圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（一）圓的有關(guān)性質(zhì)［知識(shí)歸納］

1.圓的有關(guān)概念：

圓、圓心、半徑、圓的內(nèi)部、圓的外部、同心圓、等圓；

弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；

圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓；圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。

2.圓的對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；

圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；

圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。

3.圓的確定

不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

4.垂直于弦的直徑

垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

推論1

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

垂徑定理及推論1可理解為一個(gè)圓和一條直線具備下面五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出另外三個(gè)：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（不是直徑）；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。

推論2

圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

5.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個(gè)條件中的任何一個(gè)就能推出另外三個(gè)：①兩個(gè)圓心角相等；②兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等；③兩個(gè)圓心角或兩條弧所對(duì)的弦相等；④兩條弦的弦心距相等。

圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。

6.圓周角

定理

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；

推論1

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等；

推論2

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；

推論3

如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。

7.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

※8.軌跡

軌跡

符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡。（1）平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；（2）平面內(nèi)，和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；（3）平面內(nèi)，到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線。

［例題分析］

例1.已知：如圖1，在⊙O中，半徑OM⊥弦AB于點(diǎn)N。圖1

①若AB＝，ON＝1，求MN的長(zhǎng)；

②若半徑OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的長(zhǎng)。

解：①∵AB＝，半徑OM⊥AB，

∴AN＝BN＝

∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2

∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1

②∵半徑OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60°

∵ON＝OA·cos∠AON＝OM·cos60°＝

∴

說明：如圖1，一般地，若∠AOB＝2n°，OM⊥AB于N，AO＝R，ON＝h，則AB＝2Rsinn°＝2htann°＝

例2.已知：如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以點(diǎn)C為圓心、AC為半徑作⊙C，交AB于點(diǎn)D，求的度數(shù)。圖2分析：因?yàn)榛∨c垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)；弧與弧之間還存在著和、差、倍、半的關(guān)系，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考。解法一：（用垂徑定理求）如圖2－1，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F。圖2－1

∴

又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠FCA＝25°

∴的度數(shù)為25°，∴的度數(shù)為50°。

解法二：（用圓周角求）如圖2－2，延長(zhǎng)AC交⊙C于點(diǎn)E，連結(jié)ED圖2－2

∵AE是直徑，∴∠ADE＝90°

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠E＝∠B＝25°

∴的度數(shù)為50°。

解法三：（用圓心角求）如圖2－3，連結(jié)CD圖2－3

∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°

∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝65°

∴∠ACD＝50°，∴的度數(shù)為50°。

例3.已知：如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O且AB＝AC，⊙O的半徑等于6cm，O點(diǎn)到BC的距離OD等于2cm，求AB的長(zhǎng)。析：因?yàn)椴恢馈螦是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論。略解：（1）假若∠A是銳角，△ABC是銳角三角形。如圖3，由AB＝AC，可知點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，因?yàn)镺D⊥BC且AB＝AC，根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長(zhǎng)線必過點(diǎn)A，連結(jié)BO

∵BO＝6，OD＝2

∴

在Rt△ADB中，AD＝DO＋AO＝6＋2＝8

∴圖3圖3－1（2）若∠A是鈍角，則△ABC是鈍角三角形，如圖3－1添加輔助線及求出，在Rt△ADB中，AD＝AO－DO＝6－2＝4∴AB綜上所述AB＝小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。

例4.已知：如圖4，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF交⊙O于E。求證：AE·EF＝EC·ED圖4分析：求證的等積式AE·EF＝EC·ED中，有兩條線段EF、ED在△EDF中，另兩條線段AE、EC沒有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線AC，設(shè)法證明△FED∽△CEA即可。證明：連結(jié)AC

∵四邊形DEAC內(nèi)接于圓

∴∠FDE＝∠CAE，∠FED＝∠DCA

∵直徑AB⊥CD，∴

∴∠DCA＝∠CEA，∴∠FED＝∠CEA

∴△FED∽△CEA

∴，∴AE·EF＝EC·ED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時(shí)，千萬不要忽略這一重要條件。

