(完整word版)高考數學常見難題大盤點：立體幾何

■■■???■■■鬻點亮心燈~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■???■■■鬻2013高考數學常見難題大盤點：立體幾何1.如圖，在直三棱柱ABC—A]B]C[中，AC=3,BC=4,AA1=4,點D是AB的中點，(I)求證：AC丄BC1；(II)求證：AC〃平面CDB1；解析：(1)證明線線垂直方法有兩類：一是通過三垂線定理或逆定理證明，二是通過線面垂直來證明線線垂直；(2)證明線面平行也有兩類：一是通過線線平行得到線面平行,是通過面面平行得到線面平行.答案:解法一：(I)直三棱柱ABC—A1B1C1，底面三邊長AC=3,BC=4AB=5,???AC丄BC,且BC在平面ABC內的射影為BC,??AC丄BC；11(II)設CB1與qB的交點為E,連結DE,VD是AB的中點，E是BC的中點,???DE//AC,VDEu平面CDB,AC電平面CDB,1???AC//平面???DE//AC,VDEu平面CDB,AC電平面CDB,1???AC//平面CDBj解法二：V直三棱柱ABC—A1B1C1底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,?AC、BC、CC兩兩垂直，如圖，以C為坐標原點，直線CA、CB、C1C分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D3(2,2,0)(1)?.?AC=(—3,0,0),BC=i(0,—4,0),???ACBCiF'???AC丄叫.(2)設CB1與C1B的交戰(zhàn)為E,則E(0,2,4),???DE=2AC1,???DE〃AC1.點評：2.平行問題的轉化:轉化轉化面面平行二線面平行線線平行;主要依據是有關的定義及判定定理和性質定理.2.如圖所示，四棱錐P—ABCD中，AB丄AD,CD丄AD,PA丄底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點。⑴求證：BM〃平面PAD；精誠凝聚=""=精誠凝聚=""=成就夢想■■???■■■■■■■???■■■鬻點亮心燈~~~///「v'）\\\~~~照亮人生（2）在側面PAD內找一點N,使MN丄平面PBD；（3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦。解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直,面角等基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力.答案：（1）?M是PC的中點，取PD的中點E（2）在側面PAD內找一點N,使MN丄平面PBD；（3）求直線PC與平面PBD所成角的正弦。解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直,面角等基礎知識,考查空間想象能力和推理論證能力.答案：（1）?M是PC的中點，取PD的中點E，則ME蘭丄CD，又AB纟丄CD22四邊形ABME為平行四邊形BM〃EA,BM丄平面PADEAu平面PAD4分）.BM〃平面PAD（2）以A為原點，以AB、AD、AP所在直線為x軸、標系，如圖，則B（1,0,0）），C（2,2,0）,D（0,2,0），P（0,0,2），M（1,1,1）,E（0,1,1）y軸、z軸建立空間直角坐在平面PAD內設N（0,y,z），MN=（-1,y一1,z一1）,PB=6,0,-2）,DB=C—2,0）由MN丄PB.M沖?PB=-1—2z+2=0由M沖丄DB.MNDB=-1-2y+2=0.NfN是AE的中點，此時MN丄平面PBDk22丿8分）設直線PC與平面PBD所成的角為o（11］、一1,-2廠2，設k22丿PC=（2,2,-2）,MN=疋M沖cosa==sin0二-cosa3故直線PC與平面PBD所成角的正弦為耳12分）解法二：1）?M是PC1）?M是PC的中點，取PD的中點E，則ME莖1CD，又AB纟丄CD22.四邊形ABME為平行四邊形精誠凝聚/"=精誠凝聚/"=成就夢想■■???■■■■■?■?■■■■■精誠凝聚「’=成就夢想?■?■■■■■精誠凝聚「’=成就夢想?■?■■■■■■■■???■■■鬻點亮心燈~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■???■■■鬻■■???■■■■■???■■■■點亮心燈~~~///「v'）\\\~~~照亮人生■■???■■■■MF交AE于MF交AE于N，在矩形ABMEMF占，NE壽N為AE的中點當點N為AE的中點時，MN平面PBDBMIIEA，BM平面PADEA平面PADBM//平面PAD（4分）由（1）知ABME為平行四邊形PA底面ABCDPAAB，又ABADAB平面PAD同理CD平面PAD，AE平面PADABAEABME為矩形CD//MECDPD，又PDAEMEPDPD平面ABMEPD平面PBD平面PBD平面ABME作MFEB故MF平面PBD內，AB2）ME1,AEQ8分）（3）由（2）知MF為點M到平面PBD的距離，MPF為直線PC與平面PBD所.MF近成的角，設為，sin麗帚直線PC與平面PBD所成的角的正弦值為號2點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現出來3?如圖，四棱錐PABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是ADC60。的菱形，M為PB的中點.（I）求PA與底面ABCD所成角的大?。唬↖I）求證：PA平面CDM；（III）求二面角DMCB的余弦值.解析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：⑴取DC的中點0,由APDC是正三角形，有P0丄DC.

