2022年幾何中的最短路徑問題-國家公務(wù)員考試行測解題技巧

幾何中的最短路徑問題-2022國家公務(wù)員考試行測解題技巧幾何問題是近幾年國、聯(lián)考中必考的熱門題型，考查頻率越來越高。其中的最短路徑問題考查較多，方法性很強(qiáng)，通過學(xué)習(xí)可以有良好把握，學(xué)習(xí)的性價(jià)比很高。下面我為大家詳細(xì)講解如何解決幾何中的最短路徑問題。

最短路徑問題考查形式通常為求點(diǎn)之間的最短距離，核心解題方法為平面上兩點(diǎn)之間，線段最短。在考試中最短路徑問題主要分為兩大類，平面幾何最短路徑與立體幾何最短路徑。雖然題目有多種問法，但萬變不離其宗，只要學(xué)問點(diǎn)把握堅(jiān)固、能夠融會(huì)貫穿，無論如何創(chuàng)新如何結(jié)合，我們都可以嫻熟解決。

平面幾何最短路徑問題

1.兩點(diǎn)異側(cè)

題型特征：求在直線異側(cè)的兩點(diǎn)之間的最短距離，或在直線異側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和

解題方法：兩點(diǎn)之間，線段最短，三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最短

例1.【2022聯(lián)考】火車站A和B與初始發(fā)車站C的直線距離都等于akm，站點(diǎn)A在發(fā)車站C的北偏東20度，站點(diǎn)B在發(fā)車站C的南偏東40度，若在站點(diǎn)A和站點(diǎn)B之間架設(shè)火車軌道，則最短的距離為：

A.akm

B.3akm

C.2akm

D.akm

【解題思路】如圖所示，依據(jù)題意中A在C點(diǎn)北偏東20度和B在C點(diǎn)南偏東40度可知，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成頂角為120度的等腰三角形，且AB為底邊。過點(diǎn)C做AB的中垂線，交AB于點(diǎn)D。依據(jù)勾股定理可得，CD=a，AD=a，則AB=2AD=a，正確答案為D。

【點(diǎn)評】公務(wù)員考試中，三角形求邊長常用勾股定理和相像三角形。因此建議各位考生將常見三角形邊長比例嫻熟記憶，如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本題若變形為C火車站正東建立新火車站D，求AB兩點(diǎn)到D距離之和最短，因三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最短，直接連接AB即為最短距離和。

2.兩點(diǎn)同側(cè)

題型特征：求在直線同側(cè)的兩點(diǎn)到第三點(diǎn)的最短距離之和

解題方法：將其中一點(diǎn)鏡像對稱，使三點(diǎn)共線

例1.【2022浙江】A、B點(diǎn)和墻的位置如圖所示。現(xiàn)從A點(diǎn)動(dòng)身以5米/秒的速度跑向墻，接觸到墻后再跑到B點(diǎn)。問最少要多少秒到達(dá)B點(diǎn)?

A.30

B.34

C.38

D.42

【解題思路】要用最短時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)，在速度肯定的狀況下，需從A接觸到墻后再跑到B點(diǎn)所走的路程最短。如圖，由于A和B在墻的同側(cè)，可考慮做其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于墻的對稱點(diǎn)，該對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的連線即為最短路程。假設(shè)做A點(diǎn)的對稱點(diǎn)C，最短距離為BC。CD=90米，BD=30+45+45=120米，最短距離BC==150米，則t==30秒,正確答案為A。

【點(diǎn)評】先推斷為同側(cè)問題，需要作其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)，再連接另外一點(diǎn)，用勾股定理求解。兩點(diǎn)同側(cè)時(shí)，對稱哪一個(gè)點(diǎn)都可以，但是一般為了計(jì)算便利，建議對稱短的那一個(gè)。

例2.【2022聯(lián)考】如下圖所示，某條河流一側(cè)有A.、B.兩家工廠，與河岸的距離分別為4km和5km，且A.與B.的直線距離為11km。為了處理這兩家工廠的污水，需要在距離河岸1km處建筑一個(gè)污水處理廠，分別鋪設(shè)排污管道連接A.、B.兩家工廠。假定河岸是一條直線，則排污管道總長最短是：

A.12km

B.13km

C.14km

D.15km

【解題思路】如下圖所示，過污水處理廠做河岸的平行線HC，D為A關(guān)于HC的對稱點(diǎn)，則最短距離為DB，由題污水廠離河1km可得A點(diǎn)距離到HC為HA=HD=3km，B點(diǎn)距離HC等于EH=4km，則DE=3+4=7km。，所以，正確答案為B。

【點(diǎn)評】本題中題目AB為河流一側(cè)，因此為兩點(diǎn)同側(cè)。提示大家留意，若以河為對稱軸，求的點(diǎn)為交點(diǎn)，此時(shí)污水處理廠建在河里，因此此題的對稱軸是第三個(gè)點(diǎn)所在的水平線，過C作一條沿河岸的平行線，軸距離河岸為1km。計(jì)算時(shí)若忽視了這一點(diǎn)，將無法求解正確答案。

立體幾何最短路徑問題

題型特征：求立體圖形中兩點(diǎn)的最短距離

解題方法：將立體圖形綻開放在同一平面，連線計(jì)算

例1.【2022河北】長、寬、高分別為12cm、4cm、3cm的長方體ABCD-A_1B_1C_1D_1上，有一個(gè)螞蟻從A動(dòng)身沿長方體表面爬行到C_1獵取食物，其路程最小值是多少cm?

A.13

B.

C.

D.17

由題干螞蟻從A動(dòng)身沿長方體表面爬行到求最短，畫圖可知，在長方體中A和不在同一平面，要求最短距離先要把A和C_1放在同一平面內(nèi)，則把面翻折，形成面，再連接，依據(jù)兩點(diǎn)之間直線最短求解。如下圖：

是直角三角形ABC_1的斜邊，要讓斜邊最短，則兩直角邊的平方和要盡可能小。當(dāng)AB=12，=4+3=7時(shí)，兩直角邊的平方和最小，最短==，正確答案為B。

【點(diǎn)評】長方體最短路徑問題可直接運(yùn)用結(jié)論，長方體中相對的兩個(gè)頂點(diǎn)沿表面走的最短距離為：；最短路徑數(shù)為2條，由于長方體存在對立面，每一條路徑都有一條與之相對的路徑，因此有2條。

例2.【2022北京】A和B為正方體兩個(gè)相對的頂點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)從A動(dòng)身沿正方體表面以最短路徑移動(dòng)到B，則其可選擇的路線有幾條：

A.2

B.3

C.6

D.12

【解題思路】正方體有3組對立面，如圖可知每一條路線在對立面上都有一條與之對應(yīng)的路線，因此每組對立面有2條路線，3組對立面共6條路線，正確答案為C。

【點(diǎn)評】若本題為求A到B最短距離，則可將正方體綻開，將AB放在同一平面內(nèi)。連接AB后，AB==邊長。

正方體最短路徑問題也有有對應(yīng)結(jié)論，我建議可以