導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(理) 公開課1等獎(jiǎng)?wù)n件

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

1解:(1)由已知

f(x)=3x2-x-2,(2)命題等價(jià)于

f(x)在

[-1,2]上的最大值小于m.單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-

)和(1,+∞).

23

設(shè)

f(x)=x3-

x2-2x+5.(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;(2)當(dāng)

x[-1,2]時(shí),f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.12令

f(x)<0得-

<x<1;23令

f(x)>0得x<-或x>1.23∴y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

,1);2323令

f(x)=0得

x=-

或1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5

,12f(-

)=5,232722∴f(x)在

[-1,2]上的最大值為7.

∴7<m.

故實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

(7,+∞).

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例1解:(1)由已知f(x)=3x2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

2解:(1)函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞).

∴當(dāng)a<0時(shí),f(x)>0,f(x)在(-1,+∞)

上為增函數(shù);

設(shè)

f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=2.7.(1)求

f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)比較

x+1

與ln(x+1)的大小,并加以證明.2(x+1)x+1

-2a=.又

f(x)=-2x+11

x+1a當(dāng)a>0時(shí),令

f(x)<0得-1<x<4a2-1;令

f(x)>0得x>4a2-1.∴當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-1,4a2-1)

上為減函數(shù),在(4a2-1,+∞)

上為增函數(shù).綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞);當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4a2-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(4a2-1,+∞).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例2解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

2由(1)知

g(x)在(-1,3)

上為減函數(shù),

設(shè)

f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=2.7.(1)求

f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)比較

x+1

與ln(x+1)的大小,并加以證明.解:(2)

x+1

>ln(x+1),證明如下:

=2-ln4>0.∴g(x)≥g(3)>0.即

x+1

>ln(x+1).設(shè)

g(x)=x+1

-ln(x+1),又g(3)=3+1

-ln(3+1)在(3,+∞)

上為增函數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例2由(1)知g(x)在(-1,3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

3

設(shè)函數(shù)

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值;(2)若當(dāng)

x[a+1,a+2]時(shí),恒有|f(x)|≤a,試確定

a的取值范圍.13解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,

∵0<a<1,∴a<3a.令f(x)=0得x=a

或x=3a.當(dāng)

x

變化時(shí),f(x),f(x)

的變化情況如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f(x)-0+0-f(x)

極小值極大值

由上表可知,

f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間是(a,3a),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,a)和(3a,+∞).當(dāng)

x=a

時(shí),

f(x)

取極小值f(a)=-

a3+b;43當(dāng)

x=3a

時(shí),

f(x)

取極大值f(3a)=b.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例3設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

3

設(shè)函數(shù)

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值;(2)若當(dāng)

x[a+1,a+2]時(shí),恒有|f(x)|≤a,試確定

a的取值范圍.13解:(2)∵0<a<1,∴2a<a+1.∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,

∴f(x)=-x2+4ax-3a2在

[a+1,a+2]上為減函數(shù).f(x)min=f(a+2)=4a-4.

∵當(dāng)

x[a+1,a+2]時(shí),恒有|f(x)|≤a,即-a≤f(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a且2a-1≤a.

解得

≤a≤1.

45又0<a<1,故

a的取值范圍是[,1).45導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例3設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+

已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在x=0處取得極值,曲線

y=f(x)

過原點(diǎn)和點(diǎn)

P(-1,2).若曲線

f(x)

在點(diǎn)P處的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角.(1)求

f(x)的解析式;(2)若

f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]

遞增,求

m

的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

4解:(1)∵曲線

y=f(x)=ax3+bx2+cx+d過原點(diǎn),∴

f(0)=0d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.∵函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx

在x=0處取得極值,∴f(0)=0c=0.∵過點(diǎn)

P(-1,2)的切線斜率為

f(-1)=3a-2b,而曲線

f(x)在點(diǎn)P的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角,解得

f(-1)=-3.又

f(-1)=2,∴||=1且f(-1)<0.2-f(-1)1+2f(-1)∴3a-2b=-3且-a+b=2.解得

a=1,b=3.∴f(x)=x3+3x2.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x

已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在x=0處取得極值,曲線

y=f(x)

過原點(diǎn)和點(diǎn)

P(-1,2).若曲線

f(x)

在點(diǎn)P處的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角.(1)求

f(x)的解析式;(2)若

f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]

遞增,求

m

的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

4解:(2)由(1)知f(x)=3x2+6x.又由f(x)>0x<-2或x>0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2]和[0,+∞).∵函數(shù)

f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]

