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函數(shù)的性質(zhì)

--對(duì)稱性、周期性函數(shù)的性質(zhì)(1)若關(guān)于直線對(duì)稱一、函數(shù)的對(duì)稱性若函數(shù)上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線(或某點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)仍在上,就稱關(guān)于某直線(或某點(diǎn))對(duì)稱,這種對(duì)稱性稱為自對(duì)稱。(2)若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)恒等式的形式均不唯一,要記住本質(zhì)構(gòu)造.(1)若關(guān)于直線對(duì)稱一、函數(shù)的對(duì)稱性定理:若函數(shù)滿足,那么函數(shù)以為對(duì)稱軸。cor.若函數(shù)滿足,那么函數(shù)以為對(duì)稱軸。即:YXOABX=a定理:若函數(shù)滿足定理:若函數(shù)滿足,那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。cor.若函數(shù)滿足,那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。即:YXOAB(a,0)定理:若函數(shù)滿足2)若,則函數(shù)關(guān)于______________對(duì)稱;注:1.當(dāng)時(shí),函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱2.當(dāng)時(shí),函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)----特殊的軸對(duì)稱函數(shù)奇函數(shù)----特殊的點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)一般地,1)若,則函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱.2)若,則函數(shù)y=f(x)對(duì)稱源性質(zhì)點(diǎn)(0,0)y軸y=xx=m點(diǎn)(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函數(shù)12y=f(x)對(duì)稱源性質(zhì)點(diǎn)(0,0)y軸y=xx=m點(diǎn)(m,n關(guān)于x=0對(duì)稱例1:已知的圖象,畫出和的圖象,并指出兩者的關(guān)系。(-1,0)(1,0)若函數(shù)上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線(或某點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)在上,就稱和關(guān)于某直線(或某點(diǎn))對(duì)稱,這種對(duì)稱性稱為互對(duì)稱。關(guān)于x=0對(duì)稱例1:已知的圖象,畫出一般地,函數(shù)和關(guān)于_______對(duì)稱.記憶:令x+a=-x+b,可求得對(duì)稱軸.變化前對(duì)稱源變化后y=f(x)點(diǎn)(0,0)x軸y軸y=xy=-x直線x=m直線y=n點(diǎn)(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)一般地,函數(shù)和例3:設(shè)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,求的解析式。例2:將函數(shù)右移2個(gè)單位得到圖像C1,有C1和C2的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,求C2的函數(shù)解析式。利用對(duì)稱性求解析式(一)、互對(duì)稱問(wèn)題常用軌跡代入法求解析式例3:設(shè)的圖象與的圖例4:設(shè)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,在上,求當(dāng)時(shí)的解析式。例5:設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,已知時(shí),函數(shù)求當(dāng)時(shí)的解析式(二)、自對(duì)稱問(wèn)題常聯(lián)系恒等式進(jìn)行x的變換例4:設(shè)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,在關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱性一個(gè)函數(shù)本身的對(duì)稱性稱為自對(duì)稱,分成關(guān)于某直線對(duì)稱或某點(diǎn)對(duì)稱.原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于二、函數(shù)的周期性理解(1).是否所有周期函數(shù)都有最小正周期?1.定義:對(duì)于函數(shù),若存在非零常數(shù)T,使得恒成立,則稱為周期函數(shù),T是函數(shù)的一個(gè)周期。若所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù),則稱它是函數(shù)的最小正周期。(2).若T是的一個(gè)周期,則kT(k是非零整數(shù))均是的周期嗎?(3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間嗎?T=(a-b)思考:若,函數(shù)具有什么性質(zhì)?二、函數(shù)的周期性理解(1).是否所有周期函數(shù)都有最小正周期函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件注:除了定義式是充要條件外,其余均為充分非必要條件2、常見(jiàn)的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明)

注:除了定義式是充要條件外,其余均為充分非必要條件2、常見(jiàn)的3.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)。性質(zhì)1.若函數(shù)以為對(duì)稱軸,那么此函數(shù)是周期函數(shù),周期T=X=aX=b3.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)。X=aX=b性質(zhì)2.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn),那么此函數(shù)是周期函數(shù),周期T=假定(a,0)(b,0)性質(zhì)2.若函數(shù)以性質(zhì)3.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn),以為對(duì)稱軸,那么此函數(shù)是周期函數(shù),周期T=假定X=b(a,0)XYO性質(zhì)3.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn),函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件練習(xí)1:定義在R上的函數(shù)滿足且方程有1001個(gè)根,則這1001個(gè)根的和?4:如果那么3:如果那么2:函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則練習(xí)1:定義在R上的函數(shù)滿足4:如果5:(1)定義在R上偶函數(shù)滿足則方程在區(qū)間上至少有()個(gè)根。(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”,其余條件不變,則在區(qū)間至少有()個(gè)根。6:定義在R上函數(shù)滿足條件:①不是常值函數(shù);②③則下列命題中正確的是()A.是周期函數(shù)B.關(guān)于對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱重要結(jié)論:若奇,且周期為T,則必有注:可用模擬圖,直觀明了5:(1)定義在R上偶函數(shù)滿足思考:若周期為,又關(guān)于對(duì)稱,能否推出是偶函數(shù)?若能,能否嚴(yán)格證明?練習(xí):1.若為定義在R上的奇函數(shù),且關(guān)于直線對(duì)稱,問(wèn):是否為周期函數(shù)?若是,求出它的一個(gè)周期。2.若為定義在R上偶函數(shù)且滿足問(wèn):是否關(guān)于直線對(duì)稱?若是,請(qǐng)給出證明。3:設(shè)奇函數(shù),且當(dāng)則思考:若周期為,函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件5:設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,已知時(shí),函數(shù)求當(dāng)時(shí)的解析式。6:函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有成立,若當(dāng)時(shí),(1)求時(shí),函數(shù)的表達(dá)式;(2)求當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式;(3)若函數(shù)的最大值為解關(guān)于x不等式5:設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),它的圖象關(guān)于直線對(duì)函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)的性質(zhì)

