具體數(shù)學(xué) 二項(xiàng)式系數(shù)(5.1-5.3節(jié))市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第5章二項(xiàng)式系數(shù)

（BinomialCoefficients）鞠成東E-mail：juchd@M.P.考教材與書目。參考教材與書目書名：詳細(xì)數(shù)學(xué)：計(jì)算機(jī)科學(xué)基礎(chǔ)（第2版）原書名：ConcreteMathematics:AFoundationforComputerScience(2ndEdition)作者：(美)RonaldL.Graham,DonaldE.Knuth,OrenPatashnik譯者：張明堯，張凡出版社：人民郵電出版社

ISBN：978-7-115-30810-8課程教學(xué)內(nèi)容●

第1章遞歸問題●第2章和式（選講）●第3章整值函數(shù)●第4章數(shù)論●第5章二項(xiàng)式系數(shù)●第6章特殊數(shù)●第7章生成函數(shù)（自學(xué)）●第8章離散概率●第9章漸進(jìn)式課程教學(xué)內(nèi)容●Itintroducesthemathematicsthatsupportstheanalysisofalgorithms,modelingprobemsinrealworld.See,Chap.1–Recurrence遞歸計(jì)數(shù)Chap.2–Sum各種求和，用于算法復(fù)雜度計(jì)算等Chap.6–SpecialNumbers調(diào)和數(shù)列及相關(guān)求和問題●Concretemathematicsisablendingofcontinuousanddiscretemathematics.See,Chap.3–IntegerFunctions實(shí)數(shù)整數(shù)部分運(yùn)算Chap.9–Asymptotics離散到連續(xù)漸進(jìn)課程教學(xué)內(nèi)容●Thegoalisforthestudenttohavemathematicalskillstosolvecomplexproblems,andtodiscoversubtlepatternsindata.Chap.7–GeneratingFunctions用于概率計(jì)算母函數(shù)Chap.8–DiscreteProbability離散問題概率(最有趣)本章教學(xué)內(nèi)容●

5.1基本恒等式（BasicIdentities）●5.2基本練習(xí)（BasicPractice）●

5.3處理技巧（TricksoftheTrade）85.1基本恒等式

組合解釋：從n個(gè)不一樣元素集合中選取k個(gè)元素作為子集（元素?zé)o序）方法數(shù)。9

10

依據(jù)之前組合解釋，指標(biāo)僅限于非負(fù)整數(shù)。但可打破該限制：允許上指標(biāo)取任意實(shí)數(shù)（甚至復(fù)數(shù)），下指標(biāo)取任意整數(shù)。11

12

13

14

帕斯卡三角形n01111212131331414641515101051616152015617172135352171818285670562881919368412612684369110110451202102522101204510115

16

17

18

19

20

21

22

23。加法公式三種截然不一樣證實(shí)，恰恰說明二項(xiàng)式系數(shù)有許多有用性質(zhì)，其中有一些必定會(huì)用來導(dǎo)出某個(gè)恒等式證實(shí)。這是我們需要掌握工具，或用于證實(shí)，或用于化簡，或用于求解復(fù)雜二項(xiàng)式系數(shù)和式。加法公式本質(zhì)上是關(guān)于帕斯卡三角形中數(shù)遞歸式，它對使用歸納法證實(shí)其它恒等式也很有用。24

25

26

27

28

29對于上述這兩個(gè)普通公式，能夠利用加法公式，并經(jīng)過歸納法進(jìn)行證實(shí)。也可由它們相互給出證實(shí)。

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43如同二叉樹主要地位，能夠基于二項(xiàng)式系數(shù)乘積，建立標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。(5.22)式稱為范德蒙德卷積，其它恒等式基礎(chǔ)。(5.22)(5.23)(5.24)(5.25)(5.26)44

45。

46上述推導(dǎo)給予啟示：（1）對全部整數(shù)k求和，而不是僅僅在某個(gè)范圍內(nèi)求和巨大便利，可不比過分關(guān)注邊界條件。（2）加法公式與數(shù)學(xué)歸納法能很好地協(xié)調(diào)。47

48

49最主要十個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)恒等式?！耠A乘展開式●對稱恒等式●吸收/提取恒等式●加法/歸納恒等式●上指標(biāo)反轉(zhuǎn)●三項(xiàng)式版恒等式●二項(xiàng)式定理●平行求和法●上指標(biāo)求和法●范德蒙德卷積公式本章教學(xué)內(nèi)容●

5.1基本恒等式（BasicIdentities）●5.2基本練習(xí)（BasicPractice）●

5.3處理技巧（TricksoftheTrade）515.2基本練習(xí)

52

53

54

55

n0=1=11=1-1=02=1-3+1=-13=1-7+15-10+1=056

m012345678910110-1-10110-1-157

58

59

60(5.1)P127：階乘展開式(5.4)P129：對稱恒等式(5.5)P129：吸收恒等式另有(5.6)和(5.7)(5.8)P130：加法恒等式(5.9)P132：平行求和法(5.10)P132：上指標(biāo)求和法(5.12)P134：二項(xiàng)式定理(5.14)P136：上指標(biāo)反轉(zhuǎn)法(5.21)P138：三項(xiàng)式版恒等式表5-4最主要十個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)恒等式61(5.22)式稱為范德蒙德卷積，它是其它恒等式基礎(chǔ)(P140)。(5.22)(5.23)(5.24)(5.25)(5.26)62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87最終應(yīng)用式(5.25)，就可得到答案。88本章教學(xué)內(nèi)容●

5.1基