遞增,

∴2m-1<m+1≤-2或m+1>2m-1≥0.∴[2m-1,m+1]

(-∞,-2]或[2m-1,m+1][0,+∞).解得

m≤-3或≤m<2.12即

m

的取值范圍是(-∞,-3]∪[,2).12已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

5

已知函數(shù)

f(x)=x3-ax2-3x.(1)若

f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若

x=-是f(x)的極值點(diǎn),求

f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=bx

的圖象與函數(shù)f(x)

的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),若存在,求出實(shí)數(shù)b的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.13解:(1)由已知f(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),∴在[1,+∞)上恒有f(x)≥0,即

3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.則必有

≤1且f(1)=-2a≥0.a3解得

a≤0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].由于f(0)=-3<0,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例5已知函數(shù)f(x)=x3-ax2∴f(x)=3x2-8x-3.在[1,4]上,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)

的變化情況如下表:∴f(x)在

[1,4]上的最大值是f(1)=-6.(3)函數(shù)g(x)

與f(x)

的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),即方程x3-4x2-3x=bx

恰有三個(gè)不等實(shí)根.(2)由題設(shè)f(-)=0,即+a-3=0.131323解得

a=4.令

f(x)=0得x=-或

3.13x1(1,3)3(3,4)4f(x)-0+f(x)

-6-18-12∵x=0

是方程一個(gè)的根,∴方程x2-4x-3=b

即x2-4x-(3+b)=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根.∴△=16+4(3+b)>0且3+b0.解得

b>-7且b-3.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-7,-3)∪(-3,+∞).∴f(x)=3x2-8x-3.在[1,4]上,

已知函數(shù)

f(x)=x2eax,其中

a≤0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)

f(x)的單調(diào)性;(2)求函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

6解:(1)∵f(x)=x2eax,

∴f(x)=2xeax+x2eaxa=(ax2+2x)eax.∵a≤0,∴對(duì)函數(shù)

f(x)的單調(diào)性可討論如下:①當(dāng)a=0時(shí),由f(x)<0得x<0;由f(x)>0得x>0.∴f(x)

在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;②當(dāng)a<0時(shí),由f(x)<0得x<0或x>-;2a由f(x)>0得0<x<-

.2a在(-

,+∞)上也單調(diào)遞減.2a∴f(x)

在(0,-)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,2a已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a≤0,e

已知函數(shù)

f(x)=x2eax,其中

a≤0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)

f(x)的單調(diào)性;(2)求函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

6解:(2)由(1)知當(dāng)a=0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上為增函數(shù);∴當(dāng)a=0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值為f(1)=1;當(dāng)-2≤a<0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上為增函數(shù);∴當(dāng)a<-2

時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值為:當(dāng)a<-2

時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上先增后減,∴當(dāng)-2≤a<0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值為f(1)=ea;且在x=-

時(shí)取最大值.2af(-)=

.2aa2e24已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a≤0,e導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

7證:(1)∵x<e2,∵當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,

∴g(x)在

(1,+∞)上為增函數(shù).又

g(x)在

x=1處連續(xù),∴f(x)=lnx<2.

已知函數(shù)

f(x)=lnx.(1)求證:當(dāng)

1<x<e2時(shí),有x<;(2)求證:當(dāng)

x>a>0

時(shí),恒有ax

<<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a22-f(x)2+f(x)∴要證x<成立,即lnx>成立.

x+12(x-1)記

g(x)=lnx-.x+12(x-1)則

g(x)=-

(x+1)2

4

1x只要證明x(2-lnx)<2+lnx,x(x+1)2

(x-1)2

=.∴g(x)>g(1)=0.∴l(xiāng)nx>成立.

x+12(x-1)∴當(dāng)

1<x<e2時(shí),有x<成立.

2-f(x)2+f(x)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例7證:(1)∵x<e2,∵當(dāng)x>導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

7證:(2)由(1)知對(duì)任意的x(1,+∞),∴h(x)在

(1,+∞)上為減函數(shù).

