信息與通信第四章：根軌跡法課件

第四章：根軌跡法第四章：根軌跡法1教學(xué)目的對于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分析控制系統(tǒng)，而對于高階系統(tǒng)，用微分方程的方法求解就比較困難。根軌跡方法是分析和設(shè)計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用起來比較簡便，因此在工程設(shè)計中獲得了廣泛應(yīng)用。通過本章內(nèi)容學(xué)習(xí)，要使學(xué)生懂得根軌跡的概念，根軌跡的作圖方法，以及根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。教學(xué)目的對于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分2本章重點1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：本章重點1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：3本章重點2、根軌跡的繪制方法，八個法則3、廣義根軌跡的概念4、根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系5、幾個基本要概念根軌跡的概念：根軌跡是指開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)特征根相應(yīng)在s平面上運動的軌跡。根軌跡增益k*與開環(huán)增益k的關(guān)系：根據(jù)對傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式的分解，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成二種不同的表達式。本章重點2、根軌跡的繪制方法，八個法則5、幾個基本要概念4本章重點尾1型：時間常數(shù)表達式首1型：零極點形式K*與k的關(guān)系：K*是根軌跡增益；k是開環(huán)增益本章重點尾1型：時間常數(shù)表達式首1型：零極點形式K*與k的關(guān)5本章要求1、正確理解根軌跡的概念2、掌握根軌跡繪制方法（以開環(huán)增益k為變量）3、廣義根軌跡繪制方法（以系統(tǒng)其它參數(shù)為變量）4、用根軌跡分析系統(tǒng)性能了解：零度根軌跡學(xué)時：8學(xué)時本章要求1、正確理解根軌跡的概念了解：零度根軌跡6第四章第一次課一、根軌跡的基本概念1、開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。注意理解：根軌跡是由開環(huán)系統(tǒng)來作閉環(huán)系統(tǒng)極點的運動的軌跡一般系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)比較復(fù)雜，而開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式相對簡單，所以繪制根軌跡比較容易。2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以開環(huán)增益為變量參數(shù)）；廣義根軌跡（除開環(huán)增益k外，以其他參數(shù)為變量）。第四章第一次課一、根軌跡的基本概念2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以7第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌跡（具有正反饋系統(tǒng)）。4、根軌跡方程：幅值條件、相角條件，根軌跡上的任意一點都得滿足這二個條件。二、根軌跡的繪制方法，七個基本繪圖法則第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌8第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則二、由根軌求閉環(huán)系統(tǒng)的極點三、廣義根軌跡1、參數(shù)根軌跡，正確理解等效單位反饋，等效傳遞函數(shù)問題：如何解析出等效傳遞函數(shù)2、零度根軌跡第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則9第四章第三次課一、零度根軌跡什么情況下產(chǎn)生零度根軌跡零度根軌跡與常規(guī)根軌跡的差別二、系統(tǒng)性能分析第四章第三次課一、零度根軌跡10第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡二、本章小結(jié)第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡11

要求解系統(tǒng)的特征根，對于高于三階的系統(tǒng)，求根比較困難，如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對特征根的影響時，需要大量反復(fù)的計算，同時還不能直觀地看出系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的影響趨勢。為了避免直接求解高階方程的特征根困難，1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法。要求解系統(tǒng)的特征根，對于高于三階的系統(tǒng)，求根比較12

根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化至無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。

注意概念，根軌跡是通過開環(huán)系統(tǒng)來研究閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化。根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參131.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)設(shè)控制系統(tǒng)及系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖所示，當(dāng)k從0→∞時，求系統(tǒng)特征根的變化。1.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s14注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對應(yīng)同一個K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時，兩個負實根k=0.5時，s1=s2=－10.5＜k＜∞時，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對應(yīng)同一個K152.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系

