與繩子相關(guān)的問題

與繩子相關(guān)的問題繩子、桿子、彈簧是中學(xué)物理中常見的三種理想模型，在各種試題中出現(xiàn)的頻率很高，弄清與之相關(guān)的問題對處理一些物理問題大有裨益。本文擬談?wù)勁c繩子相關(guān)的問題。1．繩子的張力方向繩子的張力只能沿繩收縮的方向，不象桿子和彈簧可拉可壓?！纠?】如圖所示，一擺長為l的單擺，擺球的質(zhì)量為m,要使擺球能在豎直平面內(nèi)做完整圓周運動，那么擺球在最低點的速度v0至少為多少？【解析】小球在最高點的受力情況如圖所示，由牛頓第二定律得：v2T+mg=m，由于m、l一定，所以v越小，T就越小，當(dāng)T=0時，l小球具有不脫離軌的最小速度，從最高點到最低點過程中，小球機械能守恒，解出最低點的速度v0。v2從最高點到最低點，小球機械能守恒，2）設(shè)小球在最高點時，最小速度為v,因此得：mg=mi （1）從最高點到最低點，小球機械能守恒，2）11有：mg?2l+mv2=mv2有：2 2 0由（1）（2）得V0的最小值為v0=J5gl本題的典型錯誤是認(rèn)為小球在最高點速度為零，實際上隱含著擺球做完整的圓周運動，通過最高點時，小球的最小速度不是零，因為小球恰能到最高點繩中張力剛好為零，此時小球還受重力作用。2．繩端物體的運動當(dāng)繩端物體的運動與繩子不在一條直線上時，可將物體的運動進(jìn)行分解，物體的實際速度方向即為合速度方向，有一分速度沿著繩子所在的直線，若物體拉繩則沿繩伸長方向，若繩拉物體則沿繩縮短方向，還有一速度垂直于繩子且與繩轉(zhuǎn)動方向相同?！纠?】如圖所示，在水面上方高20m處，人用繩子通過定滑輪將水中的小船系住,并以3m/s的速度將繩子收短，開始時繩與水面夾角30°角，試求：⑴剛開始時小船的V速度；⑵5秒末小船速度的大小。V【解析】⑴將船的速度進(jìn)行分解，船實際的速度-是合速度，水平向左，分速度V］為沿繩子方向的速度，即等于將繩子收短的速度3m/s，分速度V3為繞0點以O(shè)A為半徑的繞滑輪向內(nèi)偏的圓周運動的速度，垂直于繩的方向，畫出速度分解的矢量圖如圖所示，從而求出=2^=243=3.464(m/s)⑵開始時從定滑輪到船，繩子的長度(2)A、B、C(2)A、B、C三球系統(tǒng)機械能守恒，一△Ep=AE本題的典型錯誤是將Vc直接分解為兩球的速度，應(yīng)注意到：研究C球的速度與一邊繩的關(guān)系時與另一邊繩無關(guān)，B球的作用是保證C球豎直向上運動的，類似在C球中心加一豎直桿，以保證c球豎直向上運動的作用。如圖所示。l=h/sin30°=20/0.5=40(m).5秒內(nèi)繩子縮短了3X5=15(m),5秒末繩長1’變?yōu)?0—15=25(m),此時sina'=20/25=0.8,a‘=53°。.*.VZ=V/con53°=3/0.6=5(m/s)1【例3】如圖所示，兩定滑輪間距離為2d,質(zhì)量相等的小球A和B通過繞過定滑輪的繩子帶動小球C上升，在某一時刻連接C球的兩繩夾角為2a，繩子張力為T,A、B兩球下落的速度為V,不計滑輪摩擦和繩子的質(zhì)量，繩子也不能伸長。⑴此時C球上升的速度是多少？⑵若C球質(zhì)量與A、B球相同均為m,a=30。時，三球從靜止開始運動,則a=45。時C球的速度是多少？【解析】⑴如圖，球c的速度vc為合速度，豎直向上；沿繩方向的分運動速度即為A球下落的速度V；垂直于繩繞O作向外偏的圓周運動的速度為V。2VC=V/COSa，3.繩子被繃緊瞬間繩子在瞬間被繃緊的過程中，表面上常因看不到物體有明顯位移，因而容易忽略瞬間內(nèi)力作功的過程。事實上，因有內(nèi)力瞬時做功，機械能轉(zhuǎn)化為繩子的內(nèi)能，全過程中的機械能便不再守恒.

