九年級數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)專題及答案 18 圓的對稱性

1、專題18圓的對稱性閱讀與思考圓是一個對稱圖形首先，圓是一個軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓的對稱軸有無數(shù)條；同時，圓又是一個中心對稱圖形，圓心就是對稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性由圓的對稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧之間的關(guān)系定理及推論這些性質(zhì)在計算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有廣泛的應(yīng)有一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論我國戰(zhàn)國時期科學(xué)家墨翟在墨經(jīng)中寫道：“圓，一中間長也”古代的美索不達(dá)米

2、亞人最先開始制造圓輪日、月、果實、圓木、車輪，人類認(rèn)識圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了深深的烙印例題與求解【例1】在半徑為1的O中，弦AB，AC的長分別為和，則BAC度數(shù)為_（黑龍江省中考試題）解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關(guān)系由于對稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時，若把對稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問題的解決【例2】如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧，如果+=，那么AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）A B C D E F AAB+CD=EF BAB+CDEFCAB+CDAC，D為的中點，DEAB于E求證：BD2-AD2=ABAC （天津市競賽試

3、題）解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明 A B C D E 圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識和方法同樣，圓也為解決直線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等或不等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧 【例5】在ABC中，M是AB上一點，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM3若P是線段AC上的一個動點，O是過P，M，C三點的圓，過P作PDAB交O于點D 求證：M是AB的中點； 求PD的長 （江蘇省競賽試題）解題思路：對于，運用配方法求出AM，BM，CM的長，由線段長

4、確定直線位置關(guān)系；對于，促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化 A P C D B M O 【例6】已知AD是O的直徑，AB，AC是弦，且AB=ACA B C O 圖1 D D A O E G F C B B A C D O E P F 圖2 圖3 如圖1，求證：直徑AD平分BAC； 如圖2，若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點E，F(xiàn)是的中點，G是的中點，O的半徑為1，求弦FG的長； 如圖3，在中若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點E，P為劣弧上一動點，連結(jié)PA，PB，PD，PF，求證：的定值（武漢市調(diào)考試題）解題思路：對于，先證明BPA=DPF=300，BPD=600，這是解題的基礎(chǔ)，由此可導(dǎo)出下列解題突破口的不同思路：

5、由BPA=DPF=300，構(gòu)建直角三角形；構(gòu)造PA+PF，PB+PD相關(guān)線段；取的中點M，連結(jié)PM，聯(lián)想常規(guī)命題；等等本例實質(zhì)是借用了下列問題：如圖1，PA+PB=PH； 如圖2，PA+PB=PH；進(jìn)一步，如圖3，若APB=，PH平分APB，則PA+PB=2PHcos為定值圖1 A 600 300 300 P H B P A B H 600 圖2 P A B H 圖3 能力訓(xùn)練A級1圓的半徑為5cm，其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm，則梯形的面積為_cm22如圖，殘破的輪片上，弓形的弦AB長是40cm，高CD是5cm，原輪片的直徑是_cm A P B C （第4題圖） 3 如圖，已知CD為

6、半圓的直徑，ABCD于B設(shè)AOB=，則tan=_ （黑龍江省中考試題）4如圖，在RtABC中，C=900，AC=，BC=1，若BC=1，若以C為圓心，CB的長為半徑的圓交AB于P，則AP=_. （江蘇省宿遷市中考試題）5如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OABO的路徑運動一周.設(shè)OP長為s，運動時間為t，則下列圖形能大致地刻畫s與t之間的關(guān)系是（ ）t s O A t s O B t s O C t s O D （太原市中考試題）6如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，AB=10cm，CD=6cm，那么AC的長為（ ）A0.5cm B1cm C1.5cm