已知函數(shù)

f(x)=lnx.(1)求證:當(dāng)

1<x<e2時(shí),有x<;(2)求證:當(dāng)

x>a>0

時(shí),恒有ax

<<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a2都有

lnx>成立.

x+12(x-1)∵當(dāng)

x>a>0

時(shí),>1,

ax∴l(xiāng)n>.axax+12(-1)ax∴l(xiāng)nx-lna>.x+a2(x-a)lnx-lnax-a∴<,x+a2記

h(x)=lnx-,x

x-1則

h(x)=

xx

-(x-1)2

12<0,

x-af(x)-f(a)即

<.x+a2∴h(x)<h(1)=0.∴對(duì)任意的x(1,+∞),都有l(wèi)nx<

.x

x-1x-af(x)-f(a)同理可證

ax

<.x+a2∴

ax

<<.x-af(x)-f(a)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例7證:(2)由(1)知對(duì)任意的x(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

8

已知函數(shù)

f(x)=(-1)2+(-1)2

的定義域?yàn)閇m,n),且1≤m<n≤2.(1)討論

f(x)的單調(diào)性;(2)證明:對(duì)任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.xmnx(1)解:∵f(x)=(-1)2+(-1)2xmnx=+--

+2,m2x2x2n22xm2nx∴f(x)=-

-+

m22xx32n22m2nx2m2x32=(x4-m2n2-mx3+m2nx)m2x32=(x2-mx+mn)(x+

mn)(x-

mn)∵1≤m≤x<n≤2,

∴>0,

m2x32x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+

mn>0.∴由

f(x)<0得m≤x<mn;由

f(x)>0得mn

<x<n.∴f(x)在[m,mn)上是減函數(shù),在[mn,n)上是增函數(shù).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)f(x)=(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

8

已知函數(shù)

f(x)=(-1)2+(-1)2

的定義域?yàn)閇m,n),且1≤m<n≤2.(1)討論

f(x)的單調(diào)性;(2)證明:對(duì)任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.xmnx另解:由題設(shè)

f(x)=(+-1)2-

+1.xmnx2nm令

t=+,xmnx∵1≤m<n≤2,

x[m,n),nm則

t≥2

=2xmnx>2,t=-.

1mx2n∴由

t<0得m≤x<mn;由

t>0得mn

<x<n.∴t(x)在[m,mn)上是減函數(shù),在[mn,n)上是增函數(shù).∵函數(shù)

y=(t-1)2-

+1在[1,+∞)上是增函數(shù),2nm∴f(x)在[m,mn)上是減函數(shù),在[mn,n)上是增函數(shù).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)f(x)=(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

8

已知函數(shù)

f(x)=(-1)2+(-1)2

的定義域?yàn)閇m,n),且1≤m<n≤2.(1)討論

f(x)的單調(diào)性;(2)證明:對(duì)任意

x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.xmnx∴對(duì)任意的

x1,x2[m,n),有(2)證:由(1)知

f(x)

在[m,n)上的最小值為f(mn)=2(-1)2,nm最大值為f(m)=(-1)2.nm|f(x1)-f(x2)|≤(-1)2-2(-1)2nmnm=()2-4+4-1.nmnmnm令

u=,h(u)=u4-4u2+4u-1.nm∵1≤m<n≤2,

∴1<≤2.nm∴1<u≤2.∵h(yuǎn)(u)=4u3-8u+4=4(u-1)(u+

)(u-)>0,5+125-12∴h(u)在

(1,2

]上是增函數(shù).=42-5.故對(duì)任意

x1,x2[m,n),|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.∴h(u)≤h(2)=4-8+42-1

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例8已知函數(shù)f(x)=(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

9

已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為

C=25000+200x+x2(元),問:(1)要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?(2)若產(chǎn)品以每件500

元售出,要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?401解:(1)設(shè)平均成本為

y(元),則

y=25000+200x+x2x401當(dāng)且僅當(dāng)x=1000時(shí)取等號(hào).

(2)利潤(rùn)函數(shù)為

L=500x-(25000+200x+x2)401=++20040xx25000x2500040x≥2+200=250.故要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品.

401=300x-

x2-2500.L=300-

x.201令L=0得x=6000,

∵當(dāng)

x<6000時(shí),L>0;當(dāng)

x>6000時(shí),L<0,∴當(dāng)

x=6000時(shí),L取得最大值.

故要使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例9已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

10

某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量

x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格

p(元/噸)之間的關(guān)系式為

p=24200-

x2,且生產(chǎn)x

噸的成本為

R=50000+200x

元.問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大?最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=收入-成本)15解:

設(shè)每月生產(chǎn)

x

噸的利潤(rùn)為

y

元,則

x≥0,且y=(24200-

x2)x-(50000+200x)15=-

x3+24000x-50000.15由

y=-

x2+24000=0

得35x=200(-200舍去).∵在

[0,+∞)

上只有一個(gè)點(diǎn)

x=200

使

y=0,∴它就是最大值點(diǎn),且最大值為-

2003+24000200-5000015=3150000(元).故每月生產(chǎn)

200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是

315

萬元.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例10某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

11

若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s元(以下稱s為賠付價(jià)格):(1)將乙方的年利潤(rùn)w(元)表示為年產(chǎn)量

t(噸)的函數(shù),并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量;(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.002t2(元),在乙方獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下,甲方要在索賠中獲得最大凈收入,應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格最大是多少?