【例4】如圖，質(zhì)量1千克的小球用0.8米長的細(xì)線懸于固定點0?，F(xiàn)將小球沿圓周拉到右上方的B【例4】如圖，質(zhì)量1千克的小球用0.8米長的細(xì)線懸于固定點0?，F(xiàn)將小球沿圓周拉到右上方的B點，此時小球離最低處A點的高度是1.2米。松手讓小球無初速下落，試求它運動到最低處時對細(xì)線的拉力?！窘馕觥壳驈腂下落到圖中的C位置時，線從松馳狀態(tài)開始張緊（易知圖中a=60°），因線張緊，之后小球才從C起開始作圓弧運動到達(dá)A。從B-C機械能確實守恒，則V=屈懇=^2xl0x0-8=°米/秒。既然在C處開始轉(zhuǎn)化為圓弧運動，意味著小球只保留了速度v的切向分量v］而損失了法向分量60°v2,也就是說損失了動能。這是因為在線張緊的瞬間，線上拉力對小球作了瞬時功，造成了動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。這樣，就B到A的全過程而言，因在C處有線對小球作瞬時功，所以不滿足“僅有重力作功”這個條件,故全過程中機械能不守恒。vj=v=2侖氷/秒懂得了以上道理，便知道小球在C處以線速度 開始作圓弧運動。在這之后，滿足了“僅有重力做功”的條件，機械能守恒。則從C-A有為T=3.5mg=35牛。；而在A為T=3.5mg=35牛。；而在A處對小球有，由此解得正確答案應(yīng)本題的典型錯誤是認(rèn)為球從B到A的過程中，只有重力做功，機械能守恒，所以有:mgh=—mV由此解得在A處，對小球又有:由此解得在A處，對小球又有:在本題中，我們看到了因有瞬時功而造成機械能損失的情況。同樣，在那個瞬間，因為我們看不到物體明顯的位移（小球在C位置時在線的方向沒有明顯位移），所以極易疏忽這個隱含的重要變化，因而常常會導(dǎo)致解題失誤。

【例5】如圖所示，光滑的水平面上有兩個小滑塊A和B,其質(zhì)量mA=6kg,mB=3婕,之間用一根輕繩相連。開始時繩子完全松馳，兩滑塊靠在一起，現(xiàn)用3N的水平恒力拉A,使A先起動，當(dāng)繩被瞬間繃直后，再拖動B一起運動，在A滑塊前進(jìn)了0.75m時，兩滑塊共同前進(jìn)的速度v=2/3m/s，求連接兩滑塊的繩長?！窘馕觥勘绢}的關(guān)鍵在于“繩子瞬間繃直”時其張力可看成遠(yuǎn)大于外力F,所以可認(rèn)為A、B組成的系統(tǒng)動量守恒。此過程相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)的動能有損失。設(shè)繩長為L,以繩子繃直前的滑塊A為研究對象，由動能定理得1FL=—mv22A1繩繃直的瞬間，可認(rèn)為T>>F,因此系統(tǒng)的動量守恒mAv1=(mA+mB)v2對于繩繃直后，A、B組成的系統(tǒng)(看成一個整體)的共同運動過程，由動能定理得11F(0.75—L)-(m+m)v2一(m+m)v2聯(lián)立解得2AB12AB2聯(lián)立解得L=0.25m象本題一類兩物體通過繩連接，繩子在繃緊瞬間屬于廣義上的完全非彈性碰撞的情況請注意上述因瞬時功造成機械能向其它能轉(zhuǎn)化的特點。處理問題時，務(wù)請注意在瞬間作用中所隱含的重