有了根軌跡，就可以立即分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性:穩(wěn)定性：如果從k＝0到k＝∞，根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，說明系統(tǒng)對所有的k值都是穩(wěn)定的。如果越過虛軸進入右半s平面，此時根軌跡與虛軸交點處的k值就是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界增益。動態(tài)性能：從根軌跡圖可以分析出系統(tǒng)的工作狀態(tài)，如過阻尼狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)……2.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系有了根軌跡，就可以立即分析系16GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG結(jié)論：1零點、2極點、3根軌跡增益3.根軌跡增益、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系K*為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zif17結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2）閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞函數(shù)的極點所組成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。3）閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益k*均有關(guān)。4）根軌跡法的基本任務(wù)就是如何由已知的開環(huán)零、極點的分布，通過圖解的方法，求出閉環(huán)的極點。結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益18

4.根軌跡方程

由于根軌跡是所有閉環(huán)極點的集合，而閉環(huán)極點又是特征方程的特征根，為了求出所有的閉環(huán)極點，研究一下閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。特征方程1+GH=0或：GH＝－1

所以，只要將閉環(huán)特征方程化為根軌跡方程，就可以繪出根軌跡圖，由于GH是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這樣就達到了從開環(huán)傳遞函數(shù)出發(fā)，研究閉環(huán)系統(tǒng)的目的。4.根軌跡方程由于根軌跡是所有閉環(huán)極點的集合，而閉環(huán)極點19根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi開環(huán)極點“×”,也是常數(shù)！開環(huán)零點“○”,是常數(shù)！Zji=1n∏根軌跡增益K*，不是定數(shù)，從0~∞變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(-)根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏s20根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件

確定根軌跡上某點對應(yīng)的K*值根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss21根軌跡的分支數(shù)法則一根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階次，即開環(huán)極點個數(shù)。

根軌跡的連續(xù)性與對稱性法則二根軌跡連續(xù)且對稱于實軸。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則根軌跡的分支數(shù)4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則22根軌跡的起點和終點根軌跡的起點是指k=0時的特征根位置，根軌跡的終點是指時的特征根位置。根軌跡起始于開環(huán)極點。此時開環(huán)極點就是閉環(huán)極點。根軌跡的起點和終點23法則三根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。若n>m,則有(n-m)條根軌跡終止于[s]平面無窮遠處。[信息與通信]第四章：根軌跡法課件24

根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s]平面無窮遠處。漸近線可認為是時的根軌跡。根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s25[信息與通信]第四章：根軌跡法課件26法則四

如果m<n,k→∞時，根軌跡有漸近線

n-m條。這些漸近線在實軸上交于一點，

漸近線與實軸正方向的夾角是p150例法則四如果m<n,k→∞時，根軌跡有漸近線p150例27實軸上的根軌跡

設(shè)其中是共軛復(fù)數(shù)極點。°=°-°=-D--D=-D--D--D--D=D￥-°-=°----°=-D--D--D--D=D0180180)()(

)()()()()()(,)180180)(0

)()(

)()()()(,3212322212122131211111131pszspspspszssHsGszpspspszssHsGspz有中間取非根軌跡的點，在（則有之間取根軌跡上的點與在qq實軸上的根軌跡設(shè)°=°-°=-D--D=-D--D--D-28法則五

實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域是根軌跡。法則五實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實29系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點，表明閉環(huán)特征方程有重根，重根條件為兩式相除得法則六根軌跡在實軸上的分離點的坐標(biāo)應(yīng)滿足上述方程。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點，表明閉環(huán)特征30根軌跡與虛軸的交點

法則七

根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點，即特征方程有純虛根。

根軌跡與虛軸的交點法則七根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)31

例4-2-1負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡。解開環(huán)極點為1）根軌跡的分支數(shù)等于3。2）根軌跡起點為（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)。終點均為無窮遠。例4-2-1負反饋系統(tǒng)的開環(huán)32

3）漸近線三條，實軸上交點坐標(biāo)是：漸近線與實軸正方向夾角：

4）實軸上的根軌跡（-∞，-2]段及[-1，0]段。5）求實軸上的分離點坐標(biāo)

3）漸近線三條，實軸上交點坐標(biāo)是：33求分離點:求分離點:34根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角，如。終止角：根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角，如。在根軌跡上取一試驗點，根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點35起始角表達式同理可求出終止角表達式法則八

始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的根軌跡的起始角和止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的終止角按上兩式計算。起始角表達式36

