函數周期性和對稱性課件

函數的性質

--對稱性、周期性函數的性質(1)若關于直線對稱一、函數的對稱性若函數上任意一點關于某直線（或某點）的對稱點仍在上，就稱關于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為自對稱。(2)若關于點對稱兩個恒等式的形式均不唯一，要記住本質構造.(1)若關于直線對稱一、函數的對稱性定理：若函數滿足，那么函數以為對稱軸。cor.若函數滿足，那么函數以為對稱軸。即：YXOABX=a定理：若函數滿足定理：若函數滿足，那么函數關于點對稱。cor.若函數滿足，那么函數關于點對稱。即：YXOAB(a,0)定理：若函數滿足2)若,則函數關于______________對稱;注：1.當時,函數關于直線對稱2.當時,函數關于點對稱偶函數----特殊的軸對稱函數奇函數----特殊的點對稱函數一般地,1)若,則函數關于

對稱.2)若,則函數y=f(x)對稱源性質點(0,0)y軸y=xx=m點(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函數12y=f(x)對稱源性質點(0,0)y軸y=xx=m點(m,n關于x=0對稱例1：已知的圖象,畫出和的圖象，并指出兩者的關系。(-1,0)(1,0)若函數上任意一點關于某直線（或某點）的對稱點在上，就稱和關于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為互對稱。關于x=0對稱例1：已知的圖象,畫出一般地,函數和關于_______對稱.記憶：令x+a=-x+b，可求得對稱軸.變化前對稱源變化后y=f(x)點(0,0)x軸y軸y=xy=-x直線x=m直線y=n點(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)一般地,函數和例3：設的圖象與的圖象關于直線對稱，求的解析式。例2:將函數右移2個單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像關于點對稱，求C2的函數解析式。利用對稱性求解析式（一）、互對稱問題常用軌跡代入法求解析式例3：設的圖象與的圖例4：設圖象關于直線對稱,在上，求當時的解析式。例5：設是定義在R上的偶函數，它的圖象關于直線對稱，已知時,函數求當時的解析式(二)、自對稱問題常聯系恒等式進行x的變換例4：設圖象關于直線對稱,在關于直線對稱關于直線對稱關于對稱關于點對稱常見函數的對稱性一個函數本身的對稱性稱為自對稱,分成關于某直線對稱或某點對稱.原點關于直線對稱關于直線對稱關于二、函數的周期性理解（1）.是否所有周期函數都有最小正周期？1.定義:對于函數，若存在非零常數T，使得恒成立，則稱為周期函數，T是函數的一個周期。若所有周期中存在一個最小正數，則稱它是函數的最小正周期。(2).若T是的一個周期，則kT（k是非零整數）均是的周期嗎？(3)周期函數的定義域D可以為閉區(qū)間嗎？T=(a-b)思考：若,函數具有什么性質？二、函數的周期性理解（1）.是否所有周期函數都有最小正周期函數周期性和對稱性課件注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件2、常見的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明)

注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件2、常見的3.函數的對稱性與周期性的幾個常見性質。性質1.若函數以為對稱軸，那么此函數是周期函數，周期T=X=aX=b3.函數的對稱性與周期性的幾個常見性質。X=aX=b性質2.若函數以為對稱點，那么此函數是周期函數，周期T=假定(a,0)(b,0)性質2.若函數以性質3.若函數以為對稱點，以為對稱軸，那么此函數是周期函數，周期T=假定X=b(a,0)XYO性質3.若函數以為對稱點，函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件練習1:定義在R上的函數滿足且方程有1001個根，則這1001個根的和？4:如果那么3：如果那么2:函數圖象關于點對稱，則練習1:定義在R上的函數滿足4:如果5:(1)定義在R上偶函數滿足則方程在區(qū)間上至少有()個根。(2)將上題中的“偶函數”改成“奇函數”，其余條件不變，則在區(qū)間至少有()個根。6：定義在R上函數滿足條件:①不是常值函數；②③則下列命題中正確的是()A.是周期函數B.關于對稱C.關于y軸對稱D.關于原點中心對稱重要結論：若奇，且周期為T，則必有注：可用模擬圖，直觀明了5:(1)定義在R上偶函數滿足思考：若周期為，又關于對稱，能否推出是偶函數？若能，能否嚴格證明？練習:1.若為定義在R上的奇函數，且關于直線對稱，問：是否為周期函數？若是，求出它的一個周期。2.若為定義在R上偶函數且滿足問：是否關于直線對稱？若是，請給出證明。3：設奇函數，且當則思考：若周期為，函數周期性和對稱性課件5：設是定義在R上的偶函數，它的圖象關于直線對稱，已知時,函數求當時的解析式。6：函數是定義在R上的偶函數，且對任意的實數x，都有成立，若當時，(1)求時，函數的表達式；(2)求當函數的表達式；(3)若函數的最大值為解關于x不等式5：設是定義在R上的偶函數，它的圖象關于直線對函數周期性和對稱性課件函數的性質

