條件概率知識(shí)點(diǎn)、例題、練習(xí)題

條件概率知識(shí)點(diǎn)、例題、練習(xí)題條件概率知識(shí)點(diǎn)、例題、練習(xí)題條件概率知識(shí)點(diǎn)、例題、練習(xí)題條件概率知識(shí)點(diǎn)、例題、練習(xí)題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:條件概率專題一、知識(shí)點(diǎn)①只須將無條件概率替換為條件概率，即可類比套用概率滿足的三條公理及其它性質(zhì)②在古典概型中---在幾何概型中---條件概率及全概率公式

.對(duì)任意兩個(gè)事件A、B,是否恒有P(A)≥P(A|B).答：不是.有人以為附加了一個(gè)B已發(fā)生的條件,就必然縮小了樣本空間,也就縮小了概率,從而就一定有P(A)≥P(A|B),

這種猜測(cè)是錯(cuò)誤的.事實(shí)上,可能P(A)≥P(A|B),也可能P(A)≤P(A|B),下面舉例說明.在0,1,…,9這十個(gè)數(shù)字中,任意抽取一個(gè)數(shù)字,令A(yù)={抽到一數(shù)字是3的倍數(shù)};

B1={抽到一數(shù)字是偶數(shù)};

B2={抽到一數(shù)字大于8},那么

P(A)=3/10,P(A|B1)=1/5,P(A|B2)=1.因此有P(A)＞P(A|B1),P(A)＜P(A|B2)..以下兩個(gè)定義是否是等價(jià)的.定義1.若事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B),

則稱A、B相互獨(dú)立.定義2.若事件A、B滿足P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),則稱A、B相互獨(dú)立.答：不是的.因?yàn)闂l件概率的定義為

P(A|B)=P(AB)/P(B)或P(B|A)=P(AB)/P(A)自然要求P(A)≠0,

P(B)≠0,而定義1不存在這個(gè)附加條件,也就是說,P(AB)=P(A)P(B)對(duì)于P(A)=0或P(B)=0也是成立的.事實(shí)上,

若P(A)=0由0≤P(AB)≤P(A)=0可知P(AB)=0故P(AB)=P(A)P(B).因此定義1與定義2不等價(jià),更確切地說由定義2可推出定義1,

但定義1不能推出定義2,因此一般采用定義1更一般化..對(duì)任意事件A、B,是否都有

P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B).答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)(*)因?yàn)?/p>

P(AB)≥0,故P(A+B)≤P(A)+P(B).由P(AB)=P(A)P(B|A),因?yàn)?≤P(B|A)≤1,故P(AB)≤P(A);同理P(AB)≤P(B),

從而P(B)-P(AB)≥0,由(*)知P(A+B)≥P(A).原命題得證..在引入條件概率的討論中,曾出現(xiàn)過三個(gè)概率:P(A|B),P(B|A),P(AB).從事件的角度去考察,在A、B相容的情況下,它們都是下圖中標(biāo)有陰影的部分,然而從概率計(jì)算的角度看,它們卻是不同的.這究竟是為什么答：概率的不同主要在于計(jì)算時(shí)所取的樣本空間的差別:P(A|B)的計(jì)算基于附加樣本空間ΩB;P(B|A)的計(jì)算基于附加樣本空間ΩA;P(AB)的計(jì)算基于原有樣本空間Ω..在n個(gè)事件的乘法公式：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…A中,涉及那么多條件概率,為什么在給出上述乘法公式時(shí)只提及P(A1A2…An-1)>0呢答：按條件概率的本意,應(yīng)要求P(A1)>0,

P(A1A2)>0,…,

P(A1A2…An-2)>0,

P(A1A2…A事實(shí)上,由于A1A2A3…An-2A1A2A3…An-2An-1,從而便有P(A1A2…An-2)≥P(A1A2…An-1)>0.這樣,

除P(A1A2…An-1)>0作為題設(shè)外,

其余條件概率所要求的正概率,

如P(A1A2…An-2)>0,…,

P(A1A2)>0,

P(A1)>0便是題設(shè)條件.計(jì)算P(B)時(shí),

如果事件B的表達(dá)式中有積又有和,是否就必定要用全概率公式.答：不是.這是對(duì)全概率公式的形式主義的認(rèn)識(shí),

完全把它作為一個(gè)”公式”來理解是不對(duì)的.