法則9:

根之和：若n-m>=2，則有根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出法則9:根之和：根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出37例4-2-3負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：1）根軌跡的分支數(shù)等于2。2）根軌跡起點是。終點是及無窮遠。3）因為n=2,m=1,所以只有一條漸近線，是負實軸。4）實軸上的根軌跡是（-∞，-１]。

例4-2-3負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為385）根軌跡在實軸上的會合點坐標(biāo)

是根軌跡與實軸分離點，不是根軌跡上的點，舍去。６）起始角5）根軌跡在實軸上的會合點坐標(biāo)39

解：⑴根軌跡的起點、終點及分支數(shù)

⑵實軸上的根軌跡[0,-3]

例4-4設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。

系統(tǒng)有4條根軌跡分支，它們的起點為開環(huán)極點（0，-3，），終點為無窮遠處。

⑶根軌跡的漸近線

漸近線與實軸的夾角分別為、，漸近線與實軸的交點為。解：⑴根軌跡的起點、終點及分支數(shù)⑵實軸上的40

⑷根軌跡的分離點

根據(jù)公式，可得分離點為，分離角為，對應(yīng)分離點的值

⑸復(fù)數(shù)極點的起始角

系統(tǒng)特征方程為

⑹根軌跡與虛軸的交點令，實部和虛部分別為零，得⑷根軌跡的分離點根據(jù)公式，可得分離點為41繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表42繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表43廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*

發(fā)生變化外，還有許多參數(shù)，如時間常數(shù)。時間常數(shù)參數(shù)發(fā)生變化也會影響根軌跡的運動。以開環(huán)增益k*為可變參量的常規(guī)根軌跡是最常見的。若需要研究除k*外的其它參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，就要繪制以其它參數(shù)為可變參量的根軌跡，即參數(shù)根軌跡或廣義根軌跡。廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*發(fā)生變化外，還有44廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時間常數(shù)，此時不能采用前述的方法直接繪制系統(tǒng)根軌跡，而需要把閉環(huán)特征方程式中不含的各項去除該方程，使原方程變?yōu)?/p>

其中：為等效開環(huán)傳遞函數(shù)，

在其中相當(dāng)于的位置。這樣，前述的各項規(guī)則依然有效。定義：以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，在參數(shù)根軌跡中k*是固定的。廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時間常數(shù)，此時不能采用前45參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以為參變量的根軌跡。以不含的項

，除以上式得

特征方程為參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋46參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴根軌跡的起點、終點及分支數(shù)⑵實軸上的根軌跡負實軸為根軌跡的一部分。

系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點0和無窮遠處。參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴47參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會合點根據(jù)，可得會合點為，會合角為，相應(yīng)的，。⑷復(fù)數(shù)極點

的出射角解本題的MATLAB程序為

%ks/(s2+2s+10)n=[10]d=[1210]rlocus(n,d)參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會合點根據(jù)48零度根軌跡特征方程為以下形式時，繪制零度根軌跡請注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1、K*:0~+1–2、K*:0~–1+零度根軌跡特征方程為以下形式時，繪制零度根軌跡請注意：G(s49零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角條件:2kπ零度零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱50繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個數(shù)2根軌跡對稱于軸實3根軌跡起始于,終止于開環(huán)極點開環(huán)零點()∞()∞j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*不變！不變！不變！4∣n-m∣條漸近線對稱于實軸,起點∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=不變！漸近線方向:φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…2kπ5實軸上某段右側(cè)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡偶6根軌跡的分離點j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,不變！不變！7與虛軸的交點8起始角與終止角變了繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個數(shù)2根軌51確定閉環(huán)極點的方法當(dāng)值滿足幅值條件時，對應(yīng)的根軌跡上的點，就是此時的閉環(huán)極點。同樣，利用幅值條件可確定根軌跡上任一點所對應(yīng)的值。有時已知一對主導(dǎo)共軛極點的阻尼比，要求確定閉環(huán)極點及其相應(yīng)的開環(huán)增益。為此可先畫出一條給定的線，根據(jù)它與復(fù)平面上根軌跡的交點確定一對共軛閉環(huán)極點。然后用幅值條件求相應(yīng)的開環(huán)增益，并用試探法求出滿足幅值條件的實數(shù)極點。

