信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件

第一章信號(hào)和系統(tǒng)信號(hào)的概念、描述和分類信號(hào)的基本運(yùn)算典型信號(hào)系統(tǒng)的概念和分類第一章信號(hào)和系統(tǒng)信號(hào)的概念、描述和分類1.1緒論一、信號(hào)的概念

消息(message)：常常把來(lái)自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。信息(information)：通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。信號(hào)(signal)：信號(hào)是反映信息的各種物理量，是系統(tǒng)直接進(jìn)行加工、變換以實(shí)現(xiàn)通信的對(duì)象。信號(hào)是信息的表現(xiàn)形式，信息是信號(hào)的具體內(nèi)容。信號(hào)是信息的載體，通過(guò)信號(hào)傳遞信息。1.1緒論一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。自然和物理信號(hào)：語(yǔ)音、圖像、地震信號(hào)、生理信號(hào)等人工產(chǎn)生的信號(hào)：人類為了達(dá)到某種目的人為產(chǎn)生的信號(hào)。雷達(dá)信號(hào)、通訊信號(hào)、醫(yī)用超聲信號(hào)、機(jī)械探傷信號(hào)等。二、系統(tǒng)的概念自然和物理信號(hào)：語(yǔ)音、圖像、地震信號(hào)、生理信號(hào)1.2信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述

1、數(shù)學(xué)描述：使用具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，把信號(hào)描述為一個(gè)或若干個(gè)自變量的函數(shù)或序列的形式。2、波形描述：按照函數(shù)自變量的變化關(guān)系，把信號(hào)的波形畫出來(lái)?！靶盘?hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述

二、信號(hào)的分類1.確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)

確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)：可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)隨機(jī)信號(hào):若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性

二、信號(hào)的分類信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)

周期信號(hào)：是指一個(gè)每隔一定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。(在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化)連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足f(t)=f(t+mT)，離散周期信號(hào)f(k)滿足f(k)=f(k+mN)，滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。

非周期信號(hào)：不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)：是指一個(gè)每隔一定信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件[例1.2.1]判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。[例1.2.1]判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周（1）

sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πs

cos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。結(jié)論：

①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，4．能量信號(hào)與功率信號(hào)

信號(hào)可看作是隨時(shí)間變化的電壓或電流，信號(hào)f(t)在１歐姆的電阻上的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在時(shí)間區(qū)間所消耗的總能量和平均功率分別定義為：能量信號(hào)：信號(hào)總能量為有限值而信號(hào)平均功率為零。功率信號(hào)：平均功率為有限值而信號(hào)總能量為無(wú)限大。4．能量信號(hào)與功率信號(hào)信號(hào)可看作是隨時(shí)間變化的電壓特點(diǎn)：信號(hào)f(t)可以是一個(gè)既非功率信號(hào)，又非能量信號(hào)，如單位斜坡信號(hào)。但一個(gè)信號(hào)不可能同時(shí)既是功率信號(hào)，又是能量信號(hào)。周期信號(hào)都是功率信號(hào)；非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)[t,f(t)=0],也可能是功率信號(hào)[t,f(t)≠0]。特點(diǎn)：5．一維信號(hào)與多維信號(hào)信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。6．因果信號(hào)若當(dāng)t<0時(shí)f(t)=0,當(dāng)t>0時(shí)f(t)≠0的信號(hào),稱為因果信號(hào)。

而若t<0時(shí)f(t)>0，t≥0，f(t)=0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。注意非因果信號(hào)指的是在時(shí)間零點(diǎn)之前有非零值。5．一維信號(hào)與多維信號(hào)1.2信號(hào)的基本運(yùn)算1.2信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算

兩信號(hào)f1(·)和f2(·)的相＋

、－、×指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘。如一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算

1.平移

將f(t)→f(t+t0)，f(k)→f(t+k0)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)<0，則將f(·)右移；否則左移。f(t-t0)將f(t)延遲時(shí)間t0

；即將f(t)

的波形向右移動(dòng)t0

。f(t+t0)將f(t)超前時(shí)間t0

；即將f(t)

的波形向左移動(dòng)t0

。二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算1.平移f(t-t0)將f(2.反轉(zhuǎn)

