高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.1向量的概念及表示講義蘇教版必修4

高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.1向量的概念及表示講義蘇教版必修42.1向量的概念及表示學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)（教師獨(dú)具）了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念.（重點(diǎn)）理解零向量、單位向量、相等向量、共線（平行）向量、相反向量的含義.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）理解向量的幾何表示.（重點(diǎn)）通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng).ZIZHUYU^CITANXINZI-Il新知初探I、向量的定義及表示定義既有大小又有方向的量稱為向量表示方法（1）幾何表示：向量常用一條有向線段來(lái)表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，—>箭頭所指的方向表示向量的方向，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為AB；（2）字母表示：用小與字母a,b，c表示?！?gt;—>向量AB的大小稱為向量的長(zhǎng)度（或稱為模），記作|AB|思考1：在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？［提示］面積、質(zhì)量只有大小，沒(méi)有方向；而速度和位移既有大小又有方向．思考2：兩個(gè)數(shù)量可以比較大小，那么兩個(gè)向量能比較大小嗎？［提示］數(shù)量之間可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大?。?、向量的有關(guān)概念及其表示名稱定義表示方法零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0單位向量長(zhǎng)度等于L個(gè)單位長(zhǎng)度的向量一j—平行向量（或共線向量）方向相同或相反的非零向量a與b平行（或共線），記作a〃b相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量a與b相等，記作a=b相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量a的相反向量記作一a思考3：已知A,B為平面上不同兩點(diǎn)，那么向量AB和向量BA相等嗎？它們共線嗎?

［提示］因?yàn)橄蛄緼B和向量BA方向不同，所以二者不相等.又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線．思考4：向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？［提示］不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動(dòng)．由于任意一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量．因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合．試身手口1．思考辨析TOC\o"1-5"\h\z有向線段就是向量．()兩個(gè)向量的模能比較大?。?)有向線段可以用來(lái)表示向量．()若a=b,b=c，貝ya=c.()若8〃4貝9a與b的方向一定相同或相反.()—>—>若非零向量AB〃CD,那么AB〃CD.()單位向量的模都相等.()［答案］(1)X(2)V(3)V(4)V(5)X(6)X(7)V下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有(填序號(hào)).①⑥⑦⑧［一個(gè)量是不是向量，就是看它是否同時(shí)具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒(méi)有方向，所以不是向量.］合作按究吋是養(yǎng)養(yǎng)-―—---—--————?-—■占—―----—-——--—----------—---——向量的概念te晦*!??\為型1te晦*!??【例1】判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.任何兩個(gè)單位向量都是平行向量；零向量是沒(méi)有方向的；⑶在厶ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，貝恫量DE與CB是平行向量;⑷對(duì)于向量a、b、c,若a〃b,且b〃c，貝ya〃c；(5)若非零向量AB與CD是平行向量，則直線AB與直線CD平行;(6)非零向量AB與BA是模相等的平行向量.思路點(diǎn)撥：解答本題可從向量的定義、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判斷真假．［解］(1)錯(cuò)誤．因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量只是模都等于1個(gè)單位，方向不一定相同或相反；錯(cuò)誤．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的；—>—>正確.由三角形中位線性質(zhì)知，DE〃BC,向量DE與CB方向相反，是平行向量；錯(cuò)誤.b為零向量時(shí)，有a〃b且匕〃6但a與c的方向可以任意變化，它們不一定是平行向量；錯(cuò)誤.A、B、C、D四點(diǎn)也可能在同一條直線上；—>—>正確.非零向量AB與BA的模相等，方向相反，二者是平行向量.在判斷與向量有關(guān)的命題時(shí)，既要立足向量的數(shù)(即模的大小)，又要考慮其形(即方向性).涉及共線向量或平行向量的問(wèn)題，一定要明確所給向量是否為非零向量.對(duì)于判斷命題的正誤，應(yīng)該熟記有關(guān)概念，理解各命題，逐一進(jìn)行判斷，對(duì)于錯(cuò)誤命題，只要舉一反例即可.提醒：與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量.協(xié)跟圖訓(xùn)練判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由：⑴若向量a與b同向，且|a|>|b|,貝ya>b；若向量|a|=|b|,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；對(duì)于任意向量|a|=|b|,若a與b的方向相同，貝ya=b；由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；［解］(1)不正確.因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小.不正確.由|a|=|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系.正確.因?yàn)閨a|=|b|,且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得a=b.不正確.依據(jù)規(guī)定：0與任一向量平行.向量的表示【例2】一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)，向西行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)B,然后又改變方向向西偏北50。行駛了200千米到達(dá)點(diǎn)C,最后又改變方向，向東行駛了100千米到達(dá)點(diǎn)D.作出向量AB,BC，CD；⑵求|AD|.思路點(diǎn)撥：解答本題應(yīng)首先確定指向標(biāo)，然后再根據(jù)行駛方向確定有關(guān)向量，進(jìn)而求解［解］(1)如圖：由題意，易知AB與CD方向相反，故AB與CD共線，即AB〃CD.—>—>又??TAB|=|CD|,???在四邊形ABCD中，AB綊CD,???四邊形ABCD為平行四邊形，—>—>?.|AD|=|BC|=200(千米).用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)?必要時(shí)，需依據(jù)直角三角形知識(shí)，求出向量的方向或長(zhǎng)度(模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量.越跟蹄訓(xùn)竦(1)如圖的方格由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有定點(diǎn)A,點(diǎn)C—>—>為小正方形的頂點(diǎn)，且|AC|=\/5，畫出所有的向量AC..1(2)已知飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)B地，再?gòu)腂地按南偏東30的方向飛行2000km到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行1000邁km到達(dá)D地.—>—>—>—>作出向量AB,BC,CD,DA；問(wèn)D地在A地的什么方向？D地距A地多遠(yuǎn)？［解］⑴畫出所有的向量AC,如圖所示.

