1代入(2-3-19)，求出階數(shù)N最后取大于或等于N的最小整數(shù)。(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)*)82*)82N—1rf(p—p)i(2-3-20)i=1(4)將去歸一化，得到實際的H(s)(2-3-21)H(s)=G(p)(2-3-21)2.3.3用MATLAB設計切比雪夫低通濾波器[z,p,G]=cheblap(N,R)該格式用于計算N階切比雪夫I型歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)的零極點和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個零點和極點的位置。Rs是阻帶最小衰減。R,wso]=cheblord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計算切比雪夫I型數(shù)字濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。調(diào)用參數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。(3)[n,wso]=cheblord(wp,ws,Rp,As,s')該格式用于計算切比雪夫I型模擬濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。wp和ws是實際模擬角頻率。(4)[B,A]=cheby(N,Rs,wso,ftype')該格式用于計算N階切比雪夫I型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫I型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。(5)[B,a]=cheby(N,Rp,wso,ftype','s')該格式用于計算N階切比雪夫I型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫I型模擬