將f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如2.反轉(zhuǎn)3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）

將f(t)→f(at)，稱為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開。如（1）

a>1

則f(at)將f(t)的波形沿時(shí)間軸壓縮至原來(lái)的1/a壓縮3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f(t)→f（2）0<a<1

則f(at)將f(t)的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展至原來(lái)的1/a。擴(kuò)展（2）0<a<1則f(at)將f(t)的波形沿

對(duì)于離散信號(hào)，由于f(ak)僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。

對(duì)于離散信號(hào)，由于f(ak)僅在為ak[例1.3.1]已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(2-t)的波形解：平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合，注意：是對(duì)t的變換！

法一：①先平移f(t)→f(t+2)②再反轉(zhuǎn)f(t+2)→f(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)[例1.3.1]已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(2[例1.3.2]（1）已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(-2t-4)的波形解：平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行法一：也可以先平移、再壓縮、最后反轉(zhuǎn)[例1.3.2]（1）已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫法二：也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)法二：也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)（2）若已知f(–4–2t)，畫出f(t)。

解：（2）若已知f(–4–2t)，畫出f(t)。三、信號(hào)的微分和積分1、微分：信號(hào)f(t)的微分運(yùn)算指f(t)對(duì)t取導(dǎo)數(shù)，即2、積分：信號(hào)f(t)的積分運(yùn)算指f(t)在（-∞，t）區(qū)間內(nèi)的定積分，表達(dá)式為：三、信號(hào)的微分和積分結(jié)論：（1）信號(hào)經(jīng)過(guò)微分運(yùn)算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用；（2）信號(hào)經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算后，使得信號(hào)突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號(hào)中噪聲的影響。結(jié)論：1.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)一、典型的連續(xù)時(shí)間信號(hào)信號(hào)將隨時(shí)間而增長(zhǎng)信號(hào)將隨時(shí)間而衰減；信號(hào)不隨時(shí)間而變化，為直流信號(hào)指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù)，越大，指數(shù)信號(hào)增長(zhǎng)或衰減的速率越慢。（對(duì)時(shí)間的微、積分仍是指數(shù)）1.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)信號(hào)將隨時(shí)間而增長(zhǎng)信號(hào)將隨時(shí)間而（對(duì)時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦）正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期T與角頻率w和頻率f滿足下列關(guān)系式：（2）正弦信號(hào)：（對(duì)時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦）正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期

實(shí)部、虛部都為正（余）弦信號(hào)，指數(shù)因子實(shí)部表征實(shí)部與虛部的正、余弦信號(hào)的振幅隨時(shí)間變化的情況，表示信號(hào)隨角頻率變化的情況。(3)復(fù)指數(shù)信號(hào)實(shí)部、虛部都為正（余）弦信號(hào)，指數(shù)因子實(shí)部表征實(shí)部Sa(t)具有以下性質(zhì)：(4)抽樣信號(hào)Sa(t)具有以下性質(zhì)：(4)抽樣信號(hào)

（高斯函數(shù)）鐘形信號(hào)在隨機(jī)信號(hào)分析中占有重要地位。（高斯函數(shù)）鐘形信號(hào)在隨機(jī)信號(hào)分析中二、單位階躍函數(shù)1、定義

u(t)u(t)=0，（t<0）

1,（t>0）（采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)）二、單位階躍函數(shù)u(t)u(t)=0，（t<0）2、階躍函數(shù)的性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)

eg:f(t)=2u(t)-3u(t-1)+u(t-2)2、階躍函數(shù)的性質(zhì)：（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分

（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分三、單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。1、定義：

面積為1三、單位沖激函數(shù)面積為12、沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系:2、沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系:加權(quán)特性

抽樣特性

3、性質(zhì)：

單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)加權(quán)特性抽樣特性信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件2、δ(t)的尺度變換

這里a

和t0為常數(shù)，且a0。2、δ(t)的尺度變換這里a和t0為常數(shù)，且a03、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)

（也稱沖激偶）（1）定義：

稱單位二次沖激函數(shù)或沖激偶。3、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）（1）定義：（2）沖激偶的性質(zhì)沖激偶的抽樣特性:

沖激偶的加權(quán)特性:

沖激偶’(t)是t的奇函數(shù):