--對稱性、周期性函數的性質(1)若關于直線對稱一、函數的對稱性若函數上任意一點關于某直線（或某點）的對稱點仍在上，就稱關于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為自對稱。(2)若關于點對稱兩個恒等式的形式均不唯一，要記住本質構造.(1)若關于直線對稱一、函數的對稱性定理：若函數滿足，那么函數以為對稱軸。cor.若函數滿足，那么函數以為對稱軸。即：YXOABX=a定理：若函數滿足定理：若函數滿足，那么函數關于點對稱。cor.若函數滿足，那么函數關于點對稱。即：YXOAB(a,0)定理：若函數滿足2)若,則函數關于______________對稱;注：1.當時,函數關于直線對稱2.當時,函數關于點對稱偶函數----特殊的軸對稱函數奇函數----特殊的點對稱函數一般地,1)若,則函數關于

對稱.2)若,則函數y=f(x)對稱源性質點(0,0)y軸y=xx=m點(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函數12y=f(x)對稱源性質點(0,0)y軸y=xx=m點(m,n關于x=0對稱例1：已知的圖象,畫出和的圖象，并指出兩者的關系。(-1,0)(1,0)若函數上任意一點關于某直線（或某點）的對稱點在上，就稱和關于某直線（或某點）對稱，這種對稱性稱為互對稱。關于x=0對稱例1：已知的圖象,畫出一般地,函數和關于_______對稱.記憶：令x+a=-x+b，可求得對稱軸.變化前對稱源變化后y=f(x)點(0,0)x軸y軸y=xy=-x直線x=m直線y=n點(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)一般地,函數和例3：設的圖象與的圖象關于直線對稱，求的解析式。例2:將函數右移2個單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像關于點對稱，求C2的函數解析式。利用對稱性求解析式（一）、互對稱問題常用軌跡代入法求解析式例3：設的圖象與的圖例4：設圖象關于直線對稱,在上，求當時的解析式。例5：設是定義在R上的偶函數，它的圖象關于直線對稱，已知時,函數求當時的解析式(二)、自對稱問題常聯系恒等式進行x的變換例4：設圖象關于直線對稱,在關于直線對稱關于直線對稱關于對稱關于點對稱常見函數的對稱性一個函數本身的對稱性稱為自對稱,分成關于某直線對稱或某點對稱.原點關于直線對稱關于直線對稱關于二、函數的周期性理解（1）.是否所有周期函數都有最小正周期？1.定義:對于函數，若存在非零常數T，使得恒成立，則稱為周期函數，T是函數的一個周期。若所有周期中存在一個最小正數，則稱它是函數的最小正周期。(2).若T是的一個周期，則kT（k是非零整數）均是的周期嗎？(3)周期函數的定義域D可以為閉區(qū)間嗎？T=(a-b)思考：若,函數具有什么性質？二、函數的周期性理解（1）.是否所有周期函數都有最小正周期函數周期性和對稱性課件注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件2、常見的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明)

注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件2、常見的3.函數的對稱性與周期性的幾個常見性質。性質1.若函數以為對稱軸，那么此函數是周期函數，周期T=X=aX=b3.函數的對稱性與周期性的幾個常見性質。X=aX=b性質2.若函數以為對稱點，那么此函數是周期函數，周期T=假定(a,0)(b,0)性質2.若函數以性質3.若函數以為對稱點，以為對稱軸，那么此函數是周期函數，周期T=假定X=b(a,0)XYO性質3.若函數以為對稱點，函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件函數周期性和對稱性課件練習1:定義在R上的函數滿足且方程有1001個根，則這1001個根的和？4:如果那么3：如果那么2:函數圖象關于點對稱，則練習1:定義在R上的函數滿足4:如果5:(1)定義在R上偶函數滿足則方程在區(qū)間上至少有()個根。(2)將上題中的“偶函數”改成“奇函數”，其余條件不變，則在區(qū)間至少有()個根。6：定義在R上函數滿足條件:①不