7、D2cm（第8題圖） （第7題圖） A B O C D A E C D F B A B C D F E P （第6題圖） 7如圖，AB為O的直徑，CD是弦若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B兩點到直線CD的距離之和為（）A12cm B10cm C8cm D6cm8如圖，半徑為2的O中，弦AB與弦CD垂直相交于點P，連結(jié)OP若OP=1，求AB2+CD2的值 （黑龍江省競賽試題）9如圖，AM是O的直徑，過O上一點B作BNAM于N，其延長線交O于點C，弦CD交AM于點E 如果CDAB，求證：EN=NM； 如果弦CD交AB于點F，且CD=AB，求證：CE2=EFED； 如果弦CD，AB的延長線交

8、于點F，且CD=AB，那么的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由 （重慶市中考試題） A B C D O E F M （第9題圖） 10如圖，O的內(nèi)接四邊形ABMC中，ABAC，M是的中點，MHAB于點H求證：BH=（AB-AC） （河南省競賽試題） A H B M C （第10題圖） 11如圖1，圓內(nèi)接ABC中，AB=BC=CA，OD，OE為O的半徑，ODBC于點F，OEAC于點G求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是ABC面積的如圖2，若DOE保持角度不變，求證：當(dāng)DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是ABC的面積的 12如圖，正

9、方形ABCD的頂點A，D和正方形JKLM的頂點K，L在一個以5為半徑的O上，點J，M在線段BC上若正方形ABCD的邊長為6，求正方形JKLM的邊長 （上海市競賽試題） A D C B N O J M K L （第12題圖） B級1如圖，AB是O的直徑，CD是弦，過A，B兩點作CD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)若AB=10，AE=3，BF=5，則EC=_ O A E C D F B A B C D E A A B C D P O （第1題圖） （第2題圖） （第3題圖） 2如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在的中點A上，若BC=5，則折痕在ABC內(nèi)的部分DE長為_ （寧波市中考試題）3如圖，

10、已知O的半徑為R，C，D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，的度數(shù)為960，的度數(shù)為360動點P在AB上，則CP+PD的最小值為_（陜西省競賽試題）4如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（） A B C D5如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓圓周上一點，M是的中點，MNAB于N，則有（） AMN=ACBMN=ACCMN=ACDMN=AC（武漢市選拔賽試題）C A D O B E G F N A C B D O P （第7題圖） （第6題圖） 6已知，AB為O的直徑，D為的中點，DEAB于點E，且DE=3求AC的長度7如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的O；

11、對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點為P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8如圖，已知點A，B，C，D順次在O上，BMAC于M求證：AM=DC+CM （江蘇省競賽試題） A B C D O M （第8題圖） 9如圖，在直角坐體系中，點B，C在x軸的負(fù)半軸上，點A在y軸的負(fù)半軸上，以AC為直徑的圓與AB的延長線交于點D，如果AB=10，AOBO，且AO，BO是x的二次方程的兩個根 求點D的坐標(biāo)； 若點P在直徑AC上，且AP=AC，判斷點(2，10)是否在過D，P兩點的直線上，并說明理由 （河南省中考試題） A x y O D C B P （第9題圖）

12、 10如圖1，已知PA，PB為O的弦，C是劣弧的中點，直線CDPA于點E，求證：AE=PE+PB如圖2，已知PA，PB為O的弦，C是優(yōu)弧的中點，直線CDPA于點E，問：AE，PE與PB之間存在怎樣的等量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論 A 圖1 C P B D E O A 圖2 C P B D E O 11如圖，已知弦CD垂直于O的直徑AB于L，弦AE平分半徑OC于H求證：弦DE平分弦BC于M (全俄奧林匹克競賽試題) A C O L E B D M H （第11題圖） 12如圖，在ABC中，D為AC邊上一點，且AD=DC+CB，過D作AC的垂線交ABC的外接圓于M，過M作AB的垂線MN，交圓于N求證