其實(shí),

我們沒有必要去背這個(gè)公式,

應(yīng)著眼于A1,A2,…,An的結(jié)構(gòu).事實(shí)上,

對(duì)于具體問題,

若能設(shè)出n個(gè)事件Ai,使之滿足(*)就可得

.(**)這樣就便于應(yīng)用概率的加法公式和乘法公式.因此,

能否使用全概率公式,

關(guān)鍵在于(**)式,而要有(**)式,

關(guān)鍵又在于適當(dāng)?shù)貙?duì)Ω進(jìn)行一個(gè)分割,

即有(*)式..設(shè)P(A)≠0,

P(B)≠0,因?yàn)橛?1)若A、B互不相容,則A、B一定不獨(dú)立.(2)若A、B獨(dú)立,則A、B一定不互不相容.故既不互不相容又不獨(dú)立的事件是不存在的.上述結(jié)論是否正確.答：不正確.原命題中的結(jié)論(1)(2)都是正確的.

但是由(1)(2)(它們互為逆否命題,

有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0,

P(B)≠0的前提下,事件A、B既互不相容又獨(dú)立是不存在的,

并不能推出“A、B既不獨(dú)立又不互不相容是不存在的”.事實(shí)上,恰恰相反,

既不互不相容又不獨(dú)立的事件組是存在的,下面舉一例.5個(gè)乒乓球(4新1舊),

每次取一個(gè),

無放回抽取三次,

記Ai={第i次取到新球},

i=1,2,3.因?yàn)槭菬o放回抽取,故A1、A2、A3互相不獨(dú)立,又A1A2A3={三次都取到新球},

顯然是可能發(fā)生的,

即A1、A2、A3可能同時(shí)發(fā)生,

因此A1、A2、.事件A、B的“對(duì)立”與“互不相容”有什么區(qū)別和聯(lián)系事件A、B“獨(dú)立”與“互不相容”又有什么區(qū)別和聯(lián)系答：“對(duì)立”與“互不相容”區(qū)別和聯(lián)系,

從它們的定義看是十分清楚的,大體上可由如下的命題概括:“對(duì)立”→“互不相容”,

反之未必成立.至于“獨(dú)立”與“互不相容”的區(qū)別和聯(lián)系,并非一目了然.事件的互不相容性只考慮它們是否同時(shí)發(fā)生，是純粹的事件的關(guān)系,

絲毫未涉及它們的概率,其關(guān)系可借助圖直觀顯示.事件的獨(dú)立性是由概率表述的,

即當(dāng)存在概率關(guān)系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)時(shí),

稱A、B是相互獨(dú)立的.它們的聯(lián)系可由下述命題概括:對(duì)于兩個(gè)非不可能事件A、B,

則有“A、B互不相容”→“A、B不獨(dú)立”.

其等價(jià)命題是:在P(A)>0與P(B)>0下,

則有“A、B獨(dú)立”→“A、B不互不相容”(相容).注意,

上述命題的逆命題不成立..設(shè)A、B為兩個(gè)事件,若0<P(A)<1,0<P(B)<1.(*)則A、B相互獨(dú)立,A、B互不相容,,這三種情形中的任何兩種不能同時(shí)成立.答：在條件(*)下當(dāng)A、B相互獨(dú)立時(shí),有P(AB)=P(A)P(B);當(dāng)A、B互不相容時(shí),有P(AB)<P(A)P(B);當(dāng)時(shí),有P(AB)>P(A)P(B).在條件(*)下,上述三式中的任何兩個(gè)不能同時(shí)成立.因此,

A、B相互獨(dú)立,A、B互不相容,

這三種情形中的任何兩種不能同時(shí)成立.此結(jié)論表明:在條件(*)下,若兩個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí),

必不互不相容，也不一個(gè)包含另一個(gè),而只能是相容了..證明:若P(A)=0或P(A)=1,

則A與任何事件B相互獨(dú)立.答：若P(A)=0,又,

故0≤P(AB)≤P(A)=0.于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A與任何事件B相互獨(dú)立.若P(A)=1,則.由前面所證知,與任何事件B相互獨(dú)立.

