2022屆浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①x、y、z均為直線；②x、y是直線，z是平面；③z是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是（）A．③④ B．①③ C．②③ D．①②2．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．3．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．34．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．7．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．8．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為()A．60 B．80 C．90 D．1209．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．11．已知不重合的平面和直線，則“”的充分不必要條件是（）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．且C．且 D．內(nèi)的任何直線都與平行12．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為__________．14．在中，角的對(duì)邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．15．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的值為__16．有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．18．（12分）為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效．請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說明理由．19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.21．（12分）2019年9月26日，攜程網(wǎng)發(fā)布《2019國慶假期旅游出行趨勢(shì)預(yù)測(cè)報(bào)告》，2018年國慶假日期間，西安共接待游客1692.56萬人次，今年國慶有望超過2000萬人次，成為西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司規(guī)定：若公司某位導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收人不低于40(單位：萬元)，則稱該導(dǎo)游為優(yōu)秀導(dǎo)游.經(jīng)驗(yàn)表明，如果公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙家旅游公司各有導(dǎo)游40名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：分組頻數(shù)（1）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高？（2）從甲、乙兩家公司旅游總收人在(單位：萬元)的導(dǎo)游中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)，設(shè)來自甲公司的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.22．（10分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時(shí)不超過（分鐘），則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查名工人，求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

①舉反例，如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例，如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確；②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確；③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確；④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系，選擇題一般可通過特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡(jiǎn)單題目.2．B【解析】

設(shè)過點(diǎn)作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應(yīng)方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設(shè)過點(diǎn)作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡(jiǎn)得，所以離心率．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題．3．A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5．D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．B【解析】

求出在的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，又，所以至少小于7，此時(shí)，令，得，解得或，結(jié)合圖象，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.7．D【解析】

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.8．B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，的最大值為，故.展開式的通項(xiàng)為：，取得到項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.9．A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，為增函?shù)，所以所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.10．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.11．B【解析】

根據(jù)充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則相交或，排除；B.且，故，當(dāng)，不能得到且，滿足；C.且，，則相交或，排除；D.內(nèi)的任何直線都與平行，故，若，則內(nèi)的任何直線都與平行，充要條件，排除.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件和直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.12．A【解析】

由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡(jiǎn)求出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.14．【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.15．1【解析】

根據(jù)弦長(zhǎng)為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2，

所以直線經(jīng)過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．16．【解析】試題分析：從編號(hào)分別為1，1，3，4，5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，有種不同的結(jié)果，由于是隨機(jī)取出的，所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件為“取出球的編號(hào)互不相同”，則事件包含了個(gè)基本事件，所以.考點(diǎn)：1.計(jì)數(shù)原理；1．古典概型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】試題分析：（1）設(shè)直線，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并表示直線的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿足，的條件就說明存在，否則不存在.試題解析：解：(1)設(shè)直線，，，．∴由得，∴，．∴直線的斜率，即．即直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．∵直線過點(diǎn)，∴不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．∴由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點(diǎn)弦，當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，（1）知道中點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的斜率，或知道直線斜率求中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，或知道求直線斜率與直線斜率的關(guān)系時(shí)，也可以選擇點(diǎn)差法，設(shè),，代入橢圓方程，兩式相減，化簡(jiǎn)為，兩邊同時(shí)除以得，而,,即得到結(jié)果，（2）對(duì)于用坐標(biāo)法來解決幾何性質(zhì)問題，那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿足什么條件，其次用坐標(biāo)表示這些幾何關(guān)系，本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對(duì)角線互相平分，即，分別用方程聯(lián)立求兩個(gè)坐標(biāo)，最后求斜率.18．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績(jī)有16個(gè)，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設(shè)從圖中考核成績(jī)滿足的學(xué)生中任取2人，至少有一人考核成績(jī)優(yōu)秀為事件，因?yàn)楸碇谐煽?jī)?cè)诘?人中有2個(gè)人考核為優(yōu)，所以基本事件空間包含15個(gè)基本事件，事件包含9個(gè)基本事件，所以（Ⅲ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績(jī)有16個(gè)，所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效．【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．19．（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，①，②所以，即，又因?yàn)椋?，所以，所以是首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)；（2）由等價(jià)于