例5.已知：如圖5，AM是⊙O的直徑，過⊙O上一點(diǎn)B作BN⊥AM，垂足為N，其延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，弦CD交AM于點(diǎn)E。圖5（1）如果CD⊥AB，求證：EN＝NM；（2）如果弦CD交AB于點(diǎn)F，且CD＝AB，求證CE2＝EF·ED；（3）如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，且CD＝AB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。

證明：（1）連結(jié)BM（如圖5－1）圖5－1

∵AM是直徑，∴∠ABM＝90°

∵CD⊥AB，∴BM∥CD

∴∠ECN＝∠MBN，又AM⊥BC，∴CN＝BN

∴Rt△CEN≌Rt△BMN，∴EN＝NM

（2）連結(jié)BD，BE，AC（如圖5－2）圖5－2

∵點(diǎn)E是BC垂直平分線AM上一點(diǎn)，∴BE＝EC

∵CD＝AB，∴

∴∠ACD＝∠BDC，又AB＝AC，AE＝AE

∴△ABE≌△ACE，∴∠ABE＝∠ACD＝∠BDC

∵∠BED是公共角，∴△BED∽△FEB

∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED

（3）結(jié)論成立。如圖5－3圖5－3

證明：仿（2）可證△ABE≌△ACE

∴BE＝CE，且∠ABE＝∠ACE

又∵AB＝CD，∴

∴∠ACB＝∠DBC，∴BD∥AC

∴∠BDE＋∠ACE＝180°

而∠FBE＋∠ABE＝180°

∴∠BDE＝∠FBE，而∠BED是公共角

∴△BED∽△FEB

∴BE2＝EF·ED，∴CE2＝EF·ED

（二）直線與圓的關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱無切線割線圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系

2.切線的判定

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

3.切線的性質(zhì)

（1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；

（2）推論1

經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；

（3）推論2

經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

此定理及推論可理解為以下三個(gè)條件中任知其中兩個(gè)就可推出第三個(gè)：①垂直于切線；②經(jīng)過切點(diǎn)；③經(jīng)過圓心。

4.切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

5.弦切角定理

（1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；

（2）推論

如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；

（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

6.和圓有關(guān)的比例線段

（1）相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；

（2）推論

如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)；

（3）切割線定理

從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；

（4）推論

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

7.三角形的內(nèi)切圓

（1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；

（2）作圖：作一個(gè)圓，使它和已知三角形的各邊都相切。

［例題分析］

例6.已知：如圖6，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CG切⊙O于D，DE⊥AB于E。圖6

求證：∠CDB＝∠EDB。

分析：由AB是⊙O的直徑，聯(lián)想到直徑的三個(gè)性質(zhì)：圖6－1

圖6－2

圖6－3（1）直徑上的圓周角是直角。若連結(jié)AD，則得Rt△ABD；（2）垂徑定理。如圖6－2，若延長(zhǎng)DE交⊙O于F，則可得DE＝EF，；（3）過直徑外端的切線與直徑垂直。如圖6－3，若過B點(diǎn)作⊙O的切線BM，則AB⊥BM。

由CD是⊙O的切線，聯(lián)想到切線的三個(gè)性質(zhì)：（1）過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。如圖6－1，若連結(jié)OD，則OD⊥CD；（2）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。若連結(jié)AD，則∠CDB＝∠A；（3）切割線定理。如圖6，CD2＝CB·CA。由DE⊥AB于E，聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：（1）Rt△DEB中兩銳角互余，即∠EDB＋∠EBD＝90°；（2）垂徑定理。如圖6－2，只要延長(zhǎng)DE交⊙O于F，則可得到相等的線段，相等的??；（3）構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。即連結(jié)AD，則可得到△ADB是直角三角形，DE是斜邊上的高，又可得到兩對(duì)相等的銳角，三個(gè)相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定理、面積公式等。證明：連結(jié)AD，如圖6，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°。

∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠A

∵CD是⊙O的切線，∴∠CDB＝∠A，∴∠CDB＝∠EDB此例題還有許多證法，比如連結(jié)OD，如圖6－1，利用切線的定義；又比如延長(zhǎng)DE交⊙O于F，連結(jié)BF，如圖6－2，利用垂徑定理；還可以過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD于點(diǎn)M，如圖6－3，利用切線長(zhǎng)定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。小結(jié)：此例題證明∠CDB＝∠EDB，即證明BD是∠CDE的平分線，由此證明可以聯(lián)想到AD也是∠GDE的平分線。