（2）沖激偶的性質(zhì)沖激偶的抽樣特性:四、序列δ(k)和u(k)（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義：取樣性質(zhì)：四、序列δ(k)和u(k)取樣性質(zhì)：（2）單位階躍序列u(k)的定義（3）u(k)與δ(k)的關(guān)系

δ(k)=u(k)–u(k–1)

u(k)=δ(k)+δ(k–1)+…

uu（2）單位階躍序列u(k)的定義（3）u(k)與δ(k)的關(guān)五、信號(hào)的分解信號(hào)從不同角度分解：

直流分量與交流分量偶分量與奇分量脈沖分量實(shí)部分量與虛部分量正交函數(shù)分量利用分形理論描述信號(hào)五、信號(hào)的分解1、直流分量與交流分量其中fD為直流分量即信號(hào)的平均值；fA(t)為交流分量,直流分量fD與交流分量fA(t):1、直流分量與交流分量其中fD為直流分量即信號(hào)的平均值；fA2、偶分量與奇分量2、偶分量與奇分量（1）一種分解為矩形窄脈沖分量：3、脈沖分量（2）另一分解為階躍信號(hào)分量之疊加。（1）一種分解為矩形窄脈沖分量：3、脈沖分量（2）另一分解為4.實(shí)部分量與虛部分量

對(duì)于瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)f(t)可分解為實(shí)、虛部?jī)蓚€(gè)部分之和。

其實(shí)部為：

其復(fù)數(shù)信號(hào)的模為：

其虛部為：4.實(shí)部分量與虛部分量對(duì)于瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)f(t)5、正交函數(shù)分量

用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，組成信號(hào)的各分量就是相互正交的。即：正交函數(shù)分量：由正交函數(shù)集表示5、正交函數(shù)分量用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，組成信號(hào)1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類

一、系統(tǒng)的定義若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)輸入和輸出均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。輸入和輸出均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用微分方程來(lái)描述，而離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用差分方程來(lái)描述。1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類一、系統(tǒng)的定義2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過(guò)去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無(wú)記憶系統(tǒng)。3.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。滿足疊加性是線性系統(tǒng)的必要條件。不能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)

4.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)

滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。時(shí)不變性質(zhì):若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其激勵(lì)引起的響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若T[{0}，f(t)]=yf(t)，T[{0}，f(t-td)]=yf(t-td)。4.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)

5、因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

激勵(lì)引起的響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t<t0，f(t)=0時(shí)，有t<t0，yf(t)=0。如：下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yf(t)=2f(t+1)，因?yàn)?，令t=1時(shí)，有yf(1)=2f(2)(2)yf(t)=f(2t)，因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。

也就是說(shuō)，如果響應(yīng)r(t)并不依賴于將來(lái)的激勵(lì)[如e(t+1)]，那么系統(tǒng)就是因果的。5、因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

6.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)

三、線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI,LinearTime-Invariant)

（1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：若f(t)→yf(t)，則f’(t)→y’f(t)②積分特性：若f(t)→yf(t)，則→三、線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI,LinearTime

(2）線性性質(zhì)的判別

a)

線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。T[af(·)]=aT[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)](2）線性性質(zhì)的判別

b)判別條件:動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為:y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為:yf(·)=T[{f(·)},{0}]零輸入響應(yīng)為:yx(·)=T[{0}，{x(0)}]b)判別條件:

判別條件:當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}]或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]判別條件:

③零輸入線性：T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]

③零輸入線性：[例1.5.1]判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）解：

（1）

yf(t)=2f(t)+1，yx(t)=3x(0)+1顯然，y(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性。[例1.5.1]判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？

（2）

yf(t)=|f(t)|，yx(t)=2x(0)y(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。(3)滿足可分解性滿足零狀態(tài)線性（2）yf(t)=|f(t)|，yx(滿足零狀態(tài)線性所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。滿足零狀態(tài)線性所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。[例1.5.2]判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf(k)=f(k)f(k–1)（2）yf(t)=tf(t)（3）yf(t)=f(–t)解：(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yf(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。

[例1.5.2]判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？(2)

令g(t)=f(t–td)T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3)

令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=g(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