再由事件獨(dú)立性的性質(zhì)知,

與B相互獨(dú)立,即A與B相互獨(dú)立.另種方法證明:由P(A)=1知,

進(jìn)而有.又且AB與互不相容,

故.即A與B相互獨(dú)立..設(shè)A、B是兩個(gè)基本事件,

且0<P(A)<1,P(B)>0,

,問事件A與B是什么關(guān)系[解1]由已知條件可得.由比例性質(zhì),得.所以P(AB)=P(A)P(B).因此事件A與B相互獨(dú)立.[解2]由得.因而.又,所以P(B|A)=P(B).因此事件A與B相互獨(dú)立..是不是無論什么情況,

小概率事件決不會(huì)成為必然事件.答：不是的.我們可以證明,

隨機(jī)試驗(yàn)中,若A為小概率事件,不妨設(shè)P(A)=ε(0＜ε＜1為不論多么小的實(shí)數(shù)),只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn),則A遲早要發(fā)生的概率為1.事實(shí)上,設(shè)Ak={A在第k次試驗(yàn)中發(fā)生},則P(Ak)=ε,,在前n次試驗(yàn)中A都不發(fā)生的概率為:.于是在前n次試驗(yàn)中,

A至少發(fā)生一次的概率為

.如果把試驗(yàn)一次接一次地做下去,

即讓n→∞,由于0＜ε＜1,則當(dāng)n→∞時(shí),有pn→1.以上事實(shí)在生活中是常見的,例如在森林中吸煙,一次引起火災(zāi)的可能性是很小的,但如果很多人這樣做,

則遲早會(huì)引起火災(zāi)..只要不是重復(fù)試驗(yàn),

小概率事件就可以忽視.答：不正確.小概率事件可不可以忽視,要由事件的性質(zhì)來決定,例如在森林中擦火柴有1%的可能性將導(dǎo)致火災(zāi)是不能忽視的,但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的..重復(fù)試驗(yàn)一定是獨(dú)立試驗(yàn),理由是:既然是重復(fù)試驗(yàn)就是說每次試驗(yàn)的條件完全相同,從而試驗(yàn)的結(jié)果就不會(huì)互相影響,上述說法對(duì)嗎答：不對(duì).我們舉一個(gè)反例就可以證明上述結(jié)論是錯(cuò)誤的.一個(gè)罐子中裝有4個(gè)黑球和3個(gè)紅球,隨機(jī)地抽取一個(gè)之后,再加進(jìn)2個(gè)與抽出的球具有相同顏色的球,這種手續(xù)反復(fù)進(jìn)行,顯然每次試驗(yàn)的條件是相同的.每抽取一次以后,這時(shí)與取出球有相同顏色的球的數(shù)目增加，而與取出球顏色不同的球的數(shù)目保持不變，從效果上看，每一次取出的球是什么顏色增加了下一次也取到這種顏色球的概率，因此這不是獨(dú)立試驗(yàn),此例是一個(gè)如同傳染病現(xiàn)象的模型，每一次傳染后都增加再傳染的概率..伯努利概型的隨機(jī)變量是不是都服從二項(xiàng)分布.答：不一定.例如某射手每次擊中目標(biāo)的概率是p，現(xiàn)在連續(xù)向一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到射中為止.此試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A={命中}；={未命中}，且P(A)=p.并且是重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，因此它是伯努利試驗(yàn)（伯努利概型），設(shè)Xk={第k次射中}，Xk顯然是一個(gè)隨機(jī)變量，但

P(Xk=k)=qk-1p，k=1,2,…，其中q=p-1，可見Xk是服從參數(shù)為p的幾何分布，而不是二項(xiàng)分布..某人想買某本書,決定到3個(gè)新華書店去買,每個(gè)書店有無此書是等可能的.如有,是否賣完也是等可能的.設(shè)3個(gè)書店有無此書,是否賣完是相互獨(dú)立的.求此人買到此本書的概率.答：(37/64)..在空戰(zhàn)中,甲機(jī)先向乙機(jī)開火,擊落乙機(jī)的概率是;

若乙機(jī)未被擊落,就進(jìn)行還擊,擊落甲機(jī)的概率是,

則再進(jìn)攻乙機(jī),擊落乙機(jī)的概率是.在這幾個(gè)回合中,(1)

甲機(jī)被擊落的概率是多少(2)