另外，通過對(duì)此例題的分析和證明可知，圖6－4中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳角、相等的線段、相等的弧及相似三角形等等，為此可將圖6－4分解成三個(gè)基本圖形。如圖6－5，以利于進(jìn)一步理解線段之間的比例關(guān)系。圖6－4圖6－5

例7.已知：如圖7，點(diǎn)P是半圓O的直徑BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的長(zhǎng)。圖7

證明：連結(jié)CB

∵PC切半圓O于C點(diǎn)，∴∠PCA＝∠B

∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB

∴AC：BC＝PA：PC

∴

∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°

又∵CD⊥AB

∴

∴AB＝AD＋DB＝5

∵

∴

例8.已知：如圖8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D。圖8求證：（1）AC是⊙D的切線；

（2）AB＋EB＝AC分析：（1）欲證AC與⊙D相切，只要證圓心D到AC的距離等于⊙D的半徑BD。因此要作DF⊥AC于F（2）只要證AC＝AF＋FC＝AB＋EB，證明的關(guān)鍵是證BE＝FC，這又轉(zhuǎn)化為證△EBD≌△CFD。

證明：（1）如圖8，過D作DF⊥AC，F(xiàn)為垂足

∵AD是∠BAC的平分線，DB⊥AB，∴DB＝DF

∴點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑

∴AC是⊙D的切線

（2）∵AB⊥BD，⊙D的半徑等于BD，

∴AB是⊙D的切線，∴AB＝AF

∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD

∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC

∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC

小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類

例9.已知：如圖9，AB為⊙O的弦，P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PE與⊙O相切于點(diǎn)E，C為中點(diǎn)，連CE交AB于點(diǎn)F。圖9

求證：

分析：由已知可得PE2＝PA·PB，因此要證PF2＝PA·PB，只要證PE＝PF。即證∠PFE＝∠PEF。

證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點(diǎn)G，連結(jié)ED，

∴∠CED＝90°

∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D

∵PE為⊙O切線，E為切點(diǎn)

∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG

∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

證明二：如圖9－1，連結(jié)AC、AE圖9－1

∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴，∴∠CAB＝∠AEC

∵PE切⊙O于點(diǎn)E，∴∠PEA＝∠C

∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC

∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF

∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB

例10.（1）如圖10，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線l交⊙O于C、D，交BA延長(zhǎng)線于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD圖10圖10－1

求證：①∠BAD＝∠CAG；

②AC·AD＝AE·AF

（2）在問題（1）中，當(dāng)直線l向上平行移動(dòng)，與⊙O相切時(shí)，其它條件不變。

①請(qǐng)你在圖10－1中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10標(biāo)記字母；②問題（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。

證明：（1）①連結(jié)BD

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°

∴∠AGC＝∠ADB＝90°

又∵ACDB是⊙O內(nèi)接四邊形

∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG

②連結(jié)CF

∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB

∴∠DAE＝∠FAC

又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC

∴，∴AC·AD＝AE·AF

（2）①見圖10－1

②兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下：

①連結(jié)BC，

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°

∴∠ACB＝∠AGC＝90°

∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC

∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）

②連結(jié)CF

∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，

∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE

∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴

∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）

說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，并通過探究式的提問加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注。

例11.如圖11，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點(diǎn)D，DE⊥BC，垂足為E。圖11（1）由這些條件，你能推出哪些正確結(jié)論（要求，不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出4個(gè)結(jié)論即可）。（2）若∠ABC為直角，其他條件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些新的正確結(jié)論并畫出圖形。分析：（1）若連結(jié)DO，可證得DE是⊙O的切線。若連結(jié)DB，由直徑AB和點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可得AB＝BC，∠A＝∠C等。而且DE⊥BC于點(diǎn)E，又由雙垂圖形，可得，等。