甲方是一農(nóng)場(chǎng),乙方是一工廠,由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源,因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入.在乙方不賠付甲方的情況下,乙方的年利潤(rùn)x(元)與年產(chǎn)量

t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系

x=2000t.解:

(1)∵賠付價(jià)格為s元/噸,∴乙方實(shí)際年利潤(rùn)

w=2000t

-st.∵w=2000t

-s(t

)2

=-s(t

-)2+.

s1000s10002

∴當(dāng)t=時(shí),w

取得最大值.s210002

s210002

∴乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量為

噸.

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例11若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付另解:

∵賠付價(jià)格為s元/噸,∴乙方實(shí)際年利潤(rùn)

w=2000t

-st.由w=-s=,t1000t1000-st令w=0得t=t0=.s210002

∵當(dāng)

t<t0時(shí),w>0;當(dāng)

t>t0時(shí),w<0,∴當(dāng)

t=t0時(shí),w取得最大值.

s210002

∴乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量為

噸.

(2設(shè)甲方凈收入為v元,則v=st-0.002t2,將t=代入上式得:s210002

又

v=-+

s210002

s5810003

v=-.s10002

s4210003

s510002(8000-s3)

=.令v=0得s=20.∵當(dāng)

s<20時(shí),v>0;當(dāng)

s>20時(shí),v<0,∴當(dāng)

s=20時(shí),v取得最大值.

故甲方應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格為

20元/噸.

另解:∵賠付價(jià)格為s元/噸,∴乙方實(shí)際年利潤(rùn)w

某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形高科技工業(yè)園區(qū).

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

12

已知AB⊥BC,OA//BC,且

AB=BC=2AO=4

km,曲線段OC是以O(shè)為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線的一段.OABC

如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在

AB、BC上,且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC上,問應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積(精確到0.1

km2).OABCxyQPN解:

以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為y

軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.依題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),且C(4,2).∴22=2p42p=1.∴曲線段OC的方程為y2=x(0≤x≤4,y≥0).設(shè)

P(x,x)

(0≤x<4)為曲線段OC上的任意一點(diǎn),某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非則矩形PQBN中,|PQ|=2+

x,|PN|=4-x,工業(yè)區(qū)面積S=|PQ||PN|=(2+

x)(4-x)=-x-2x+4x+8,2321∴S=-x-2+2x-

,212132令

S=0得-x-2+2x-

=0.212132即

3x+4x-4=0.21∴(3

x-2)(x+2)=0.∴x=

.49∵當(dāng)

x(0,)時(shí),S>0;當(dāng)

x(,4)時(shí),S<0,4949∴當(dāng)

x=時(shí),S

取到極大值,49=

,83此時(shí)|PQ|=2+

x|PN|=4-x932=.∴S==83932272569.5.∵當(dāng)

x=0時(shí),S=8<9.5,∴Smax9.5(km2).83932故把工業(yè)園區(qū)規(guī)劃成長(zhǎng)

km,寬km的矩形時(shí)面積最大,最大面積約為9.5

km2.則矩形PQBN中,|PQ|=2+x,|P小魔方站作品盜版必究語文小魔方站作品盜版必究語文更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您下載使用！更多精彩內(nèi)容，微信掃描二維碼獲取掃描二維碼獲取更多資源謝謝您導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(理)公開課1等獎(jiǎng)?wù)n件導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(理)公開課1等獎(jiǎng)?wù)n件附贈(zèng)中高考狀元學(xué)習(xí)方法附贈(zèng)中高考狀元學(xué)習(xí)方法群星璀璨---近幾年全國(guó)高考狀元薈萃群星璀璨---近幾年全國(guó)高考狀元薈萃

前言

高考狀元是一個(gè)特殊的群體，在許多人的眼中，他們就如浩瀚宇宙里璀璨奪目的星星那樣遙不可及。但實(shí)際上他們和我們每一個(gè)同學(xué)都一樣平凡而普通，但他們有是不平凡不普通的，他們的不平凡之處就是在學(xué)習(xí)方面有一些獨(dú)到的個(gè)性，又有著一些共性，而這些對(duì)在校的同學(xué)尤其是將參加高考的同學(xué)都有一定的借鑒意義。前言高考狀元是一青春風(fēng)采青春風(fēng)采青春風(fēng)采青春風(fēng)采北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：692分(含20分加分)