--對(duì)稱性、周期性函數(shù)的性質(zhì)(1)若關(guān)于直線對(duì)稱一、函數(shù)的對(duì)稱性若函數(shù)上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線(或某點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)仍在上,就稱關(guān)于某直線(或某點(diǎn))對(duì)稱,這種對(duì)稱性稱為自對(duì)稱。(2)若關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱兩個(gè)恒等式的形式均不唯一,要記住本質(zhì)構(gòu)造.(1)若關(guān)于直線對(duì)稱一、函數(shù)的對(duì)稱性定理:若函數(shù)滿足,那么函數(shù)以為對(duì)稱軸。cor.若函數(shù)滿足,那么函數(shù)以為對(duì)稱軸。即:YXOABX=a定理:若函數(shù)滿足定理:若函數(shù)滿足,那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。cor.若函數(shù)滿足,那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。即:YXOAB(a,0)定理:若函數(shù)滿足2)若,則函數(shù)關(guān)于______________對(duì)稱;注:1.當(dāng)時(shí),函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱2.當(dāng)時(shí),函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)----特殊的軸對(duì)稱函數(shù)奇函數(shù)----特殊的點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)一般地,1)若,則函數(shù)關(guān)于

對(duì)稱.2)若,則函數(shù)y=f(x)對(duì)稱源性質(zhì)點(diǎn)(0,0)y軸y=xx=m點(diǎn)(m,n)f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)f(x)=f-1(x)f(x)=f(2m-x)f(x)=2n-f(2m-x)Ex:若函數(shù)12y=f(x)對(duì)稱源性質(zhì)點(diǎn)(0,0)y軸y=xx=m點(diǎn)(m,n關(guān)于x=0對(duì)稱例1:已知的圖象,畫出和的圖象,并指出兩者的關(guān)系。(-1,0)(1,0)若函數(shù)上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線(或某點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn)在上,就稱和關(guān)于某直線(或某點(diǎn))對(duì)稱,這種對(duì)稱性稱為互對(duì)稱。關(guān)于x=0對(duì)稱例1:已知的圖象,畫出一般地,函數(shù)和關(guān)于_______對(duì)稱.記憶:令x+a=-x+b,可求得對(duì)稱軸.變化前對(duì)稱源變化后y=f(x)點(diǎn)(0,0)x軸y軸y=xy=-x直線x=m直線y=n點(diǎn)(m,n)y=-f(-x)y=-f(x)y=f(-x)y=f-1(x)y=-f-1(-x)y=f(2m-x)y=2n-f(x)y=2n-f(2m-x)一般地,函數(shù)和例3:設(shè)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,求的解析式。例2:將函數(shù)右移2個(gè)單位得到圖像C1,有C1和C2的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,求C2的函數(shù)解析式。利用對(duì)稱性求解析式(一)、互對(duì)稱問(wèn)題常用軌跡代入法求解析式例3:設(shè)的圖象與的圖例4:設(shè)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,在上,求當(dāng)時(shí)的解析式。例5:設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,已知時(shí),函數(shù)求當(dāng)時(shí)的解析式(二)、自對(duì)稱問(wèn)題常聯(lián)系恒等式進(jìn)行x的變換例4:設(shè)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,在關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱性一個(gè)函數(shù)本身的對(duì)稱性稱為自對(duì)稱,分成關(guān)于某直線對(duì)稱或某點(diǎn)對(duì)稱.原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于直線對(duì)稱關(guān)于二、函數(shù)的周期性理解(1).是否所有周期函數(shù)都有最小正周期?1.定義:對(duì)于函數(shù),若存在非零常數(shù)T,使得恒成立,則稱為周期函數(shù),T是函數(shù)的一個(gè)周期。若所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù),則稱它是函數(shù)的最小正周期。(2).若T是的一個(gè)周期,則kT(k是非零整數(shù))均是的周期嗎?(3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間嗎?T=(a-b)思考:若,函數(shù)具有什么性質(zhì)?二、函數(shù)的周期性理解(1).是否所有周期函數(shù)都有最小正周期函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件注:除了定義式是充要條件外,其余均為充分非必要條件2、常見(jiàn)的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明)

注:除了定義式是充要條件外,其余均為充分非必要條件2、常見(jiàn)的3.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)。性質(zhì)1.若函數(shù)以為對(duì)稱軸,那么此函數(shù)是周期函數(shù),周期T=X=aX=b3.函數(shù)的對(duì)稱性與周期性的幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)。X=aX=b性質(zhì)2.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn),那么此函數(shù)是周期函數(shù),周期T=假定(a,0)(b,0)性質(zhì)2.若函數(shù)以性質(zhì)3.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn),以為對(duì)稱軸,那么此函數(shù)是周期函數(shù),周期T=假定X=b(a,0)XYO性質(zhì)3.若函數(shù)以為對(duì)稱點(diǎn),函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件函數(shù)周期性和對(duì)稱性課件練習(xí)1:定義在R上的函數(shù)滿足且方程有1001個(gè)根,則這1001個(gè)根的和?4:如果那么3:如果那么2:函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則練習(xí)1:定義在R上的函數(shù)滿足4:如果5:(1)定義在R上偶函數(shù)滿足則方程在區(qū)間上至少有()個(gè)根。(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”,其余條件不變,則在區(qū)間至少有()個(gè)根。6:定義在R上函數(shù)滿足條件:①不

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