例4中，若給定一對主導(dǎo)極點的阻尼比

，則。確定閉環(huán)極點的方法當(dāng)值滿足幅值條件時，對應(yīng)的根軌52確定閉環(huán)極點的方法用試探法可以確定此時的另一個閉環(huán)極點為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為在圖中作60o線可得它與根軌跡的交點為

，根據(jù)幅值條件，對應(yīng)的開環(huán)增益為確定閉環(huán)極點的方法用試探法可以確定此時的另一個閉環(huán)極53應(yīng)用MATLAB繪根軌跡例，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:求系統(tǒng)的根軌跡，作阻尼線ζ=0.5，求系統(tǒng)閉環(huán)極點，求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。應(yīng)用MATLAB繪根軌跡例，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:54G=zpk([-6.93+6.93i-6.93-6.93i],[00-13.86],1);建立開環(huán)傳遞函數(shù)Gz=0.5;設(shè)阻尼系統(tǒng)figure(1);作圖(1)rlocus(G);畫G的根軌跡sgrid(z,’new’);作阻尼=0.5的阻尼線axis([-105-1010]);圖(1)坐標(biāo)系的設(shè)置K=rlocfind(G);通過光標(biāo)求阻尼=0.5的增益figure(2);作圖(2)rlocus(G);求阻尼=0.5的增益holdon;rlocus(G,K);求阻尼=0.5時系統(tǒng)的閉環(huán)極點-4.49+7.77iaxis([-405-1010])設(shè)圖(2)的坐標(biāo)系應(yīng)用MATLAB繪根軌跡G=zpk([-6.93+6.93i-6.93-6.93i55應(yīng)用MATLAB繪根軌跡t=0:0.005:3;求階躍響應(yīng),設(shè)坐標(biāo)系kos=0.5;阻尼系數(shù)wn=4.49/kos;求wn,因為:wn=σ/ζ=4.49/0.5num=wn^2;設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項式系數(shù)den=[1,2*kos*wn,wn^2];設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式系數(shù)figure(3);作圖(3)階躍響應(yīng)圖step(num,den,t);grid應(yīng)用MATLAB繪根軌跡t=0:0.005:3;求階躍響應(yīng),56應(yīng)用MATLAB繪根軌跡應(yīng)用MATLAB繪根軌跡57應(yīng)用MATLAB繪根軌跡應(yīng)用MATLAB繪根軌跡58應(yīng)用MATLAB繪根軌跡應(yīng)用MATLAB繪根軌跡59第四章：根軌跡法第四章：根軌跡法60教學(xué)目的對于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分析控制系統(tǒng)，而對于高階系統(tǒng)，用微分方程的方法求解就比較困難。根軌跡方法是分析和設(shè)計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解方法，使用起來比較簡便，因此在工程設(shè)計中獲得了廣泛應(yīng)用。通過本章內(nèi)容學(xué)習(xí)，要使學(xué)生懂得根軌跡的概念，根軌跡的作圖方法，以及根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系。教學(xué)目的對于低階控制系統(tǒng)，我們可以用求解微分方程方法來分61本章重點1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：本章重點1、根軌跡方程或：模值條件：相角條件：62本章重點2、根軌跡的繪制方法，八個法則3、廣義根軌跡的概念4、根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系5、幾個基本要概念根軌跡的概念：根軌跡是指開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零到無窮變化時，閉環(huán)特征根相應(yīng)在s平面上運動的軌跡。根軌跡增益k*與開環(huán)增益k的關(guān)系：根據(jù)對傳遞函數(shù)分子多項式和分母多項式的分解，開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成二種不同的表達式。本章重點2、根軌跡的繪制方法，八個法則5、幾個基本要概念63本章重點尾1型：時間常數(shù)表達式首1型：零極點形式K*與k的關(guān)系：K*是根軌跡增益；k是開環(huán)增益本章重點尾1型：時間常數(shù)表達式首1型：零極點形式K*與k的關(guān)64本章要求1、正確理解根軌跡的概念2、掌握根軌跡繪制方法（以開環(huán)增益k為變量）3、廣義根軌跡繪制方法（以系統(tǒng)其它參數(shù)為變量）4、用根軌跡分析系統(tǒng)性能了解：零度根軌跡學(xué)時：8學(xué)時本章要求1、正確理解根軌跡的概念了解：零度根軌跡65第四章第一次課一、根軌跡的基本概念1、開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。注意理解：根軌跡是由開環(huán)系統(tǒng)來作閉環(huán)系統(tǒng)極點的運動的軌跡一般系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)比較復(fù)雜，而開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式相對簡單，所以繪制根軌跡比較容易。2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以開環(huán)增益為變量參數(shù)）；廣義根軌跡（除開環(huán)增益k外，以其他參數(shù)為變量）。第四章第一次課一、根軌跡的基本概念2、根軌跡有常規(guī)根軌跡（以66第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌跡（具有正反饋系統(tǒng)）。4、根軌跡方程：幅值條件、相角條件，根軌跡上的任意一點都得滿足這二個條件。二、根軌跡的繪制方法，七個基本繪圖法則第四章第一次課3、從相位條件看，有180°根軌跡，有0°根軌67第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則二、由根軌求閉環(huán)系統(tǒng)的極點三、廣義根軌跡1、參數(shù)根軌跡，正確理解等效單位反饋，等效傳遞函數(shù)問題：如何解析出等效傳遞函數(shù)2、零度根軌跡第四章第二次課一、繼續(xù)講繪制根軌跡的基本法則68第四章第三次課一、零度根軌跡什么情況下產(chǎn)生零度根軌跡零度根軌跡與常規(guī)根軌跡的差別二、系統(tǒng)性能分析第四章第三次課一、零度根軌跡69第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡二、本章小結(jié)第四章第四次課一、應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡70