直觀判斷方法：若f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

(2)令g(t)=f(t–td)[例1.5.3]

某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y1(t)=+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y2(t)=–2+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)。當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。

[例1.5.3]某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，由題中條件，有代入式（2）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1f(t)=–4+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成y1f(t)=[–4+cos(πt)]u(t)(4)代入式（2）得根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性→=–3δ(t)+[4–sin(πt)]u(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4+cos[π(t–1)]}u(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t)=+2f1(t–1)時(shí)，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4–πsin(πt)]u(t)+2{–4+cos[π(t–1)]}u(t–1)根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性1.6系統(tǒng)的描述

描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數(shù)學(xué)模型補(bǔ)充：

KVL可描述為：對(duì)于任一網(wǎng)絡(luò)中的任一回路，在任一時(shí)刻，沿該回路的所有電壓降的代數(shù)和恒等于零。Σu=0

。1.6系統(tǒng)的描述對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來(lái)說(shuō)，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式

對(duì)于線性時(shí)不變電感元件來(lái)說(shuō)，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到

對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來(lái)說(shuō)，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程。圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作2.系統(tǒng)的框圖描述上述方程從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來(lái)并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖。

積分器：

2.系統(tǒng)的框圖描述加法器：

數(shù)乘器：

信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件[例1.6.1]：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)[例1.6.1]：已知y”(t)+ay’(t)+by([例1.6.2]：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。[例1.6.2]：已知y”(t)+3y’(t)+2y([例1.6.3]：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。

解：設(shè)輔助變量x(t)如圖x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據(jù)前面，逆過(guò)程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)[例1.6.3]：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。二、離散系統(tǒng)1.解析描述——建立差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。

設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。二、離散系統(tǒng)所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。

描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程。信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器）遲延單元2.差分方程的模擬框圖[例1.6.4]：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)[例1.6.4]：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。1.7LTI系統(tǒng)分析概述系統(tǒng)分析研究的主要問(wèn)題：對(duì)給定的具體系統(tǒng)，求出它對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)。具體地說(shuō)：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。一、分析方法系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）外部法：時(shí)域分析（用經(jīng)典的方法求解微分方程和差分方程。）

變換域法連續(xù)系統(tǒng)—頻域法和復(fù)頻域法，離散系統(tǒng)—z域法1.7LTI系統(tǒng)分析概述二、求解思路（1）把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求。（2）把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個(gè)基本信號(hào)作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和。采用的數(shù)學(xué)工具：（1）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換（4）Z變換二、求解思路本章總結(jié)：1、信號(hào)和系統(tǒng)的概念2、信號(hào)的分類，信號(hào)的基本運(yùn)算、變換運(yùn)算3、階躍函數(shù)u(t)和沖激函數(shù)δ(t)的性質(zhì)以及相互關(guān)系4、系統(tǒng)的性質(zhì)及分類5、LTI系統(tǒng)的判別6、系統(tǒng)的描述：建立數(shù)學(xué)模型、系統(tǒng)的框圖描述7、LTI系統(tǒng)分析方法本章總結(jié)：第一章信號(hào)和系統(tǒng)信號(hào)的概念、描述和分類信號(hào)的基本運(yùn)算典型信號(hào)系統(tǒng)的概念和分類第一章信號(hào)和系統(tǒng)信號(hào)的概念、描述和分類1.1緒論一、信號(hào)的概念

消息(message)：常常把來(lái)自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。信息(information)：通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。信號(hào)(signal)：信號(hào)是反映信息的各種物理量，是系統(tǒng)直接進(jìn)行加工、變換以實(shí)現(xiàn)通信的對(duì)象。信號(hào)是信息的表現(xiàn)形式，信息是信號(hào)的具體內(nèi)容。信號(hào)是信息的載體，通過(guò)信號(hào)傳遞信息。1.1緒論一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。自然和物理信號(hào)：語(yǔ)音、圖像、地震信號(hào)、生理信號(hào)等人工產(chǎn)生的信號(hào)：人類為了達(dá)到某種目的人為產(chǎn)生的信號(hào)。雷達(dá)信號(hào)、通訊信號(hào)、醫(yī)用超聲信號(hào)、機(jī)械探傷信號(hào)等。二、系統(tǒng)的概念自然和物理信號(hào)：語(yǔ)音、圖像、地震信號(hào)、生理信號(hào)1.2信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述