語文131分?jǐn)?shù)學(xué)145分英語141分文綜255分畢業(yè)學(xué)校：北京二中

報(bào)考高校：北京大學(xué)光華管理學(xué)院北京市文科狀元陽光女孩--何旋高考總分：來自北京二中，高考成績(jī)672分，還有20分加分?！昂涡o人最深的印象就是她的笑聲，遠(yuǎn)遠(yuǎn)的就能聽見她的笑聲?！卑嘀魅螀蔷┟氛f，何旋是個(gè)陽光女孩?！八菍W(xué)校的攝影記者，非常外向，如果加上20分的加分，她的成績(jī)應(yīng)該是692?！眳抢蠋熣f，何旋考出好成績(jī)的秘訣是心態(tài)好。“她很自信，也很有愛心?？荚嚱Y(jié)束后，她還問我怎么給邊遠(yuǎn)地區(qū)的學(xué)校捐書”。來自北京二中，高考成績(jī)672分，還有20分加分?！昂涡o人最班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績(jī)，我覺得，很重要的是，何旋是土生土長(zhǎng)的北京二中的學(xué)生，二中的教育理念是綜合培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)和能力。我覺得何旋，她取得今天這么好的成績(jī)，一個(gè)來源于她的扎實(shí)的學(xué)習(xí)上的基礎(chǔ)，還有一個(gè)非常重要的，我覺得特別想提的，何旋是一個(gè)特別充滿自信，充滿陽光的這樣一個(gè)女孩子。在我印象當(dāng)中，何旋是一個(gè)最愛笑的，而且她的笑特別感染人的。所以我覺得她很陽光，而且充滿自信，這是她突出的這樣一個(gè)特點(diǎn)。所以我覺得，這是她今天取得好成績(jī)當(dāng)中，心理素質(zhì)非常好，是非常重要的。班主任：我覺得何旋今天取得這樣的成績(jī)，我覺得，很重要的是，高考總分:711分

畢業(yè)學(xué)校:北京八中

語文139分?jǐn)?shù)學(xué)140分英語141分理綜291分報(bào)考高校：北京大學(xué)光華管理學(xué)院北京市理科狀元楊蕙心高考總分:711分

畢業(yè)學(xué)校:北京八中

語文139分?jǐn)?shù)學(xué)1班主任孫燁：楊蕙心是一個(gè)目標(biāo)高遠(yuǎn)的學(xué)生，而且具有很好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。學(xué)習(xí)效率高是楊蕙心的一大特點(diǎn)，一般同學(xué)兩三個(gè)小時(shí)才能完成的作業(yè)，她一個(gè)小時(shí)就能完成。楊蕙心分析問題的能力很強(qiáng)，這一點(diǎn)在平常的考試中可以體現(xiàn)。每當(dāng)楊蕙心在某科考試中出現(xiàn)了問題，她能很快找到問題的原因，并馬上拿出解決辦法。班主任孫燁：楊蕙心是一個(gè)目標(biāo)高遠(yuǎn)的學(xué)生，而且具有很好的學(xué)習(xí)孫老師說，楊蕙心學(xué)習(xí)效率很高，認(rèn)真執(zhí)行老師的復(fù)習(xí)要求，往往一個(gè)小時(shí)能完成別人兩三個(gè)小時(shí)的作業(yè)量，而且計(jì)劃性強(qiáng)，善于自我調(diào)節(jié)。此外，學(xué)校還有一群與她實(shí)力相當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)，他們經(jīng)常在一起切磋、交流，形成一種良性的競(jìng)爭(zhēng)氛圍。談起自己的高考心得，楊蕙心說出了“聽話”兩個(gè)字。她認(rèn)為在高三沖刺階段一定要跟隨老師的腳步?！袄蠋熃榻B的都是多年積累的學(xué)習(xí)方法，肯定是最有益的?！备呷o張的學(xué)習(xí)中，她常做的事情就是告誡自己要堅(jiān)持，不能因?yàn)橐淮慰荚嚦煽?jī)就否定自己。高三的幾次模擬考試中，她的成績(jī)一直穩(wěn)定在年級(jí)前5名左右。孫老師說，楊蕙心學(xué)習(xí)效率很高，認(rèn)真執(zhí)行老師的復(fù)習(xí)要求，往往一導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(理)公開課1等獎(jiǎng)?wù)n件上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學(xué)理科班學(xué)生班級(jí)職務(wù)：學(xué)習(xí)委員高考志愿：復(fù)旦經(jīng)濟(jì)高考成績(jī)：語文127分?jǐn)?shù)學(xué)142分英語144分物理145分綜合27分總分585分上海2006高考理科狀元--武亦文武亦文格致中學(xué)理科班學(xué)生