要求解系統(tǒng)的特征根，對于高于三階的系統(tǒng)，求根比較困難，如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對特征根的影響時，需要大量反復(fù)的計算，同時還不能直觀地看出系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的影響趨勢。為了避免直接求解高階方程的特征根困難，1948年，W.R.Evans根據(jù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程式之間的內(nèi)在聯(lián)系，提出了一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根的圖解法－根軌跡法。要求解系統(tǒng)的特征根，對于高于三階的系統(tǒng)，求根比較71

根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化至無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面上變化的軌跡。

注意概念，根軌跡是通過開環(huán)系統(tǒng)來研究閉環(huán)系統(tǒng)特征根的變化。根軌跡的概念：它是開環(huán)系統(tǒng)某一參721.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s)C(s)設(shè)控制系統(tǒng)及系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如圖所示，當(dāng)k從0→∞時，求系統(tǒng)特征根的變化。1.根軌跡概念ks(0.5s+1)ks(0.5s+1)R(s73注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對應(yīng)同一個K；根軌跡概念

-2-10jks(0.5s+1)K:0~∞特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2=－1±√1－2kk=0時，s1=0,s2=－20＜k＜0.5時，兩個負實根k=0.5時，s1=s2=－10.5＜k＜∞時，s1,2=－1±j√2k－1演示rltool注意：K一變，一組根變；K一停，一組根停；一組根對應(yīng)同一個K742.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系

有了根軌跡，就可以立即分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性:穩(wěn)定性：如果從k＝0到k＝∞，根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，說明系統(tǒng)對所有的k值都是穩(wěn)定的。如果越過虛軸進入右半s平面，此時根軌跡與虛軸交點處的k值就是系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界增益。動態(tài)性能：從根軌跡圖可以分析出系統(tǒng)的工作狀態(tài)，如過阻尼狀態(tài)、欠阻尼狀態(tài)……2.根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系有了根軌跡，就可以立即分析系75GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zifi=1)H(s)=KH*∏(s-pjhj=1)j=1∏(s-zjl)Φ(s)=∏(s-piqi=1)hj=1∏(s-pj)∏(s-zifi=1)+kG*kH*∏(s-zjl)j=1∏(s-zifi=1)∏(s-pjhj=1)*KG結(jié)論：1零點、2極點、3根軌跡增益3.根軌跡增益、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點的關(guān)系K*為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益GHG(s)=KG*∏(s-piqi=1);∏(s-zif76結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2）閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點和反饋通路傳遞函數(shù)的極點所組成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。3）閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益k*均有關(guān)。4）根軌跡法的基本任務(wù)就是如何由已知的開環(huán)零、極點的分布，通過圖解的方法，求出閉環(huán)的極點。結(jié)論：1）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益77

