(完整版)數(shù)列中的數(shù)學思想和方法

數(shù)列中的數(shù)學思想和方法數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓,是知識轉化為能力橋梁.能否有意識地正確運用數(shù)學思想方法解答數(shù)學問題，是衡量數(shù)學素質和數(shù)學能力的重要標志．數(shù)列中蘊涵了許多重要的數(shù)學思想，下面我們一起來看一看吧！一、方程思想方程思想就是通過設元建立方程，研究方程解決問題的方法.在解數(shù)列問題時，利用等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式及性質構造方程(組)是解數(shù)列問題基本方法.例1已知等差數(shù)列｛a｝的公差d是正數(shù)，且aa=-12,n37a+a=一4，求其前n項和S。TOC\o"1-5"\h\z46n解：由等差數(shù)列｛a｝知：a+a二a+a，從而aa=-12,a+a=一4，n37463737故a,a是方程x2+4x一12=0的兩根，又d>0，解之，得：a=-6,a二2。a=—a=—101d=2再解方程組：a+2d=—6再解方程組：1na+6d=21所以S=—10n+n(n—1)。n<法一>法二、基本量法，建立首項和公差的二元方程知三求二點評：本題利用了a+a二a+a這一性質構造了二次方程巧妙的解出了a=—6,a二2，再利用374637方程求得了首項與公差的值，從而使問題得到解決，由此可知在數(shù)列解題時往往可借助方程的思想與a+a二a+a(或a-a二a-a)找出解題的捷徑。關注未知數(shù)的個數(shù)，關注獨立方程的個nmpqnmpq數(shù)。點評基本量法：性質法技巧備用：設｛an｝是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和.已知S3=7，且a1+3,3a2，a3+4構成等差數(shù)列.求數(shù)列｛an｝的通項；令bn=ln右“七，n=1,2,…，求數(shù)列｛b“｝的前n項和T”.a1+a2+a3=7,解(1)由已知得阿+3)+(a3+4)_3解得篤二2，3aJ22，2設數(shù)列｛an｝的公比為q,由a2二2,可得a1=q，a3=2q,又S3二7，可矢口寸+2+2q=7，即2q2-5q+2=0.解得q1=2,q2=|.由題意得q>1,.°.q二2,.：。]二1.故數(shù)列｛an｝的通項為an=2n-1.(2)由于bn二Ina3n+],n二1,2,…，由⑴得a二In23n—3nln2.3n+1n又bn+1-bn=31n2,???如是等差數(shù)列，?In2.n(b1+b”)_3n(n+1)?In2.2_23n(n+1)2小結：方程思想是數(shù)學解題中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在數(shù)列間題中的應用.?？梢院啙嵦幚硪恍┢渌枷敕椒y以解決的數(shù)列問題。在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量:a1,an,n,q(d),Sn，其中首項a1和公比q(公差d)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a，a，n，q(d)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量.二、函數(shù)思想函數(shù)思想是用聯(lián)系和變化的觀點考察數(shù)學對象.數(shù)列是一類特殊的函數(shù),以函數(shù)的觀點認識理解數(shù)列，是解決數(shù)列問題的有效方法.例2、已知等差數(shù)列｛a｝中，a=29，S=S，則該數(shù)列前多少項的和最大？TOC\o"1-5"\h\zn11020尋求通項，借助數(shù)列的單調性解決10x920x19,解：S=S,A10a+d=20a+d，io2012i2又a=29，Ad=—21Aa=29+(n—1)x(—2)=—2n+31n令a>0,tn<15,neN*，所以數(shù)列首項為正，公差為負，n前15項為正，從第16項開始為負，所以前15項的和最大，S=15a+d=225。TOC\o"1-5"\h\z1512巧用等差數(shù)列下標的性質，關注數(shù)列的單調性解：S=S,Aa+a+aH—a+a=0，201112131920由等差數(shù)列下標的性質可得：a+a+a+???a+a=5(a+a)=0，121319201516又a=29>0，Aa>0,a<01516a當n=15時，S取得最大值。n又a=29，A.d=—21Aa=29+(n—1)x(—2)=—2n+31n令a>0,???n<15,neN*，所以數(shù)列首項為正，公差為負，前15項為正，從第16項開始為負,n15x14所以前15項的和最大，且S=15a+d=225。TOC\o"1-5"\h\z1512思路2：從函數(shù)的代數(shù)角度來分析數(shù)列問題10x920x19,解：?.?S=S,A10a+d=20a+d，10201212又a=29，A.d=—21A.S=na+"%("~1)d=—n2+30nn12=—(n—15)2+225A當n=15時，S取得最大值225。n思路3：從函數(shù)圖象入手，數(shù)形結合解：設S=An2+Bn，數(shù)列對應的圖象是過原點的n拋物線上孤立的點，又???a=29>0，S=S，11020