“一分也不能少”

“我堅(jiān)持做好每天的預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，每天放學(xué)回家看半小時(shí)報(bào)紙，晚上10：30休息，感覺很輕松地度過了三年高中學(xué)習(xí)?！碑?dāng)?shù)弥约旱母呖汲煽?jī)后，格致中學(xué)的武亦文遺憾地說道，“平時(shí)模擬考試時(shí)，自己總有一門滿分，這次高考卻沒有出現(xiàn)，有些遺憾?！?/p>

“一分也不能少”“我堅(jiān)持做好每天的預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)

堅(jiān)持做好每個(gè)學(xué)習(xí)步驟

武亦文的高考高分來自于她日常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，堅(jiān)持認(rèn)真做好每天的預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)?！案咧腥?，從來沒有熬夜，上課跟著老師走，保證課堂效率?！蔽湟辔慕榻B，“班主任王老師對(duì)我的成長(zhǎng)起了很大引導(dǎo)作用，王老師辦事很認(rèn)真，凡事都會(huì)投入自己所有精力，看重做事的過程而不重結(jié)果。每當(dāng)學(xué)生沒有取得好結(jié)果，王老師也會(huì)淡然一笑，鼓勵(lì)學(xué)生注重學(xué)習(xí)的過程。”

堅(jiān)持做好每個(gè)學(xué)習(xí)步驟上海高考文科狀元--- 常方舟曹楊二中高三(14)班學(xué)生班級(jí)職務(wù)：學(xué)習(xí)委員高考志愿：北京大學(xué)中文系高考成績(jī)：語文121分?jǐn)?shù)學(xué)146分 英語146分歷史134分 綜合28分總分575分 (另有附加分10分)上海高考文科狀元--- 常方舟曹楊二中高三(14)班“我對(duì)競(jìng)賽題一樣發(fā)怵”總結(jié)自己的成功經(jīng)驗(yàn)，常方舟認(rèn)為學(xué)習(xí)的高效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚上都是10:30休息，這個(gè)生活習(xí)慣雷打不動(dòng)。早晨總是6:15起床，以保證八小時(shí)左右的睡眠。平時(shí)功課再多再忙，我也不會(huì)‘開夜車’。身體健康，體力充沛才能保證有效學(xué)習(xí)?！备呷A段，有的同學(xué)每天學(xué)習(xí)到凌晨?jī)扇c(diǎn)，這種習(xí)慣在常方舟看來反而會(huì)影響次日的學(xué)習(xí)狀態(tài)。每天課后，常方舟也不會(huì)花太多時(shí)間做功課，常常是做完老師布置的作業(yè)就算完?！拔覍?duì)競(jìng)賽題一樣發(fā)怵”總結(jié)自己的成功經(jīng)驗(yàn)，常方舟認(rèn)為學(xué)習(xí)的“用好課堂40分鐘最重要。我的經(jīng)驗(yàn)是，哪怕是再簡(jiǎn)單的內(nèi)容，仔細(xì)聽和不上心，效果肯定是不一樣的。對(duì)于課堂上老師講解的內(nèi)容，有的同學(xué)覺得很簡(jiǎn)單，聽講就不會(huì)很認(rèn)真，但老師講解往往是由淺入深的，開始不認(rèn)真，后來就很難聽懂了；即使能聽懂，中間也可能出現(xiàn)一些知識(shí)盲區(qū)。高考試題考的大多是基礎(chǔ)知識(shí)，正就是很多同學(xué)眼里很簡(jiǎn)單的內(nèi)容。”常方舟告訴記者，其實(shí)自己對(duì)競(jìng)賽試題類偏難的題目并不擅長(zhǎng)，高考出色的原因正在于試題多為基礎(chǔ)題，對(duì)上了自己的“口味”。“用好課堂40分鐘最重要。我的經(jīng)驗(yàn)是，哪怕是再簡(jiǎn)單的內(nèi)容，仔導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

1解:(1)由已知

f(x)=3x2-x-2,(2)命題等價(jià)于

f(x)在

[-1,2]上的最大值小于m.單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-

)和(1,+∞).

23

設(shè)

f(x)=x3-

x2-2x+5.(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間;(2)當(dāng)

x[-1,2]時(shí),f(x)<m恒成立,求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.12令

f(x)<0得-

<x<1;23令

f(x)>0得x<-或x>1.23∴y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

,1);2323令

f(x)=0得

x=-

或1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5

,12f(-

)=5,232722∴f(x)在

[-1,2]上的最大值為7.