\/cACl\/cAClc⑵①由題意，作出向量AB,BC,CD,DA,如圖所示,②依題意知，三角形ABC為正三角形，所以AC=2000km.又因?yàn)閆ACD=45°,CD=1000-<2，所以△ACD為等腰直角三角形，即AD=1000邊km,ZCAD=45°.所以D地在A地的東南方向，距A地1000邊km.共線向量垃型3［探究問(wèn)題］1．兩向量平行,則兩向量所在的直線平行嗎？提示：不一定平行．2.若向量a與b平行（或共線），貝恫量a與b相等嗎？反之，若向量a與b相等，貝恫量a與b平行（或共線）嗎？提示：向量a與b平行（或共線），貝恫量a與b不一定相等；向量a與b相等，貝y向量a與b平行（或共線）.3．向量平行具備傳遞性嗎？舉例說(shuō)明．提示：向量的平行不具備傳遞性，即若a〃b,b〃c,則未必有a〃c,這是因?yàn)?，?dāng)b=0時(shí)，a,c可以是任意向量，但若bHO,必有a〃b,b〃ca〃c.【例3】如圖，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為3的正方形，把各邊三等分后，共有16個(gè)交點(diǎn)，從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量，則與AC從中選取兩個(gè)交點(diǎn)作為向量，則與AC平行且長(zhǎng)度為2寸2的向量個(gè)數(shù)有個(gè).思路點(diǎn)撥：結(jié)合向量相等、平行的條件求解8［如圖所示，滿足與AC平行且長(zhǎng)度為2冷0的向量有AF,FA,EC,CE,GH,HG,IJ,JI共8個(gè).］陽(yáng)題探噸］(變條件)本例中，與向量AC同向且長(zhǎng)度為的向量有多少個(gè)?［解］與向量AC同向且長(zhǎng)度為2邁的向量占與向量AC平行且長(zhǎng)度為2遷的向量中的一半,共4個(gè).2.(變條件)本例中，如圖，與向量A0相等的向量有多少個(gè)?［解］題圖中每個(gè)小正方形的對(duì)角線所在的向量中，與向量A0方向相同的向量與其相等,共有8個(gè).尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量,再確定哪些是同向共線.尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn),起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.氏卓「結(jié)教師獨(dú)具本節(jié)課的重點(diǎn)是向量的概念、向量的表示方法及幾種特殊的向量,難點(diǎn)是幾種特殊向量的概念及應(yīng)用.要重點(diǎn)掌握向量的三個(gè)問(wèn)題向量有關(guān)概念的辨析.向量的表示.相等向量與共線向量的應(yīng)用.本節(jié)課要注意兩個(gè)區(qū)別(1)向量與數(shù)量①數(shù)量只有大小沒(méi)有方向，向量既有大小又有方向.

②數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大小.(2)向量與有向線段區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度三個(gè)要素，因此它們是兩個(gè)不同的量．在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動(dòng)的．聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但并不能說(shuō)向量就是有向線段.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)初當(dāng)堂達(dá)標(biāo)初1．下列說(shuō)法不正確的是()A?零向量的長(zhǎng)度為零零向量與任一向量都是共線向量零向量沒(méi)有方向零向量的方向是任意的C[零向量的方向是任意的，不能說(shuō)零向量沒(méi)有方向，C錯(cuò).]在RtAABC中，ZBAC=90°，則|AB|=1,|AC|=2,則|BC|=,[因?yàn)閨BC|2=|AB|2+|AC|2=5,所以|BC|=\&]如圖所示，已知點(diǎn)0是正六邊形ABCDEF的中心，且OA=a,OB=b,—>OC=c.在以A,B，C，D，E，F(xiàn)，0為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中：TOC\o"1-5"\h\z(1)模與a的模相等的向量有個(gè).長(zhǎng)度與a的長(zhǎng)度相等，方向相反的向量有與a共線的向量有.請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量.(1)23(2)0D,BC