???對稱軸為n???對稱軸為n10+202=15且開口向下,當n=15時，S取得最大值。n四種方法的比較設數(shù)列｛a｝的公差為d,n???S=S,1020,10X^,20X19,.?.10X29+—^d=20X29+，q—d,解得d=-2,?:a=—2n+31,n設這個數(shù)列的前n項和最大，則需，a三0,n則需aWO,Jn+1—2n+31三0,即I—2n+1+31W0,???14.5WnW15.5,VnGN*,An=15.方法二設數(shù)列｛a｝的公差為d,n?S=S,.\10X29+^X9.\10X29+^X9d=20x29+20XX^d,解得d=—2.等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2n2+GW)n是關于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)，根據(jù)其圖象的對稱性,由S=S性,由S=S,1020知乂=10+202=15是其對稱軸,求數(shù)列匕｝的最大項。.n由d=—2知二次函數(shù)的圖象開口向下，故n=15時求數(shù)列匕｝的最大項。.n備用：數(shù)列匕｝中，an2+1—n,neN*,nn小結：利用二次函數(shù)的性質解決等差數(shù)列的前n項和的最值問題，避免了復雜的運算過程.列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時，若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調性時，均可考慮采用函數(shù)的性質及研究方法指導解題?值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或1,2,3，…，n｝，這一特殊性對問題結果可能造成影響.三、分類討論思想復雜問題無法一次性解決,常需分類研究，化整為零，各個擊破?數(shù)列中蘊含著豐富的分類討論的問題.分類討論是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略，在數(shù)學解題中有廣泛的應用?所謂分類討論，是在討論對象明確的條件下,按照同一的分類標準，不重復、不遺漏、不越級的原則下進行的?它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.例3、已知等差數(shù)列｛a｝的前n項的和S=3+2n，求a。nnn解：(1)當n=1時，a=s=5；11(2)當n>2時，a=s—s=2n—2n-1=2n-1；nnn—1

綜合⑴(2)可知a=]n5，n綜合⑴(2)可知a=]n2n-i,n>2點評：此例從分的體現(xiàn)了a與s的關系中隱含了分類討論思想，其理由是a=s-s中腳碼n-1nnnnn-1必須為正整數(shù)。/in項和s=n備用：已知數(shù)列吊[的前n項和s=-n2n項和s=nTOC\o"1-5"\h\znIn試求數(shù)列Pn卩的前n項和T的表達式.分析:解題的關鍵是求出數(shù)列$｝的通項公式，并弄清數(shù)列缶｝中各項的符號以便化去b|的絕nnn對值.故需分類探討．解：當n=1時，b=s=-12+18x1=17;11當心2時，、1b=s一s=-n2+18n-—\n一V2+18^=19一2n.nnn-1???當1WnW9時，b>0，當n$10時，b<0.從而nn當1WnW9時，T=|b|+|b]+???+|b|n12n二b+b++b=s=-n2+18n；12nn當n$10時，T=|b|+|b!+???+|b|n12n=b+b+???+b-b???-b=-s+2s12910nn9n2-18n+2(-92+18x9)=n2-18n+162.TI-n2+18n,(1<n<9)n]n2一18n+162,(n>10)小結：數(shù)列中的分類討論多涉及對公差d、公比q、項數(shù)n的討論，特別是對項數(shù)n的討論成為近幾年高考的熱點.四、整體的思想整體思想就是從整體著眼，通過問題的整體形式、整體結構或其它整體處理后，達到簡捷地解題的目的.例4、在等差數(shù)列｛a｝中，已知a+a+a=9,TOC\o"1-5"\h\zn147a+a+a=15，求a+a+a的值。58369解：a+a+a=(a+a+a)+3d,/.d=2,58147a+a+a=(a+a+a)+3d=21a+a=a(aa+a=a(a豐0),910a+a=b,1920例4、在等比數(shù)列｛a｝中,n則a+a=99100a19＋aa19＋a20分析根據(jù)題設條件可知』20a9＋a=q10=ba10而如込二q90，故可整體代入求解.a9＋a10解析設等比數(shù)列｛an｝的公比為q,