∴7<m.

故實(shí)數(shù)

m的取值范圍是

(7,+∞).

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例1解:(1)由已知f(x)=3x2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

2解:(1)函數(shù)

f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞).

∴當(dāng)a<0時(shí),f(x)>0,f(x)在(-1,+∞)

上為增函數(shù);

設(shè)

f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=2.7.(1)求

f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)比較

x+1

與ln(x+1)的大小,并加以證明.2(x+1)x+1

-2a=.又

f(x)=-2x+11

x+1a當(dāng)a>0時(shí),令

f(x)<0得-1<x<4a2-1;令

f(x)>0得x>4a2-1.∴當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-1,4a2-1)

上為減函數(shù),在(4a2-1,+∞)

上為增函數(shù).綜上所述,當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞);當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4a2-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(4a2-1,+∞).導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例2解:(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閷?dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

2由(1)知

g(x)在(-1,3)

上為減函數(shù),

設(shè)

f(x)=x+1-aln(x+1),aR,且a0,取e=2.7.(1)求

f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)比較

x+1

與ln(x+1)的大小,并加以證明.解:(2)

x+1

>ln(x+1),證明如下:

=2-ln4>0.∴g(x)≥g(3)>0.即

x+1

>ln(x+1).設(shè)

g(x)=x+1

-ln(x+1),又g(3)=3+1

-ln(3+1)在(3,+∞)

上為增函數(shù),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例2由(1)知g(x)在(-1,3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

3

設(shè)函數(shù)

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值;(2)若當(dāng)

x[a+1,a+2]時(shí),恒有|f(x)|≤a,試確定

a的取值范圍.13解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,

∵0<a<1,∴a<3a.令f(x)=0得x=a

或x=3a.當(dāng)

x

變化時(shí),f(x),f(x)

的變化情況如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f(x)-0+0-f(x)

極小值極大值

由上表可知,

f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間是(a,3a),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,a)和(3a,+∞).當(dāng)

x=a

時(shí),

f(x)

取極小值f(a)=-

a3+b;43當(dāng)

x=3a

時(shí),

f(x)

取極大值f(3a)=b.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例3設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

3

設(shè)函數(shù)

f(x)=-

x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1.(1)求函數(shù)

f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值;(2)若當(dāng)

x[a+1,a+2]時(shí),恒有|f(x)|≤a,試確定

a的取值范圍.13解:(2)∵0<a<1,∴2a<a+1.∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,

∴f(x)=-x2+4ax-3a2在

[a+1,a+2]上為減函數(shù).f(x)min=f(a+2)=4a-4.

∵當(dāng)

x[a+1,a+2]時(shí),恒有|f(x)|≤a,即-a≤f(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a且2a-1≤a.

解得

≤a≤1.

45又0<a<1,故

a的取值范圍是[,1).45導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例3設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+

已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在x=0處取得極值,曲線

y=f(x)

過原點(diǎn)和點(diǎn)

P(-1,2).若曲線

f(x)

在點(diǎn)P處的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角.(1)求

f(x)的解析式;(2)若

f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]

遞增,求

m

的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

4解:(1)∵曲線

y=f(x)=ax3+bx2+cx+d過原點(diǎn),∴

f(0)=0d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.∵函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx

在x=0處取得極值,∴f(0)=0c=0.∵過點(diǎn)

P(-1,2)的切線斜率為

f(-1)=3a-2b,而曲線

f(x)在點(diǎn)P的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角,解得

f(-1)=-3.又

f(-1)=2,∴||=1且f(-1)<0.2-f(-1)1+2f(-1)∴3a-2b=-3且-a+b=2.解得

a=1,b=3.∴f(x)=x3+3x2.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x

已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2+cx+d

在x=0處取得極值,曲線

y=f(x)

過原點(diǎn)和點(diǎn)

P(-1,2).若曲線

f(x)

在點(diǎn)P處的切線與直線y=2x的夾角為45,且傾角為鈍角.(1)求

f(x)的解析式;(2)若

f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]

遞增,求

m

的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

4解:(2)由(1)知f(x)=3x2+6x.又由f(x)>0x<-2或x>0,∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2]和[0,+∞).∵函數(shù)

f(x)在區(qū)間[2m-1,m+1]

遞增,

∴2m-1<m+1≤-2或m+1>2m-1≥0.∴[2m-1,m+1]