乙機(jī)被擊落的概率是多少答：以A表示事件“第一次攻擊中甲擊落乙”,以B表示事件“第二次攻擊中乙擊落甲”,以C表示事件“第三次攻擊中甲擊落乙”.(1)甲機(jī)被擊落只有在第一次攻擊中甲未擊落乙才有可能,故甲機(jī)被擊落的概率為.(2)乙機(jī)被擊落有兩種情況.一是第一次攻擊中甲擊落乙,二是第三次攻擊中甲擊落乙,故乙機(jī)被擊落的概率是=+×=..某個(gè)問題,若甲先答,答對(duì)的概率為;若甲答錯(cuò),由乙答,答對(duì)的概率為.求問題由乙答出的概率.答：.有5個(gè)人在一星期內(nèi)都要到圖書館借書一次,一周內(nèi)某天借書的可能性相同,求(1)5個(gè)人都在星期天借書的概率;(2)5個(gè)人都不在星期天借書的概率;(3)5個(gè)人不都在星期天借書的概率.答：(1)(1/75);

(2)(65/77);

(3)(1-1/75).1.從1,2,3,…,15中,甲、乙兩人各任取一數(shù)(不重復(fù)),已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),求甲數(shù)大于乙數(shù)的概率.二、例題解.設(shè)事件A表示“甲取到的數(shù)比乙大”,設(shè)事件B表示“甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)”.則顯然所要求的概率為P(A|B).根據(jù)公式

而P(B)=3/15=1/5,

,

∴P(A|B)=9/14.2.擲三顆骰子,已知所得三個(gè)數(shù)都不一樣,求含有1點(diǎn)的概率.

解.設(shè)事件A表示“擲出含有1的點(diǎn)數(shù)”,設(shè)事件B表示“擲出的三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不一樣”.則顯然所要求的概率為P(A|B).根據(jù)公式

,

,P(A|B)=1/2.3.袋中有一個(gè)白球和一個(gè)黑球,一次次地從袋中摸球,如果取出白球,則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球,直至取出黑球?yàn)橹?求取了N次都沒有取到黑球的概率.1解.設(shè)事件Ai表示“第i次取到白球”.(i=1,2,…,N)則根據(jù)題意P(A1)=1/2,P(A2|A1)=2/3,由乘法公式可知:

P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而

P(A3|A1A2)=3/4,

P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/4.由數(shù)學(xué)歸納法可以知道

P(A1A2…AN)=1/(N+1).4.

甲袋中有5只白球,7只紅球;乙袋中有4只白球,2只紅球.從兩個(gè)袋子中任取一袋,然后從所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.

解.設(shè)事件A表示“取到的是甲袋”,則表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根據(jù)題意:

P(B|A)=5/12,

,

P(A)=1/2.

∴

.5.有甲、乙兩袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋,然后再從乙袋中任取一球,求此球?yàn)榘浊虻母怕?解.設(shè)事件Ai表示“從甲袋取的2個(gè)球中有i個(gè)白球”,其中i=0,1,2.事件B表示“從乙袋中取到的是白球”.

顯然A0,A1,A2構(gòu)成一完備事件組,且根據(jù)題意

P(A0)=1/10,P(A1)=3/5,P(A2)=3/10;

P(B|A0)=2/5,P(B|A1)=1/2,P(B|A2)=3/5;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6.袋中裝有編號(hào)為1,2,…,N的N個(gè)球,先從袋中任取一球,如該球不是1號(hào)球就放回袋中,是1號(hào)球就不放回,然后再摸一次,求取到2號(hào)球的概率.解.設(shè)事件A表示“第一次取到的是1號(hào)球”,則表示“第一次取到的是非1號(hào)球”;事件B表示“最后取到的是2號(hào)球”.顯然

P(A)=1/N,,且

P(B|A)=1/(N-1),

;∴=1/(N-1)×1/N+1/N×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7.

袋中裝有8只紅球,2只黑球,每次從中任取一球,不放回地連續(xù)取兩次,求下列事件的概率.(1)取出的兩只球都是紅球;(2)取出的兩只球都是黑球;(3)取出的兩只球一只是紅球,一只是黑球;(4)第二次取出的是紅球.

解.設(shè)事件A1表示“第一次取到的是紅球”,設(shè)事件A2表示“第二次取到的是紅球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根據(jù)題意

P(A1)=4/5,

,

P(A2|A1)=7/9,

∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.(2)要求的是事件的概率.根據(jù)題意:

,

,∴.(3)要求的是取出一只紅球一只黑球,它包括兩種情形,即求事件的概率.