（2）連結(jié)DO、OB。方法同上。

答：下列結(jié)論可供選擇，如圖11－1圖11－1

（1）①DE是⊙O的切線

②AB＝BC

③∠A＝∠C

④DE2＝BE·CE

⑤CD2＝CE·CB

⑥∠C＋∠CDE＝90°

⑦

（2）①CE＝BE

②DE＝BE

③DE＝CE

④DE∥AB

⑤CB是⊙O的切線

⑥B

⑦∠A＝∠CDE＝45°

⑧∠C＝∠CDE＝45°

⑨CB2＝CD·CA

⑩

(11)

(12)說明：本題是結(jié)論開放的探索性問題，答案不唯一。尋找結(jié)論的關(guān)鍵是抓住命題的條件及其特點(diǎn)（尤其是利用特殊幾何圖形的判定和性質(zhì)），在幾何中諸如：相等關(guān)系、特殊圖形、兩圖形的關(guān)系等。

（三）圓和圓的位置關(guān)系［知識(shí)歸納］

1.基本概念

（1）兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義。

（2）兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線、公切線長(zhǎng)的定義。

（3）兩圓的連心線、圓心距、公共弦。

2.圓和圓的位置關(guān)系兩圓的位置圓心距d與兩圓的半徑R、r的關(guān)系外公切線條數(shù)內(nèi)公切線條數(shù)公切線條數(shù)外離224外切213相交202內(nèi)切101內(nèi)含000

3.相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

4.相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上。

［例題分析］例12.已知兩圓外切時(shí)，圓心距為10cm，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距為4cm，求兩圓半徑的長(zhǎng)。

解：設(shè)兩圓的半徑分別為Rcm和rcm。依題意，得

答：大圓的半徑為7cm，小圓的半徑為3cm。

例13.已知：如圖12，兩圓相交于A、B，過點(diǎn)A的直線交兩圓于C、D，過點(diǎn)B的直線交兩圓于E、F。圖12

求證：CE∥FD。

分析：要證CE∥FD，可通過角的關(guān)系證平行，即只要證∠E＝∠BFD或證∠ECD＋∠D＝180°，若證∠E＝∠BFD，只需將∠BFD轉(zhuǎn)化成與⊙O1有關(guān)的圓周角，或圓內(nèi)接四邊形的外角，只要連結(jié)AB即可；若要證∠ECD＋∠D＝180°，也需連結(jié)AB，得∠EBA＝∠D，∠EBA＋∠ECD＝180°，則也可得證。

證明一：（用同位角證）連結(jié)AB

∵四邊形EBAC內(nèi)接于⊙O1，∴∠BAD＝∠E

又∵∠BFD＝∠BAD，∴∠BFD＝∠E

∴CE∥FD

證明二：（用同旁內(nèi)角證）連結(jié)AB

∵四邊形EBAC內(nèi)接于⊙O1，

∴∠C＋∠B＝180°，又∵∠B＝∠D，

∴∠C＋∠D＝180°，∴EC∥FD

小結(jié)：兩圓相交時(shí)，常添的輔助線是作兩圓的公共弦。（四）正多邊形和圓［知識(shí)歸納］1.基本概念正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的中心角以及平面鑲嵌等。2.正多邊形的判定與性質(zhì)（1）把圓分成等份：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。（2）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。

如圖16所示，設(shè)正n邊形的中心角為，半徑為R，邊長(zhǎng)為，邊心距為rn，周長(zhǎng)為Pn，面積為Sn，則由有關(guān)圖形的性質(zhì)可以推得：圖16

（1）

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

4.與圓有關(guān)的計(jì)算

（1）圓的周長(zhǎng)；

（2）弧長(zhǎng)；

（3）圓的面積；

（4）扇形面積；

（5）弓形面積（如圖16）

5.與圓有關(guān)的作圖

（1）過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓；

（2）作三角形的內(nèi)切圓；

（3）等分圓周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四邊形、正六邊形。6.圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖

（1）圓柱的側(cè)面積：（r：底面半徑，h：圓柱高）（2）圓錐的側(cè)面積：（L＝2πR，R是圓錐母線長(zhǎng)，r是底面半徑）。

（n為側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)，R為母線長(zhǎng)）。

［例題分析］

例14.已知：如圖17，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，AB的長(zhǎng)為12