13、：MN為ABC外接圓的直徑A C M N O D B （第12題圖） 專題18圓的對稱性例115或75提示：分AB、AC在圓心O同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論例2B例3(1)解法一：如圖，將正方形BDEC上的等邊ABC向下平移，使其底邊與DE重合，得等邊ODEA、B、C的對應(yīng)點是O、D、E，ODAB，OEAC，AOBD等邊ABC和正方形BDEC的邊長都是2，ABBDAC2，ODOAOE2A、D、E三點確定一圓，O到A、D、E三點的距離相等O點為圓心，OA為半徑，該圓的半徑為2解法二：如圖，將ABC平移到ODE位置，并作AFBC，垂足為F，延長交DE于HABC為等邊三角形，AF垂直平分BC，四邊形BDE

14、C為正方形，AH垂直平分正方形邊DE又DE是圓的弦，AH必過圓心，記圓心為O點，并設(shè)O的半徑為r在RtABF中，BAF30，AFABcos302，OHAFFHOA2r在RtODH中，OH2DH2OD2，()212r2，解得r2(2)O的半徑不變，因為ABACBD2，此題求法和(1)一樣，O的半徑為2例4提示：BD2AD2(BE2ED2)(AE2ED2)(BEAE)(BEAE)AB(BEAE)，只需要證明ACBEAE即可在BA上截取BFAC連DF可證明DBFDCA，則DFAD，AEEF例5(1)由條件，得(AM1)2(BM1)2(CM1)20，AMBMCM1因此，M是AB中點，且ACB90(2)

15、由(1)知，APCM，又PDAB，ACPD，PCMCPD，因此，于是有DPCM1例6(1)連結(jié)BD、CD，AD是直徑，所以ABDACD90，又ABAC，ADAD，ABDACD，BADDAC，AD平分BAC(2)連結(jié)OB、OC，則OABC，又AEOE，得ABBOOAOC，AOB，AOC都為等邊三角形，連結(jié)OG，則GOF90，F(xiàn)G(3)取的中點M，過M作MSPA于S，MTPF于T，連AM，F(xiàn)MBPMDPM30，APMFPM60，則MSMT，MAMF，RtASMRtFTM，RtPMSRtPMFPSPMPAPF2PS2PTPM同理可證：PBPD為定值A(chǔ)級149或72.853145C6D7D8過O點作O

16、EAB于E，OFCD于F，連結(jié)OD，OA，則AEBE，CFDF，OE2AO2AE2(4)，OF2OD2FD24CD2，OE2OF2(4)(4)PF2OF2OP212，即441，故AB2CD228得x13(舍去)，x2，正方形JKLM的邊長為.B級1.23 提示:作OMCD于M，則EC(EFCD). 2. 3.R 提示:設(shè)D是D點關(guān)于直徑AB對稱的點，連結(jié)CD交AB于P，則P點使CPPD最小，COD120，CPPDCPPDCDR. 4.D 提示：如圖：，得，解得a，r 5.A提示:連結(jié)OM，則OMAC. 6.解法一:連結(jié)OD交AC于點F，D為的中點，ACOD，AFCF.又DEAB，DEOAFO.

17、ODEOAF.AFDE.DE3AC6.解法二:延長DE交O于點G，易證2，則DGAC2DE6.7.連結(jié)BO并延長交AD于H，因ABBD，故BHAD，又ADC90，則BHCD，從而OPBCPD，得，即，解得CD1.于是AD2，又OHCD，則AB，BC.四邊形ABCD的周長為12. 8.提示:延長DC至N，使CNCM，連結(jié)BN，則BCNBADBDABCA，可證得BCNBCM，RtBAMRtBDN. 9.AO8，BO6，ABBC10，ADCO16，DBADAB6，過D作DEBC于E，由RtDEBRtAOB，得DE，BE，EO6.D(，).A(0，8)，C(16，0)，P(4，6)，經(jīng)過D，P兩點的直線為yx，點(2，10)不在直線DP上. 10.在AE上截取AFBP，連結(jié)AC，BC，F(xiàn)C，PC，可證明