最全最實用的指數(shù)函數(shù)復習資料精練+答案及解析

..指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[知識梳理]一、指數(shù)運算1、根式〔1概念：若〔,則稱x為a的n次方根,""是方根的記號．〔2a的n次方根的性質(zhì)：在實數(shù)范圍內(nèi),正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù),負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù),0的奇次方根是0；正數(shù)的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數(shù),0的偶次方根是0,負數(shù)沒有偶次方根．①；②n為奇數(shù),=a；n為偶數(shù),=|a|=2、有理數(shù)指數(shù)冪〔1分數(shù)指數(shù)冪的意義：①〔注：無意義；②；③．〔2指數(shù)冪的運算性質(zhì)①；②；③；④．二、指數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R．注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負數(shù)、零和1．2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象0<a<1a>1yxOyxOy=1<0,1>yxyxOy=1<0,1>性質(zhì)定義域：R．值域為：<0,+∞>．過定點：<0,1>,即x=0時,y=1．當時,；當時,．當時,；當時,．在R上單調(diào)遞減．在R上單調(diào)遞增．[典型例題]題型一、根式的化簡、指數(shù)冪的運算例題1：化簡：〔1；〔2；〔3．[解析]〔1；〔2；〔3=[點評]不注意n的奇偶性對式子的值的影響,是導致問題出現(xiàn)的一個重要原因,要在理解的基礎(chǔ)上,記準,記熟,會用,活用‘本題易錯的是第〔3題,往往忽視a與2大小的討論,造成錯解．例題2：計算：〔1；〔2··．[解析]〔1原式；〔23··=3·3·3·3=3=32=9．[點評]利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行根式運算時,其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪,再由冪的運算性質(zhì)來運算．變式1：化簡：〔1；〔2；〔3．[解析]〔1原式=；〔2原式；〔3原式．[點評]本題考查的是有理數(shù)指數(shù)冪的綜合運算能力,一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式．變式2：若,,則________．[解析]．[點評]本題考查的是分數(shù)指數(shù)冪運算的逆運算以及整體思想的運用,將、看作一個整體,再進行代數(shù)運算．題型二、指數(shù)函數(shù)概念、定義域和值域例題3：下列函數(shù)中屬于指數(shù)函數(shù)的有〔個．〔1；〔2；〔3；〔4；〔5；〔6；〔7．A．2B．3C．4D．5[解析]選A．只有〔4〔6屬于指數(shù)函數(shù)的形式．[點評]在判斷是否為指數(shù)函數(shù)時,應(yīng)嚴格按照的形式來判斷,特別要注意函數(shù)中是否有表明的取值范圍．例題4：求下列函數(shù)的定義域和值域：〔12；〔2<>；〔3y=ax-1<a>0,a≠1>．[解析]〔1令x-4≠0,則x≠4,所以函數(shù)y=2的定義域是｛x∈R∣x≠4｝,又因為≠0,所以2≠1,即函數(shù)y=2的值域是｛y|y>0且y≠1｝．〔2因為-|x|≥0,所以只有x=0.因此函數(shù)y=<>的定義域是｛x∣x=0｝．而y=<>=<>0=1,即函數(shù)y=<>的值域是｛y∣y=1｝．〔3定義域為R,因為的值域為,所以的值域為．y=dxy=cxy=bxy=axOyx[點評]由于指數(shù)函數(shù)y=ay=dxy=cxy=bxy=axOyx例題5：如圖,設(shè)a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一坐標系中的圖象如圖,則a,b,c,d的大小順序[]A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d[解析]∵a1=a∴直線x=1與各函數(shù)圖象交點的縱坐標為底數(shù)值,故b<a<d<c,選C．[點評]由上述結(jié)果可知：當?shù)讛?shù)>1時,指數(shù)函數(shù)底數(shù)越大,圖象越靠近y軸；當0<底數(shù)<1時,指數(shù)函數(shù)底數(shù)越小,圖象越靠近y軸．變式3：函數(shù)恒過定點___________．[解析]因為y=ax過點〔0,1,所以當x=0時,y=1+5=6,所以原函數(shù)過定點〔0,6．[點評]解決定點問題,關(guān)鍵是理解指數(shù)函數(shù)的定點．變式4：已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點〔,〔1求的值；〔2利用圖像比較三個函數(shù)值的大?。甗解析]〔1設(shè)指數(shù)函數(shù)f<x>=ax〔a＞0且a≠1因為圖象過點〔3,π,所以f<3>=a3=π,即a=π,f<x>=<π>x．再把0,1,3分別代入,得：f<0>=π0=1,f<1>=π1=π,f<-3>=π-1=．〔2由圖易知f<1>>f<0>>f<-3>．[點評]根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,這是方程思想的運用．