等差數(shù)列的前項求和公式

關于等差數(shù)列的前項求和公式第1頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五復習1、等差數(shù)列的通項公式2、等差數(shù)列的性質數(shù)列{a}中m+n=p+q，則am+an=ap+aq若a1為首項，d為公差，則an=a1+(n-1)d當p=q時，m+n=2p，則am+an=2ap，稱ap為等差中項第2頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五

分析：高斯是如何很快的解出其結果的呢？問題：1＋2＋3＋……＋100＝？引入首項與末項的和：1+100=101，第2項與倒數(shù)第2項的和：2+99=101，第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101，……第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101，于是所求的和是：高斯算法第3頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五高斯的問題，可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的前100項的和，求:1+2+3+4+…+n=?如果令Sn=1+2+3+...+（n-2）+（n-1）+n顛倒順序得Sn=n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1則倒序相加法將兩式相加2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）第4頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五推導下面對等差數(shù)列前n項公式進行推導設等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+..由等差數(shù)列的性質a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

第5頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五如果代入等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以用首項a1和公差d表示，即

Sn=na1+n(n-1)d/2

所以，等差數(shù)列的前n項求和公式是或第6頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例題例1

等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？例2

已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220.求等差數(shù)列的前n項和的公式例3求集合M={m|m=7n,n是正整數(shù),且m<100}的元素個數(shù),并求這些元素的和.第7頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五解：將題中的等差數(shù)列記為｛an｝，Sn代表該數(shù)列的前n項和，則有a1=－10,d=－6－(－10)=4設數(shù)列的前n項和為54，即Sn=54根據(jù)等差數(shù)列的前n項求和公式代入Sn=54，a1=－10，d=4整理得，n2－6n－27=0解得n1=9,n2=－3(舍去)因此，等差數(shù)列－10,－6,－2,2，．．．前9項的和是54.第8頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五解:由題，等差數(shù)列的前10項和S10=310，前20項和S20=1220根據(jù)等差數(shù)列的前n項求和公式得解得a1=4，d=6因此，等差數(shù)列的前n項和的公式是將此結果代入上面的求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n第9頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五解:根據(jù)題意，由7n<100得n<100／7由于滿足它的正整數(shù)n共有14個,所以集合M中的元素共有14個.即7,14,21,…,91,98這是一個等差數(shù)列,各項的和是因此，集合M中的元素共有14個,它們的和為735.=735第10頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五由于Sn=n(a1+an)/2

整理可得

Sn=d/2n2+(a1-d/2)，其中a1、d均為已知數(shù)若令A=d/2,B=a1-d/2，則S=An2+Bn將等差數(shù)列的前n項和公式寫成上述形式,有利于求其前n項和的極值:

a1<0,d>0

a1>0,d<0極大值無有極小值有無nsnnsna1<0,d>0,極小值

a1>0,d<0,極大值探究第11頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例1.一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列中,前3項的和等于前11項的和的.問此數(shù)列前多少項的和最大?分析：S3=S11,這里可以找出a1與d的關系,則Sn是d的函數(shù)由等差數(shù)列構成的函數(shù)圖象，可知n=（3+11）/2=7時，Sn最大即n=7第12頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五第13頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、一個項數(shù)為36的數(shù)列的前四項和是21，后四項和是67，求這個數(shù)列的和。3、{an}是等差數(shù)列，S10>0,S11<0,則求使an<0的n的最小值第14頁，共17頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五總結

1.推導等差數(shù)列前n項和公式的方法-------倒序相加法2.公式的應用中的數(shù)學思想.

-------方程、函數(shù)思想3.公式中五個量a1,d,an,n,sn,已知