1、數(shù)學(xué)描述：使用具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，把信號(hào)描述為一個(gè)或若干個(gè)自變量的函數(shù)或序列的形式。2、波形描述：按照函數(shù)自變量的變化關(guān)系，把信號(hào)的波形畫出來(lái)?！靶盘?hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2信號(hào)的描述和分類一、信號(hào)的描述

二、信號(hào)的分類1.確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)

確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)：可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)隨機(jī)信號(hào):若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性

二、信號(hào)的分類信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)

周期信號(hào)：是指一個(gè)每隔一定時(shí)間T，按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。(在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)重復(fù)變化)連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足f(t)=f(t+mT)，離散周期信號(hào)f(k)滿足f(k)=f(k+mN)，滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。

非周期信號(hào)：不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)周期信號(hào)：是指一個(gè)每隔一定信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件[例1.2.1]判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。[例1.2.1]判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周（1）

sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πs

cos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為

ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。結(jié)論：

①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，4．能量信號(hào)與功率信號(hào)

信號(hào)可看作是隨時(shí)間變化的電壓或電流，信號(hào)f(t)在１歐姆的電阻上的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在時(shí)間區(qū)間所消耗的總能量和平均功率分別定義為：能量信號(hào)：信號(hào)總能量為有限值而信號(hào)平均功率為零。功率信號(hào)：平均功率為有限值而信號(hào)總能量為無(wú)限大。4．能量信號(hào)與功率信號(hào)信號(hào)可看作是隨時(shí)間變化的電壓特點(diǎn)：信號(hào)f(t)可以是一個(gè)既非功率信號(hào)，又非能量信號(hào)，如單位斜坡信號(hào)。但一個(gè)信號(hào)不可能同時(shí)既是功率信號(hào)，又是能量信號(hào)。周期信號(hào)都是功率信號(hào)；非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)[t,f(t)=0],也可能是功率信號(hào)[t,f(t)≠0]。特點(diǎn)：5．一維信號(hào)與多維信號(hào)信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。6．因果信號(hào)若當(dāng)t<0時(shí)f(t)=0,當(dāng)t>0時(shí)f(t)≠0的信號(hào),稱為因果信號(hào)。

而若t<0時(shí)f(t)>0，t≥0，f(t)=0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。注意非因果信號(hào)指的是在時(shí)間零點(diǎn)之前有非零值。5．一維信號(hào)與多維信號(hào)1.2信號(hào)的基本運(yùn)算1.2信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算

兩信號(hào)f1(·)和f2(·)的相＋

、－、×指同一時(shí)刻兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘。如一、信號(hào)的＋、－、×運(yùn)算二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算

1.平移

將f(t)→f(t+t0)，f(k)→f(t+k0)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)<0，則將f(·)右移；否則左移。f(t-t0)將f(t)延遲時(shí)間t0

；即將f(t)

的波形向右移動(dòng)t0

。f(t+t0)將f(t)超前時(shí)間t0

；即將f(t)

的波形向左移動(dòng)t0

。二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算1.平移f(t-t0)將f(2.反轉(zhuǎn)

將f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如2.反轉(zhuǎn)3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）

將f(t)→f(at)，稱為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開。如（1）

a>1

則f(at)將f(t)的波形沿時(shí)間軸壓縮至原來(lái)的1/a壓縮3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f(t)→f（2）0<a<1

則f(at)將f(t)的波形沿時(shí)間軸擴(kuò)展至原來(lái)的1/a。擴(kuò)展（2）0<a<1則f(at)將f(t)的波形沿

對(duì)于離散信號(hào)，由于f(ak)僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。

對(duì)于離散信號(hào)，由于f(ak)僅在為ak[例1.3.1]已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(2-t)的波形解：平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合，注意：是對(duì)t的變換！

法一：①先平移f(t)→f(t+2)②再反轉(zhuǎn)f(t+2)→f(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)[例1.3.1]已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(2[例1.3.2]（1）已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫出f(-2t-4)的波形解：平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行法一：也可以先平移、再壓縮、最后反轉(zhuǎn)[例1.3.2]（1）已知信號(hào)f(t)的波形如圖所示，試畫法二：也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)法二：也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)（2）若已知f(–4–2t)，畫出f(t)。