變式5：當時,函數(shù)和的圖象只可能是〔11xyO1xyO1xyO1xyOABCD[解析]選項A中一次函數(shù),指數(shù)函數(shù)應(yīng)是減函數(shù),故A對．選項B中一次函數(shù),指數(shù)函數(shù)應(yīng)是增函數(shù),故B錯．選項C中一次函數(shù),指數(shù)函數(shù)應(yīng)是減函數(shù),故C錯．選項D中一次函數(shù),指數(shù)函數(shù)應(yīng)是增函數(shù),故D錯．故答案選A．[點評]利用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系來確定圖象,是本題的關(guān)鍵．題型三、解指數(shù)式方程、不等式例題6：解下列方程：〔1；〔2．[解析]〔1；〔2．[點評]解此類方程時,常利用指數(shù)運算的性質(zhì)化為常見的方程再求解．例題7：解下列不等式：〔1；〔2．[解析]〔1〔2．[點評]解此類不等式時,常化為同底,再利用函數(shù)單調(diào)性求解．變式6：解下列方程：〔1；〔2．[解析]〔1原方程化為－6×3-x－27=0,∴<3-x＋3><3-x－9>=0．∵3-x＋30,∴由3-x－9=0得3-x=32,故x=－2是原方程的解．〔2原方程化為,,,得,．[點評]解類一元二次方程時要注意運用整體的思想,例如題〔1,把看成未知數(shù),解得的一元二次方程的根等于,再解出最終結(jié)果；解得的結(jié)果一定要進行檢驗．題型四、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例題8：比較下列兩個數(shù)的大?。骸?；〔2；〔3；〔4,2．[解析]利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對兩個數(shù)進行大小的比較：對〔1因為函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù),0.8＞0.7,所以30.8>30.7；對〔2因為函數(shù)y=0.75x在R上是減函數(shù),0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1；對〔3由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6；對〔4由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知<>><>0=1=20>2,所以<>>2．[點評]首先把這兩個數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較．若兩個數(shù)不是同一函數(shù)的兩個函數(shù)值,則尋求一個中間量"1",兩個數(shù)都與這個中間量進行比較,然后得兩個數(shù)的大小,數(shù)學上稱這種方法為"中間量法"．例題9：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．[解析]令在上遞減,在上遞增,又為減函數(shù),所以在上遞增,在上遞減,當時,為最大值,所以的值域為．[點評]首先要考察函數(shù)的定義域,再利用復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法"同增異減"來判斷單調(diào)區(qū)間．變式7：已知是奇函數(shù),求常數(shù)的值．[解析]由是奇函數(shù),得,即,,,得．[點評]此題中函數(shù)的定義域為,所以不能利用來求解,應(yīng)利用奇函數(shù)的定義求出值．變式8：判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性．[解析]任取,使,,因為,所以,為增函數(shù),所以,所以,所以在上單調(diào)遞增；,所以為奇函數(shù)．[點評]在判斷一個函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性時,要嚴格按照單調(diào)性和奇偶性的定義來判斷．在判斷此題函數(shù)的奇偶性時,通過分子分母同乘化簡,從而比較與的關(guān)系．[方法與技巧總結(jié)]1、在進行有理數(shù)指數(shù)冪運算時,運算的方法及步驟為：①根式運算時,常轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪,根式化為分數(shù)指數(shù)冪時,由里往外依次進行；②有分式的轉(zhuǎn)化為負數(shù)指數(shù)冪；③底數(shù)盡量化為一致；④四則運算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的先算括號內(nèi)的,整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后,其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序．2、指數(shù)函數(shù)的綜合問題常常涉及指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、過定點、單調(diào)性、奇偶性、圖像特征,要用到數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．※題庫題目僅供選擇使用[鞏固練習]1．下列各式中正確的是〔A、=aB、=C、a0=1D、=.2．將化為分數(shù)指數(shù)冪的形式為〔A、B、C、D、3．函數(shù)f<x>＝的定義域是〔A、B、C、D、4．下列函數(shù)中,值域為的函數(shù)是〔A、B、C、D、5．