4.根軌跡方程

由于根軌跡是所有閉環(huán)極點的集合，而閉環(huán)極點又是特征方程的特征根，為了求出所有的閉環(huán)極點，研究一下閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。特征方程1+GH=0或：GH＝－1

所以，只要將閉環(huán)特征方程化為根軌跡方程，就可以繪出根軌跡圖，由于GH是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這樣就達到了從開環(huán)傳遞函數(shù)出發(fā)，研究閉環(huán)系統(tǒng)的目的。4.根軌跡方程由于根軌跡是所有閉環(huán)極點的集合，而閉環(huán)極點78根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi開環(huán)極點“×”,也是常數(shù)！開環(huán)零點“○”,是常數(shù)！Zji=1n∏根軌跡增益K*，不是定數(shù)，從0~∞變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(-)根軌跡方程特征方程1+GH=01+K*=0j=1m∏s79根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件

確定根軌跡上某點對應(yīng)的K*值根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0∏∏((ss80根軌跡的分支數(shù)法則一根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階次，即開環(huán)極點個數(shù)。

根軌跡的連續(xù)性與對稱性法則二根軌跡連續(xù)且對稱于實軸。4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則根軌跡的分支數(shù)4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則81根軌跡的起點和終點根軌跡的起點是指k=0時的特征根位置，根軌跡的終點是指時的特征根位置。根軌跡起始于開環(huán)極點。此時開環(huán)極點就是閉環(huán)極點。根軌跡的起點和終點82法則三根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點。若n>m,則有(n-m)條根軌跡終止于[s]平面無窮遠處。[信息與通信]第四章：根軌跡法課件83

根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s]平面無窮遠處。漸近線可認為是時的根軌跡。根軌跡的漸近線n>m，(n-m)條根軌跡沿什么方向趨于[s84[信息與通信]第四章：根軌跡法課件85法則四

如果m<n,k→∞時，根軌跡有漸近線

n-m條。這些漸近線在實軸上交于一點，

漸近線與實軸正方向的夾角是p150例法則四如果m<n,k→∞時，根軌跡有漸近線p150例86實軸上的根軌跡

設(shè)其中是共軛復(fù)數(shù)極點?！?°-°=-D--D=-D--D--D--D=D￥-°-=°----°=-D--D--D--D=D0180180)()(

)()()()()()(,)180180)(0

)()(

)()()()(,3212322212122131211111131pszspspspszssHsGszpspspszssHsGspz有中間取非根軌跡的點，在（則有之間取根軌跡上的點與在qq實軸上的根軌跡設(shè)°=°-°=-D--D=-D--D--D-87法則五

實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域是根軌跡。法則五實軸上的根軌跡：實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實88系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點，表明閉環(huán)特征方程有重根，重根條件為兩式相除得法則六根軌跡在實軸上的分離點的坐標(biāo)應(yīng)滿足上述方程。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為代入得根軌跡若有分離點，表明閉環(huán)特征89根軌跡與虛軸的交點

法則七

根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點，即特征方程有純虛根。

根軌跡與虛軸的交點法則七根軌跡與虛軸相交，說明控制系統(tǒng)90

例4-2-1負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡。解開環(huán)極點為1）根軌跡的分支數(shù)等于3。2）根軌跡起點為（0，j0)，(-1，j0)，(-2，j0)。終點均為無窮遠。例4-2-1負反饋系統(tǒng)的開環(huán)91

3）漸近線三條，實軸上交點坐標(biāo)是：漸近線與實軸正方向夾角：

4）實軸上的根軌跡（-∞，-2]段及[-1，0]段。5）求實軸上的分離點坐標(biāo)