解：（2）若已知f(–4–2t)，畫出f(t)。三、信號(hào)的微分和積分1、微分：信號(hào)f(t)的微分運(yùn)算指f(t)對(duì)t取導(dǎo)數(shù)，即2、積分：信號(hào)f(t)的積分運(yùn)算指f(t)在（-∞，t）區(qū)間內(nèi)的定積分，表達(dá)式為：三、信號(hào)的微分和積分結(jié)論：（1）信號(hào)經(jīng)過(guò)微分運(yùn)算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用；（2）信號(hào)經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算后，使得信號(hào)突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號(hào)中噪聲的影響。結(jié)論：1.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)一、典型的連續(xù)時(shí)間信號(hào)信號(hào)將隨時(shí)間而增長(zhǎng)信號(hào)將隨時(shí)間而衰減；信號(hào)不隨時(shí)間而變化，為直流信號(hào)指數(shù)信號(hào)的時(shí)間常數(shù)，越大，指數(shù)信號(hào)增長(zhǎng)或衰減的速率越慢。（對(duì)時(shí)間的微、積分仍是指數(shù)）1.4階躍信號(hào)和沖激信號(hào)信號(hào)將隨時(shí)間而增長(zhǎng)信號(hào)將隨時(shí)間而（對(duì)時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦）正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期T與角頻率w和頻率f滿足下列關(guān)系式：（2）正弦信號(hào)：（對(duì)時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦）正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期

實(shí)部、虛部都為正（余）弦信號(hào)，指數(shù)因子實(shí)部表征實(shí)部與虛部的正、余弦信號(hào)的振幅隨時(shí)間變化的情況，表示信號(hào)隨角頻率變化的情況。(3)復(fù)指數(shù)信號(hào)實(shí)部、虛部都為正（余）弦信號(hào)，指數(shù)因子實(shí)部表征實(shí)部Sa(t)具有以下性質(zhì)：(4)抽樣信號(hào)Sa(t)具有以下性質(zhì)：(4)抽樣信號(hào)

（高斯函數(shù)）鐘形信號(hào)在隨機(jī)信號(hào)分析中占有重要地位。（高斯函數(shù)）鐘形信號(hào)在隨機(jī)信號(hào)分析中二、單位階躍函數(shù)1、定義

u(t)u(t)=0，（t<0）

1,（t>0）（采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)）二、單位階躍函數(shù)u(t)u(t)=0，（t<0）2、階躍函數(shù)的性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)

eg:f(t)=2u(t)-3u(t-1)+u(t-2)2、階躍函數(shù)的性質(zhì)：（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分

（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分三、單位沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。1、定義：

面積為1三、單位沖激函數(shù)面積為12、沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系:2、沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系:加權(quán)特性

抽樣特性

3、性質(zhì)：

單位沖激函數(shù)為偶函數(shù)加權(quán)特性抽樣特性信號(hào)與系統(tǒng)課件第一章課件2、δ(t)的尺度變換

這里a

和t0為常數(shù)，且a0。2、δ(t)的尺度變換這里a和t0為常數(shù)，且a03、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)

（也稱沖激偶）（1）定義：

稱單位二次沖激函數(shù)或沖激偶。3、沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）（1）定義：（2）沖激偶的性質(zhì)沖激偶的抽樣特性:

沖激偶的加權(quán)特性:

沖激偶’(t)是t的奇函數(shù):

（2）沖激偶的性質(zhì)沖激偶的抽樣特性:四、序列δ(k)和u(k)（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義：取樣性質(zhì)：四、序列δ(k)和u(k)取樣性質(zhì)：（2）單位階躍序列u(k)的定義（3）u(k)與δ(k)的關(guān)系

