2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試卷理數(shù)答案解析正式版版

2015年普通高等學(xué)校招生考試（陜西卷數(shù)學(xué)（理科一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)N x|x2x}，N{x|lgx0}，則N 【答案】【解析】

0,1的人數(shù)為 B137 C123 D93【答案】618y6

xk A．5 B．6 C．8【答案】ymin2ymin3k，所以3k2k5，所ymax3k358C．二項(xiàng)式(x1)n(nN)的展開式中x2的系數(shù)為15，則n A．4 B．5 C．6【答案】）A．D．3B．C．2【答案】試題分析：由三視圖知：該幾何體是半個(gè)圓柱，其中底面圓的半徑為1，母線長為2，所以121122234D．2“sincos”是“cos20”的 【答案】試題分析：因?yàn)閏os2cos2sin20，所以sincos或sincos，因?yàn)閟incoscos20但sincoscos20所以sincoscos20對任意向量a,b，下列關(guān)系式中不恒成立的是 ab||aab||a||bab|||a||b C．(ab)2|ab D．(ab)(ab)a 【答案】考點(diǎn)：1、向量的模；28.x2006y） 【答案】【解析】x20061x20042x2002x20001003x01004x2．不滿足條x0y32110B．f(xlnx0abpf

abqf(abr1f(af(b，則 A．qrD．pr

B．qr

C．pr【答案】A，B1噸每種產(chǎn)品需原料及每13萬元、4萬元，則該企大利潤為 甲乙原料限A(32B(128【答案】xyz3x43x2yx2y由題意可列xy

當(dāng)直線3x4yz0A(2,3zzmax324318設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x,yR)，若|z|1，則yx的概率為 A B

C

1 D．1 【答案】(x1)2試題分析：z(x1)yi|z 1(x1)(x1)2A(1,1B(10)112111

若|z|1，則yx的概率是 21

f(xax2bxc（a為非零整數(shù) A．-1是f(x)的零 B．1是f(x)的極值C．3是f(x)的極 D.點(diǎn)(2,8)在曲線y

f(x【答案】二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分 【答案】試題分析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則a12015210102020，所以a15，故該數(shù)列的首項(xiàng)為5，所以答案應(yīng)填5．若拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2y21的一個(gè)焦點(diǎn)，則 2【答案】2yex在點(diǎn)（0,1）y1(x0ppx 【答案】yexyexyex在點(diǎn)0,1k

e01，設(shè)的坐標(biāo)為x,y（x0，則y1，因?yàn)閥 ，所10xx 10xx

0y

，所以曲線y 在點(diǎn)處的切線的斜率1x1

xx0

2，因?yàn)閗1x10x1

1所以 1，即x21，解得x1，因?yàn)閤0，所以x1，所以y1，即1x x0

坐標(biāo)是1,1，所以答案應(yīng)填1,1， 【答案】1101022216x22py（p02因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)522p252p25x225yy2x2

52

2x2

40 401.2，所以答案應(yīng)填：1.23三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演17（本小題滿分12分）C的內(nèi)角Cabcma,ncossin（I）求（II）若a 7，b2求C的面積3

3．32（I） 3bcosA=0由正弦定理，得 3sinBcosA=3又sin0，從而tanA 3由于0AA3(II)解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosa

7b=2,3得74c2-2c，即c2-2c-3因?yàn)閏0，所以c3故ABC1bcsinA33 18（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形CD中，D//C，D 2D2D是C與的交點(diǎn)．將沿折起到1的位置，如圖2．CD平面1C若平面1平面CD，求平面1C與平面1CD6（II） 63（I）2

BE2，BE

從而BE平面CDBE，CDA1OC(II)A1BEBCDE，又由（1）知，BE

OA1，BE所以A1OCA1-BE-C的平面角，所以A1OC2OA1B=A1E=BC=ED=1,BC

2,0,0), 2,0,0),A(0, 2, 得

2 2,0),A 2, 2)，CD=BE=

2,0,0) A1BC的法向量n1x1y1z1A1CD的法向量n2x2y2z2A1BC與A1CD夾角為，n1BC0，得x1y10n1,1,1nAC

yz

n2CD x2nAC0，得y

0n20,1,1

從而cos|cosn1n2

3 6A1BCA1CD319（（分鐘（分鐘頻數(shù)（次求的分布列與數(shù)學(xué)期望（II）【解析】（I）先算出的頻率分布，進(jìn)而可得的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)的概率．（I）（分鐘從而ET250.2300.3350.4400.132（分鐘70P(T135,T235)P(T140,T230)10.210.30.90.40.50.1 P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=0.40.10.10.40.10.1P(A)=1-P(A) 20（12分）已知橢圓:a2c,00b的直線的距離為1c2