貝則°19+a20a9＋a貝則°19+a20a9＋a=qio=-a10a+a又ai°°二q90二（q]0）9a9+a109a99+a100O9（a9+ai0）弋小結：解決此題如果不把它與整體思想聯(lián)系起來，那么直接解決要走很多彎路也不容易直接求出它的準確答案，因此此題應用了整體思想來解決了數(shù)列問題是非常重要的.備用：已知數(shù)列缶｝為等差數(shù)列，前12項和為354，前12項中n奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為27:32,求公差d.分析:此題常規(guī)思路是利用求和公式列方程組求解，計算量較大,注意考慮用整體思想去解決,解法十分簡捷.解：由題意令奇數(shù)項和為27x,偶數(shù)項和為32x.因為：s=27x+32x=59x=354,所以：x二6.12而32x-27x=5x=30=6d,/.d=5.五、轉化與化歸的思想等價轉化就是將研究對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象,使之成為大家熟悉的或TOC\o"1-5"\h\z容易解決的問題?這是解決數(shù)列問題重要方法.$I例5.已知數(shù)列匕｝的首項a=1，前n項和為S，且S=4a+2(n&N*)，求L｝的n1nn+1nn通項公式。S=4a+2。兩式相減，得nn-1分析與略解：當nS=4a+2。兩式相減，得nn-1n+1na=S-S=4a-4a，n+1n+1nnn-1a-2a=2（a-2a）。n+1nnn-1可見la-2a2是公比為2的等比數(shù)列。n+1n又a+a=S=4a+2，a=1，12211得a=5，2則a-2a=3。21因此a-2a=3-2n-1。n+1n兩邊同除以2n+1，得a2a2n+1=4（常數(shù)）,4可見(a為a=2，公差為4的等差數(shù)列。因此I2nI224篤=丄+3（n-1）2n2431=—n-—44從而a=(3n-1)2n-2。n評析：本例通過兩次化歸，第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列，第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列，隨著化歸的進行。問題降低了難度。

六、類比的思想方法如：數(shù)列與函數(shù)、等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)以及等差數(shù)列與等比數(shù)列之間概念和性質的類比等。類比等差數(shù)列的通項、性質、前n項和，可以得出對等比數(shù)列相應問題的研究；類比函數(shù)概念、性質、表達式，可以得出對數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列相應問題的研究。類比思想的應用是本章的主要特色。還有一些重要的思想方法，如遞推思想、從特殊到一般、數(shù)形結合、構造模型等思想方法。數(shù)列問題應用數(shù)學思想方法來解決非常重要，具體應用在數(shù)學解題中靈活多變，如果我們掌握了數(shù)學思想方法解題的一些常用技巧，在解決數(shù)列的時候認真分析，巧妙地應用八種數(shù)學思想方法中的一種來解決，那么解題就變得簡單多了．在高中數(shù)學中，我們也可以應用這些思想方法來解決相關數(shù)學問題.并且學好這些思想方法我們也可以來解決其它數(shù)學知識方面的難點問題.預習作業(yè)：1.設數(shù)列｛a｝是公差不為零的等差數(shù)列，S為其前n項和(ngN*),nn且S2二9S,S二4S，則數(shù)列｛a｝的通項公式為.1242n答案a”=36(2n—1)解析設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由前n項和的概念及已知條件得a?二9(2a1+d),4a1+6d二4(2a?+d).由②得d=2a1,代入①有件二36a],解得a1=0或a1=36.將a1=0舍去.因此Q]二36,d=72,故數(shù)列｛a”｝的通項公式為an=36+(n-1)?72二72n-36二36(2n-1)2.若數(shù)列｛a2.若數(shù)列｛a｝的前”項和S=