3）漸近線三條，實軸上交點坐標(biāo)是：92求分離點:求分離點:93根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角，如。終止角：根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角，如。在根軌跡上取一試驗點，根軌跡的起始角與終止角起始角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點94起始角表達式同理可求出終止角表達式法則八

始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的根軌跡的起始角和止于開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的終止角按上兩式計算。起始角表達式95

法則9:

根之和：若n-m>=2，則有根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出法則9:根之和：根據(jù)代數(shù)式方程根與系數(shù)的關(guān)系可寫出96例4-2-3負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制系統(tǒng)的根軌跡。解：1）根軌跡的分支數(shù)等于2。2）根軌跡起點是。終點是及無窮遠。3）因為n=2,m=1,所以只有一條漸近線，是負實軸。4）實軸上的根軌跡是（-∞，-１]。

例4-2-3負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為975）根軌跡在實軸上的會合點坐標(biāo)

是根軌跡與實軸分離點，不是根軌跡上的點，舍去。６）起始角5）根軌跡在實軸上的會合點坐標(biāo)98

解：⑴根軌跡的起點、終點及分支數(shù)

⑵實軸上的根軌跡[0,-3]

例4-4設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。

系統(tǒng)有4條根軌跡分支，它們的起點為開環(huán)極點（0，-3，），終點為無窮遠處。

⑶根軌跡的漸近線

漸近線與實軸的夾角分別為、，漸近線與實軸的交點為。解：⑴根軌跡的起點、終點及分支數(shù)⑵實軸上的99

⑷根軌跡的分離點

根據(jù)公式，可得分離點為，分離角為，對應(yīng)分離點的值

⑸復(fù)數(shù)極點的起始角

系統(tǒng)特征方程為

⑹根軌跡與虛軸的交點令，實部和虛部分別為零，得⑷根軌跡的分離點根據(jù)公式，可得分離點為100繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表101繪制根軌跡的規(guī)則表繪制根軌跡的規(guī)則表102廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*

發(fā)生變化外，還有許多參數(shù)，如時間常數(shù)。時間常數(shù)參數(shù)發(fā)生變化也會影響根軌跡的運動。以開環(huán)增益k*為可變參量的常規(guī)根軌跡是最常見的。若需要研究除k*外的其它參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，就要繪制以其它參數(shù)為可變參量的根軌跡，即參數(shù)根軌跡或廣義根軌跡。廣義根軌跡控制系統(tǒng)中除了k*發(fā)生變化外，還有103廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時間常數(shù)，此時不能采用前述的方法直接繪制系統(tǒng)根軌跡，而需要把閉環(huán)特征方程式中不含的各項去除該方程，使原方程變?yōu)?/p>

其中：為等效開環(huán)傳遞函數(shù)，

在其中相當(dāng)于的位置。這樣，前述的各項規(guī)則依然有效。定義：以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡，在參數(shù)根軌跡中k*是固定的。廣義根軌跡若系統(tǒng)可變參量為時間常數(shù)，此時不能采用前104參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制以為參變量的根軌跡。以不含的項

，除以上式得

特征方程為參數(shù)根軌跡解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例7設(shè)反饋105參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴根軌跡的起點、終點及分支數(shù)⑵實軸上的根軌跡負實軸為根軌跡的一部分。

系統(tǒng)有2條根軌跡分支，起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點0和無窮遠處。參數(shù)根軌跡系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，。⑴106參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會合點根據(jù)，可得會合點為，會合角為，相應(yīng)的，。⑷復(fù)數(shù)極點

的出射角解本題的MATLAB程序為

%ks/(s2+2s+10)n=[10]d=[1210]rlocus(n,d)參數(shù)根軌跡⑶根軌跡的會合點根據(jù)107零度根軌跡特征方程為以下形式時，繪制零度根軌跡請注意：G(s)H(s)的分子分母均首一1、K*:0~+1–2、K*:0~–1+零度根軌跡特征方程為以下形式時，繪制零度根軌跡請注意：G(s108零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值條件:∑∠(