1（ab0）的半焦距為c，原點(diǎn)求橢圓

如圖，是圓x求橢圓的方

y

的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，2

3（II）3

y y 試題分析（I）先寫過點(diǎn)c,00b的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離ykx21可得橢圓的離心率（I（I知橢圓x24y24b2yxxxx的值，進(jìn)而可得k

10可得b2 1橢圓（I）過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cybc0 則原點(diǎn)O到直線的距離 b2 1d

c，得a2b

，解得離心率c a2-3a2-3(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2 易知，ABxyk(x+21，代入(1(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=A(x1y1B(x2y2

2=

4(2k+1)2-1+4k x1x24，得

8k(2k1+4k

=-4,解得k 22x1x282b121 121 52x 4x2 110(b2|10(b2-由| ， =10，解得b210(b2-

=1. 解法二：由（I）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2 A(xyB(xyx24y24b2x2+4y24b2 x1x24y1y22得-4(x1-x28y1-y20.易知，ABxxxAB

=y1-y=12 2

x- 1ABy2

(x+2)

，代入(2x24x+8-2b2=所以xx4x

=8-2b2 1121 52121 52x 4x2 110(b210(b2-由| ， =10，解得b210(b2-

=1. 21（nn2（I）證明：函數(shù)Fxfx21,1內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（x） x11 2比較fnxgnx的大小，并加以證明（II

fn(xgn(xx1fn(xgn(x試題分（I）先利用零點(diǎn)定理Fx在1,1內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，再利 單調(diào)性可證Fx1,1內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而利用xFx的零點(diǎn)可證 來判斷hx 2 與0的大小，進(jìn)而可得fnxgnx的大小試題解析（I）F(f(x)-2=1+x+x2 xn-2,則F(1)=n-1> 1

1

112 F() 2 2 n

2 2 2F(x在1,1x 又F(x)12x nxn10，故在1,1內(nèi)單調(diào)遞增 F(x在1,1x 1-x

因?yàn)閤n是Fn(x)的零點(diǎn)，所以Fn(xn)=0，即 -2=0，故xn= (II)gn(x

xnxn(n+1)(1+2

1- .h(x)=

(x)-

(2

,x>x=1

fn(x)=gnnxn1nn12當(dāng)x1nxn1nn12若0<x<,h

xn12xn1

nxn1nn1xn1=n(n+1)xn-1

n(n+1)xn-1= x>1h

xn12xn1

nxn1nn1xn1=n(n+1)xn-1

n(n+1)xn-1= 所以h(x在(0,1上遞增，在(1上遞減，所以h(x)<h(1)=0，即fn(x)<gn(x.x=1時(shí),fn(xgn(xx1fn(xgn(n+1)(1+解法二由題設(shè)，f(+x+x2 xn,g(x)

,x> x=1

fn(x)=gnx1fn(xgn(xn2

f2(x)-g2(x)=-2(1-

0f2xg2x假設(shè)nk(k2)fk(xgk(x)那么，當(dāng)nk+1

2k+11+2

2xk+1+(k+1)xk+kfk+1

k+1 2xk2又2k h(x)=kxk+1-(k+1)xk+1(x> kkh(x)k(k1)xkkk1xk1kk1k所以當(dāng)0x<1hk(x0hk(x在(0,1上遞減；x>1hk(x)0hk(x在(1上遞增.1+(k+1)xk+k21+(k+1)xk+k2故fk+1(x)<gk+1(x.即n=k+1，不等式也成立.所以，對于一切n2fn(xgn(x.解法三:由已知，記等差數(shù)列為{ak},等比數(shù)列為{bk},k=1, ,n+1.則a1=b1=1

=

=xn所以ak1+k

xnn

(2kn),bk

k

(2km(xa

k1xn xk1,x0(2k x=1x1

ak=bkfn(xgn(xm(x)k1nxn1(k1)xk2k1xk2xnk1 2kn，所以k-10nk1若0x

xn-k+1<1,m(x)0kkx>1xnk+1>1m(x)0kk從而mk(x在(0,1mk(x在(1上遞增.所以mk(xmk(10x=1時(shí)

fn(x)=gn(xx1時(shí)fn(xgn答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號后的方框涂黑．22（切于點(diǎn)D交于DCD，垂足為C（I）CDD2（II）若D3DC，C ，求的直徑2【答案（I）證明見解析（II）3試題分析（I先證CDDDDCDD（II）（I）知D平分CD的值，進(jìn)而可得的直徑．，（I），BCDE，所以CBD+EDB=90°，從而CBD=ABOB，得DAB=BED，所以CBD= 22（II）由（I）知BD平分CBA， 22

3

，從而AB= AB2-BC所以AC =4AB2-BC

23（x31xy中，直