δ(k)=u(k)–u(k–1)

u(k)=δ(k)+δ(k–1)+…

uu（2）單位階躍序列u(k)的定義（3）u(k)與δ(k)的關(guān)五、信號(hào)的分解信號(hào)從不同角度分解：

直流分量與交流分量偶分量與奇分量脈沖分量實(shí)部分量與虛部分量正交函數(shù)分量利用分形理論描述信號(hào)五、信號(hào)的分解1、直流分量與交流分量其中fD為直流分量即信號(hào)的平均值；fA(t)為交流分量,直流分量fD與交流分量fA(t):1、直流分量與交流分量其中fD為直流分量即信號(hào)的平均值；fA2、偶分量與奇分量2、偶分量與奇分量（1）一種分解為矩形窄脈沖分量：3、脈沖分量（2）另一分解為階躍信號(hào)分量之疊加。（1）一種分解為矩形窄脈沖分量：3、脈沖分量（2）另一分解為4.實(shí)部分量與虛部分量

對(duì)于瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)f(t)可分解為實(shí)、虛部?jī)蓚€(gè)部分之和。

其實(shí)部為：

其復(fù)數(shù)信號(hào)的模為：

其虛部為：4.實(shí)部分量與虛部分量對(duì)于瞬時(shí)值為復(fù)數(shù)的信號(hào)f(t)5、正交函數(shù)分量

用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，組成信號(hào)的各分量就是相互正交的。即：正交函數(shù)分量：由正交函數(shù)集表示5、正交函數(shù)分量用正交函數(shù)集來(lái)表示一個(gè)信號(hào)，組成信號(hào)1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類

一、系統(tǒng)的定義若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。二、系統(tǒng)的分類及性質(zhì)1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)輸入和輸出均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。輸入和輸出均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用微分方程來(lái)描述，而離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是用差分方程來(lái)描述。1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類一、系統(tǒng)的定義2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過(guò)去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無(wú)記憶系統(tǒng)。3.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。滿足疊加性是線性系統(tǒng)的必要條件。不能同時(shí)滿足齊次性與疊加性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)

4.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)

滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。時(shí)不變性質(zhì):若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其激勵(lì)引起的響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若T[{0}，f(t)]=yf(t)，T[{0}，f(t-td)]=yf(t-td)。4.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)

5、因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

激勵(lì)引起的響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t<t0，f(t)=0時(shí)，有t<t0，yf(t)=0。如：下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yf(t)=2f(t+1)，因?yàn)?，令t=1時(shí)，有yf(1)=2f(2)(2)yf(t)=f(2t)，因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。

也就是說(shuō)，如果響應(yīng)r(t)并不依賴于將來(lái)的激勵(lì)[如e(t+1)]，那么系統(tǒng)就是因果的。5、因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

6.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)

三、線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI,LinearTime-Invariant)

（1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：若f(t)→yf(t)，則f’(t)→y’f(t)②積分特性：若f(t)→yf(t)，則→三、線性時(shí)不變系統(tǒng)（LTI,LinearTime

(2）線性性質(zhì)的判別

a)

線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。T[af(·)]=aT[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)](2）線性性質(zhì)的判別

b)判別條件:動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)可寫為:y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為:yf(·)=T[{f(·)},{0}]零輸入響應(yīng)為:yx(·)=T[{0}，{x(0)}]b)判別條件:

判別條件:當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：①可分解性：y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零狀態(tài)線性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}]或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]判別條件:

③零輸入線性：T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]

③零輸入線性：[例1.5.1]判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）解：

（1）

yf(t)=2f(t)+1，yx(t)=3x(0)+1顯然，y(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性。[例1.5.1]判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？

（2）

yf(t)=|f(t)|，yx(t)=2x(0)y(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。(3)滿足可分解性滿足零狀態(tài)線性（2）yf(t)=|f(t)|，yx(滿足零狀態(tài)線性所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。滿足零狀態(tài)線性所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。[例1.5.2]判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf(k)=f(k)f(k–1)（2）yf(t)=tf(t)（3）yf(t)=f(–t)解：(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yf(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。

[例1.5.2]判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？(2)

令g(t)=f(t–td)T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3)

令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=g(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

直觀判斷方法：若f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

(2)令g(t)=f(t–td)[例1.5.3]

某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y1(t)=+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y2(t)=–2+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)。當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。

[例1.5.3]某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，由題中條件，有代入式（2）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1f(t)=–4+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫成y1f(t)=[–4+cos(πt)]u(t)(4)代入式（2）得根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性→=–3δ(t)+[4–sin(πt)