大二課件-p6.2正定二次型與矩陣

一、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準形，也可以通過

日配方法化為標(biāo)準形，顯然，其標(biāo)準形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩．下面

限定所用的變換為實變換，來研究二次型的標(biāo)準形所具有的性質(zhì)．(i

1,

2,,

r

)則k1

,,kr

中正（負）數(shù)的個數(shù)與1

,,r

中正（負）數(shù)的個數(shù)相等.且標(biāo)準形中正系數(shù)個數(shù)稱為正慣性指數(shù)負系數(shù)個數(shù)稱為負慣性指數(shù)

分別記作，

.f

k

y2

k

y2

k

y21

1

2

2

r

r使及定理1(慣性定理)

設(shè)有實二次型

f

xTAx,它的秩為r,有兩個實的可逆變換x

Cy

及

x

Pzi

0,f

z2

z2

z21

1

2

2

r

r

ik

0,常稱形如下式的標(biāo)準形為二次型的規(guī)范形f

y

2

y

2

y

2

y

21

p

p1

r它的系數(shù)分別為1，，1，

1，，

1，0，，0（0可以沒有）,在這個順序下，二次型的規(guī)范形是唯一的.比較常用的二次型是系數(shù)全正或全負的情形，為此，

引出二、正(負)定二次型的概念定義1

設(shè)有實二次型

,)如(

果對任何

0x,(1)f

(x)

0,則稱f

是正定二次型，對應(yīng)的實對稱矩陣A為正定矩陣.xf(2()0則,)稱f是負定二次型，對應(yīng)的實對稱矩陣A為負定矩陣.f

(x)

0則稱此二次型為半正定二次型，對應(yīng)的實對稱矩陣為半正定矩陣.f

(x)

0則稱此二次型為半負定二次型，對應(yīng)的實對稱矩陣為半負定矩陣.f

(x)可正可負,則稱f

為不定型二次型.例如f

(x,y,z)

x2

4

y2

16z2

為正定二次型12

321為負定二次型12

321為不定型二次型證明設(shè)可逆變換x

Cy使

2nk

y

.

i

ii

1f

Cy

f

x

充分性

設(shè)

k

i

0

i

1,,

n.

任給

x

0,則y

C

1

x

0,故f

x

2ni

1i

ik

y

0.三、正(負)定二次型的判別定理2

實二次型

f

xTAx為正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)

等于變量個數(shù)n.必要性（反證法）假設(shè)有ks

0,則當(dāng)y

es

(單位坐標(biāo)向量)時,2ns

i

i

sk

y

k

0.f

Ce

i顯然

x

Ces

0,

這與

f

為正定相故

ki

0i

1,,

n.推論

對稱矩陣

A

為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正．說明只有實對稱矩陣，才能考慮其正定性.例1

試問k

取何值時,

k(

x

2

x

2

x

2

)1

2

3

2x2

8x

x3

2

3f

x

2

4x

x

2x

2

4x

x1

1

2

2

1

3為正定二次型.解4

令A(yù)

I

0，可求出且必存在正交變換將二次型f

化為標(biāo)準形q

2

y

2

2

y

2

7

y

21

2

31

1

2

2

1

3

1

2

2

A

2

2

2

4

2

2

x

2

8

x

x3

2

3

2

x

2

4

x

x二次型q

x

2

4

x

x同時，由正交變換保持向量長度的不變性，即ix

y

，知該正交變換將

f

化為標(biāo)準形i

13

3

i

i

12

2f

2

y

2

2

y

2

7

y

2

k(

y

2

y

2

y

2

)1

2

3

1

2

3

(2

k)

y

2

(2

k)

y

2

(7

k)

y

21

2

3為使二次型正定，按定理2，必有

2

k

0

2

k

0

7

k

0k

7即定理3

實對稱矩陣A正定的充要條件是存在可逆矩陣P,使A

PT

P.證充分性因為A

PT

P,且P可逆，故對任意x

0,必有Px

0,于是有f

xT

Ax

xT

PT

Px

(Px)T

Px

Px

2

0故得f

或矩陣A正定.必要性因為A是實對稱矩陣，故必存在正交陣Q,使T

即

A

0,即有其中

diag[1

,,n

].又因A正定，故i若記矩陣T

diag[1

n

T

T

.

于是可將A

T

QTTQT

(TQT

)T

(TQT

)若記P

TQT則定理得證.說明定理3的換個說法是：“實對稱矩陣A正定的充要條件是A合同于單位矩陣I

.”若A為正定矩陣，則其對角線元aii例2

0.證明

因為A正定，所以，由定理3，知存在可逆陣P,

使成立

A

PT

P,由于P可逆，所以P的每個列向量

p

,

p

,

,

p

都是非零向量，比較

A

PT

P1

2

n兩端矩陣的對角線元，由2a

p

T

p

p

0ii

i

i

i

p

T

p

*

Tn n

p

T

p2

2Tnpppp

T

p

T

PT

P

1

2

n#1

121[

p

,

p

,,

p

]

即得正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)：設(shè)A為正定實對稱陣,則AT

,A1

,A均為正定矩陣;若A,B均為n階正定矩陣,則A

B也是正定矩陣.a11

0,0,a21

a22a11

a12,111nan1

0;anna

a這個定理稱為霍爾定理．的各階順序主子式為正，即稱對角線元是A的前k個對角線元a11

,a22

,定義2,akk的k階子式為矩陣A的k

階順序主子式（或前主子式）.從而，有定理4

對稱矩陣

A為正定的充分必要條件是：Aa11

1k

ak1a1k

0,

k

1,2,,

n.akk決不是矩陣A負定的充要條件.而應(yīng)是推論

對稱A

矩陣A為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階順序主子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即說明11a

0,21

22a

aa11a12

0,

,1n

0;ann11

aaan1例3

判別二次型2,是否正定.解二次型的矩陣為

2

0A

0

4

2

0用特征值判別法.令

A

I

0

1

即知A是正定矩陣，故此二次型為正定二次型.例4

判別二次型1是否正定.解

,,

的f

4A

2它的順序主子式5

0,5

2

1

0,2

15

22

1

4

故上述二次型是正定的.11a

1

0,

t

2

0,21

22t

4t

a

aa11

a12

1根據(jù)定理4，應(yīng)有A的各階順序主子式均為正，由20,1

1

t

1

解

f

的矩陣為

A

t

40例5

若二次型2221222正定，求