(-∞,-2]或[2m-1,m+1][0,+∞).解得

m≤-3或≤m<2.12即

m

的取值范圍是(-∞,-3]∪[,2).12已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

5

已知函數(shù)

f(x)=x3-ax2-3x.(1)若

f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若

x=-是f(x)的極值點(diǎn),求

f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)g(x)=bx

的圖象與函數(shù)f(x)

的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),若存在,求出實(shí)數(shù)b的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.13解:(1)由已知f(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),∴在[1,+∞)上恒有f(x)≥0,即

3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.則必有

≤1且f(1)=-2a≥0.a3解得

a≤0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].由于f(0)=-3<0,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例5已知函數(shù)f(x)=x3-ax2∴f(x)=3x2-8x-3.在[1,4]上,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)

的變化情況如下表:∴f(x)在

[1,4]上的最大值是f(1)=-6.(3)函數(shù)g(x)

與f(x)

的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),即方程x3-4x2-3x=bx

恰有三個(gè)不等實(shí)根.(2)由題設(shè)f(-)=0,即+a-3=0.131323解得

a=4.令

f(x)=0得x=-或

3.13x1(1,3)3(3,4)4f(x)-0+f(x)

-6-18-12∵x=0

是方程一個(gè)的根,∴方程x2-4x-3=b

即x2-4x-(3+b)=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根.∴△=16+4(3+b)>0且3+b0.解得

b>-7且b-3.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-7,-3)∪(-3,+∞).∴f(x)=3x2-8x-3.在[1,4]上,

已知函數(shù)

f(x)=x2eax,其中

a≤0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)

f(x)的單調(diào)性;(2)求函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

6解:(1)∵f(x)=x2eax,

∴f(x)=2xeax+x2eaxa=(ax2+2x)eax.∵a≤0,∴對(duì)函數(shù)

f(x)的單調(diào)性可討論如下:①當(dāng)a=0時(shí),由f(x)<0得x<0;由f(x)>0得x>0.∴f(x)

在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;②當(dāng)a<0時(shí),由f(x)<0得x<0或x>-;2a由f(x)>0得0<x<-

.2a在(-

,+∞)上也單調(diào)遞減.2a∴f(x)

在(0,-)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,2a已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a≤0,e

已知函數(shù)

f(x)=x2eax,其中

a≤0,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)

f(x)的單調(diào)性;(2)求函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

6解:(2)由(1)知當(dāng)a=0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上為增函數(shù);∴當(dāng)a=0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值為f(1)=1;當(dāng)-2≤a<0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上為增函數(shù);∴當(dāng)a<-2

時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值為:當(dāng)a<-2

時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上先增后減,∴當(dāng)-2≤a<0時(shí),f(x)在區(qū)間

[0,1]

上的最大值為f(1)=ea;且在x=-

時(shí)取最大值.2af(-)=

.2aa2e24已知函數(shù)f(x)=x2eax,其中a≤0,e導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

7證:(1)∵x<e2,∵當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,

∴g(x)在

(1,+∞)上為增函數(shù).又

g(x)在

x=1處連續(xù),∴f(x)=lnx<2.

已知函數(shù)

f(x)=lnx.(1)求證:當(dāng)

1<x<e2時(shí),有x<;(2)求證:當(dāng)

x>a>0

時(shí),恒有ax

<<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a22-f(x)2+f(x)∴要證x<成立,即lnx>成立.

x+12(x-1)記

g(x)=lnx-.x+12(x-1)則

g(x)=-

(x+1)2

4

1x只要證明x(2-lnx)<2+lnx,x(x+1)2

(x-1)2

=.∴g(x)>g(1)=0.∴l(xiāng)nx>成立.

x+12(x-1)∴當(dāng)

1<x<e2時(shí),有x<成立.

2-f(x)2+f(x)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例7證:(1)∵x<e2,∵當(dāng)x>導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

7證:(2)由(1)知對(duì)任意的x(1,+∞),∴h(x)在

(1,+∞)上為減函數(shù).

已知函數(shù)

f(x)=lnx.(1)求證:當(dāng)

1<x<e2時(shí),有x<;(2)求證:當(dāng)

x>a>0

時(shí),恒有ax

<<.x-a2-f(x)2+f(x)f(x)-f(a)x+a2都有

lnx>成立.

x+12(x-1)∵當(dāng)

x>a>0

時(shí),>1,

ax∴l(xiāng)n>.axax+12(-1)ax∴l(xiāng)nx-lna>.x+a2(x-a)lnx-lnax-a∴<,x+a2記

h(x)=lnx-,x

x-1則

h(x)=

xx

-(x-1)2

12<0,

x-af(x)-f(a