又?.?平面PDC丄底面ABCD,.：P0丄平面ABCD于0.連結0A,則0A是PA在底面上的射影..??ZPA0就是PA與底面所成角.???ZADC=60°，由已知APCD和AACD是全等的正三角形，從而求得0A=0P=、3..?.ZPA0=45°..?.PA與底面ABCD可成角的大小為45°.6分（II）由底面ABCD為菱形且ZADC=60°,DC=2,D0=1,有0A丄DC.建立空間直角坐標系如圖，則AC3,0,0）,P（0,0,-；3）,D（0,-1,0），由M為PB中點,?uuur33uur——uuur…DM=(一,2,一),PA=C3,0,-、3),DC=(0,2,0).22?uuruuur.3.■；3■…PA-DM=一x-?3+2x0+一(—3)=0,22uururnrPA-DC=0八3+2x0+0x(―■3)=0?.PA丄DM,PA丄DC..PA丄平面DMC.(III)CM=尸,0嚴)，CB=(-31,0).令平面BMC的法向量n.PA丄DM,PA丄DC..PA丄平面DMC.22由①、②，取X=1,貝％=込,z=1.???可取n=（-i「3,i）.則n-CM=0由①、②，取X=1,貝％=込,z=1.???可取n=（-i「3,i）.由（II）知平面CDM的法向量可取PA=（五0,-近）,ruuurruJrruuurruJrn-PAcos<n,PA〉=~T~ur|n||PA|—2*3H0、5?'、6—5???所求二面角的余弦值為-嚴6分法二：（I）方法同上（II）取AP的中點N，連接MN，由（I）知，在菱形ABCD中，由于ZADC=60。,則AO丄CD，又PO丄CD，則CD丄平面APO，即CD丄PA,又在APAB中，中位線MN//1AB,CO/Z1AB，則MN//CO，則四邊形OCMN為Y,22所以MC//ON，在AAPO中，AO=PO，則ON丄AP，故AP丄MC而MCICD=C,則PA丄平面MCD(III)由(II)知MC丄平面PAB,則ZNMB為二面角D—MC—B的平面角，在RtAPAB中，易得PA=空6,PB=、'PA2+AB2=Jj62+2=<10,cosZPBA=cosZNMB=cosZNMB=cos(兀一ZPBA)=<10故，所求二面角的余弦值為-精誠凝聚/"=精誠凝聚/"=成就夢想■■???■■■■■點評：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.4.如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），4.如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且則B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），則DB=(2,0,0),BE=(-1,1,2),BF=(0,2,0)設平面BEF的法向量n=（x,y,z）,則—x+y+2z=0,y=0，則可取n=(2,1,0)，.??向量DB和n=（2,0,1）所成角的余弦為v；22+1^/22+(-2)210即BD和面BEF所成的角的余弦晉。（2）假設線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設EP與PF的比值為m,則P點坐標為1+2m1+2m2■■■??■■■■?精誠凝聚/■■■??■■■■?精誠凝聚/"=成就夢想■■???■■■■■■■■???■■■鬻點亮心燈~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■???■■■鬻小1+2m門1+2m/小、2門匕匕⑴1所以2+0+（一2）=0,所以m=三。1+m1+m1+m2點評：本題考查了線線關系，線面關系及其相關計算，本題采用探索式、開放式設問方式，對學生靈活運用知識解題提出了較高要求。5?已知正方形ABCDE、F分別是AB、CD的中點，將VADE沿DE折起，如圖所示,記二面角A一DE—C的大小為0（0<9<兀）⑴證明BF//平面ADE;（II）若VACD為正三角形，試判斷點A在平面BCDE內的射影G是否在直線EF上,證明你的結論，并求角9的余弦值分析:充分發(fā)揮空間想像能力，重點抓住不變的位置和數量關系，借助模型圖形得出結論，并給出證明.解：（I）證明：EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點，???EB//FD,且EB=FD,???四邊形EBFD為平行四邊形???BF//ED.QEFu平面AED,而BF工平面AED,BF//平面ADE（II）如右圖，點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,過點A作AG垂直于平面BCDE,垂足為G,連結GC,GDQAACD為正三角形，.AC=AD..CG=GD.QG在CD的垂直平分線上，.??點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上,過G作GH垂直于ED于H,連結AH,則AH丄DE,所以ZAHD為二面角A-DE-C的平面角即ZAHG=0.設原正方體的邊長為2a,連結AF,在折后圖的AAEF中,AF=*3a,EF=2AE=2a,即AAEF為直角三角形，AG-EF=AE-AF..AG=a在RtAADE中，AH-DE二AE-AD/.AH=斗a.???GH=亠,cos0=GH20AH點評：在平面圖形翻折成空間圖形的這類折疊問題中，一般來說，位于同一平面內的幾何元素相對位置和數量關系不變：位于兩個不同平面內的元素，位置和數量關系要發(fā)生變化，

翻折問題常用的添輔助線的方法是作棱的垂線。關鍵要抓不變的量.6?設棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA=MD,MA丄AB，如果AAMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.不妨設0丘平面MEF,不妨設0丘平面MEF,于是0是AMEF的內心.2S人設球0的半徑為‘，則r=ef+EMe+mfTOC\