,,

,

,

∴.(4)要求第二次取出紅球,即求事件A2的概率.由全概率公式:

=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.8.

某射擊小組共有20名射手,其中一級(jí)射手4人,二級(jí)射手8人,三級(jí)射手7人,四級(jí)射手1人.一、二、三、四級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是、、、.求任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率.

解.設(shè)事件A表示“射手能通過選拔進(jìn)入比賽”,設(shè)事件Bi表示“射手是第i級(jí)射手”.(i=1,2,3,4)顯然,B1、B2、B3、B4構(gòu)成一完備事件組,且P(B1)=4/20,P(B2)=8/20,P(B3)=7/20,P(B4)=1/20;P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,P(A|B4)=.由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=×4/20+×8/20+×7/20+×1/20=.9.轟炸機(jī)轟炸某目標(biāo),它能飛到距目標(biāo)400、200、100(米)的概率分別是、、,又設(shè)它在距目標(biāo)400、200、100(米)時(shí)的命中率分別是、、.求目標(biāo)被命中的概率為多少解.設(shè)事件A1表示“飛機(jī)能飛到距目標(biāo)400米處”,設(shè)事件A2表示“飛機(jī)能飛到距目標(biāo)200米處”,設(shè)事件A3表示“飛機(jī)能飛到距目標(biāo)100米處”,用事件B表示“目標(biāo)被擊中”.由題意,

P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,

且A1、A2、A3構(gòu)成一完備事件組.又已知P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=×+×+×=.10.

加工某一零件共需要4道工序,設(shè)第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分別為2﹑3﹑5﹑3,假定各道工序的加工互不影響,求加工出零件的次品率是多少

解.設(shè)事件Ai表示“第i道工序出次品”,i=1,2,3,4因?yàn)楦鞯拦ば虻募庸せゲ挥绊?因此Ai是相互獨(dú)立的事件.P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,只要任一道工序出次品,則加工出來的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)這個(gè)事件的概率.為了運(yùn)算簡(jiǎn)便,我們求其對(duì)立事件的概率==.∴P(A1+A2+A3+A4)==.11.

某人過去射擊的成績(jī)是每射5次總有4次命中目標(biāo),根據(jù)這一成績(jī),求(1)射擊三次皆中目標(biāo)的概率;(2)射擊三次有且只有2次命中目標(biāo)的概率;(3)射擊三次至少有二次命中目標(biāo)的概率.

解.設(shè)事件Ai表示“第i次命中目標(biāo)”,i=1,2,3根據(jù)已知條件P(Ai)=,

,i=1,2,3某人每次射擊是否命中目標(biāo)是相互獨(dú)立的,因此事件Ai是相互獨(dú)立的.(1)射擊三次皆中目標(biāo)的概率即求P(A1A2A3).由獨(dú)立性:

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)==.(2)“射擊三次有且只有2次命中目標(biāo)”這個(gè)事件用B表示.顯然,又根據(jù)獨(dú)立性得到:.(3)“射擊三次至少有2次命中目標(biāo)”這個(gè)事件用C表示.至少有2次命中目標(biāo)包括2次和3次命中目標(biāo),所以C=B+A1A2A3P(C)=P(B)+P(A1A2A3)=+=.12.

三人獨(dú)立譯某一密碼,他們能譯出的概率分別為1/3,1/4,1/5,求能將密碼譯出的概率.

解.設(shè)事件Ai表示“第i人能譯出密碼”,i=1,2,3.由于每一人是否能譯出密碼是相互獨(dú)立的,最后只要三人中至少有一人能將密碼譯出,則密碼被譯出,因此所求的概率為P(A1+A2+A3).已知P(A1)=1/3,P(A2)=1/4,P(A3)=1/5,而

=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=.

∴P(A1+A2+A3)==.13.

用一門大炮對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊,

第一、二、三次的命中率分別為、、,若命中此目標(biāo)一、二、三彈,該目標(biāo)被摧毀的概率分別為、和,

試求此目標(biāo)被摧毀的概率.解.設(shè)事件Ai表示“第i次命中目標(biāo)”,i=1,2,3.設(shè)事件Bi表示“目標(biāo)被命中i彈”,i=0,1,2,3.設(shè)事件C表示“目標(biāo)被摧毀”.由已知P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=;

P(C|B0)=0,P(C|B