已知指數(shù)函數(shù)圖像經(jīng)過點,則．6．若=a-1,則a的取值范圍為．7．=__________．8．若函數(shù)是奇函數(shù),則=_________．9．已知函數(shù),求其單調(diào)區(qū)間及值域．10．已知函數(shù).〔1用函數(shù)單調(diào)性定義及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明：是區(qū)間上的增函數(shù)；〔2若,求的值．[課后作業(yè)]1．下列各式中成立的一項〔A、B、C、D、2．化簡<a,b為正數(shù)>的結(jié)果是〔A、B、abC、 D、a2b3．設(shè),則〔B、C、D、4．函數(shù)的圖象如圖,其中a、b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是〔A、B、C、D、5．函數(shù)的定義域是〔A、B、C、D、6．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是〔A、[6,+B、C、D、7．設(shè)5x=4,5y=2,則=．8．=．9．函數(shù)的圖象恒過定點____________．10．若函數(shù)是奇函數(shù),則=_________．11．已知,求的最小值與最大值．12．已知．〔1判斷函數(shù)的奇偶性；〔2證明：是定義域內(nèi)的增函數(shù)；〔3求的值域．[拓展訓練]1．化簡,結(jié)果是〔A、B、C、D、2．若函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三、四象限,則一定有〔A、 B、C、 D、3．設(shè)集合,則是〔A、B、C、D、有限集4．是偶函數(shù),且不恒等于零,則〔A、是奇函數(shù)B、可能是奇函數(shù),也可能是偶函數(shù)C、是偶函數(shù)D、不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)5．函數(shù)的圖象是〔6．函數(shù)的值域是〔A、B、C、D、7．〔2010XX函數(shù)的圖象〔A、關(guān)于原點對稱B、關(guān)于直線y=x對稱C、關(guān)于x軸對稱D、關(guān)于y軸對稱8．方程的解．9．函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大,則=__________．10．若,求的值．11．如果函數(shù)在上的最大值為14,求實數(shù)的值．12．已知．〔1判斷的奇偶性；〔2討論的單調(diào)性；〔3當時,恒成立,求b的取值范圍．13．〔2006XX文已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．〔1求a,b的值；〔2若對任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍．[參考答案]一、鞏固練習答案1、選．2、選．原式．3、選．由得,從而．4、選．注意先確定定義域．5、．設(shè),把代入得,．6、．,得,所以．7、100．原式．8、．由得．9、解：令,由于為減函數(shù),所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,當時,取到最大值,所以值域為．10、〔1證明：任取,使,因為,所以,,又,所以,所以在上是增函數(shù)．〔2解：由得,即,得或,得．二、課后作業(yè)答案1、選．2、選．原式．3、選．,,,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得．4、選D．5、選B．6、選．是增函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,所以,解得．7、8．8、5．原式9、．根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過點可得出．10、．由得,,得．11、解：令,則,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當,即時,；當,即時,．12、〔1解：∵的定義域為R,且,∴是奇函數(shù)．〔2證明：方法一：．令x2>x1,則當x2>x1時,10-10>0.又∵10+1>0,10+1>0,故當x2>x1時,>0,即,所以是增函數(shù)．方法二：考慮復合函數(shù)的增減性．由∵y1=10x為增函數(shù),∴y2=102x+1為增函數(shù),y3=為減函數(shù),y4=為增函數(shù),為增函數(shù)．∴在定義域內(nèi)是增函數(shù)．〔3解：方法一：令,由解得102x=．∵102x>0,∴,即的值域為〔-1,1方法二：∵=1-,∵102x>0,∴102x+1>1.∴0<<2,∴,即值域為<-1,1>.三、拓展訓練答案1、選．分子分母同乘,得原式．2、選．由圖象不經(jīng)過第二象限知,向下平移超過1個單位,即,得．3、選．值域為,的值域為．4、選．可有奇偶性的定義判斷出為奇函數(shù),由得為奇函數(shù)．5、選B．6、選C．．7、選D．．是偶函數(shù),圖像關(guān)于y軸對稱．8、．先通過換元化為一元二次方程再求解．9、．當時,由得；當時,由得．10、解：由得,,即,得,原式．11、解：令,則,當,即時,有最小值．當時,當時取到最大值14,即,解得；當時,當時取到最大值14,即,解得．12、解：〔1函數(shù)定義域為R,關(guān)于原點對稱．又因為,所以為奇函數(shù)．〔2當a>1時,a2－1>0,y＝ax為增函數(shù),y＝為減函數(shù),從而為增函數(shù),所以為增函數(shù)．當0<