與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識講解

與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識講解與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識講解與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識講解資料僅供參考文件編號：2022年4月與三角形有關(guān)的線段(基礎(chǔ))知識講解版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：與三角形有關(guān)的線段（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法；2.理解并會應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；3.理解三角形的高、中線、角平分線及重心的概念，學(xué)會它們的畫法及簡單應(yīng)用；4.對三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識，知道這個性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用．【要點梳理】要點一、三角形的定義及分類1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．2．三角形的分類(1)按角分類：要點詮釋：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.(2)按邊分類：要點詮釋：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;②等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系.要點三、三角形的高、中線與角平分線1、三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；要點詮釋：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形內(nèi)部；(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.2、三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.要點詮釋：（1）三角形的中線是線段；(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫三角形的重心；(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.3、三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).要點詮釋：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.要點四、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】類型一、三角形的定義及表示 1．如圖所示．(1)圖中共有多少個三角形并把它們寫出來；(2)線段AE是哪些三角形的邊(3)∠B是哪些三角形的角【思路點撥】在(1)問中數(shù)三角形的個數(shù)時，應(yīng)按一定規(guī)律去找，這樣才會不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)問中，突破口在于由三角形定義知，除了A、E再找一個第三點，使這點不在AE上，便可得到以AE為邊的三角形；(3)問的突破口是∠B一定是以B為一個頂點組成的三角形中．【答案與解析】解：(1)圖中共有6個三角形，它們是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)線段AE分別為△ABE，△ADE，△ACE的邊．(3)∠B分別為△ABD，△ABE，△ABC的角．【總結(jié)升華】在數(shù)三角形的個數(shù)時一定要按照一定的順序進(jìn)行，做到不重不漏．舉一反三：【變式】如圖，，以A為頂點的三角形有幾個用符號表示這些三角形．【答案】3個,分別是△EAB,△BAC,△CAD.類型二、三角形的三邊關(guān)系2.三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是()【答案】D.【解析】要構(gòu)成一個三角形．必須滿足任意兩邊之和大于第三邊．在運用時習(xí)慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊．A、B、C三個選項中，較短兩邊之和小于或等于第三邊．故不能組成三角形．D選項中，2cm+3cm＞4cm．故能夠組成三角形．【總結(jié)升華】判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡易方法是：①判斷出較長的一邊；②看較短的兩邊之和是否大于較長的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形．【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段例1】舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形.(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是_______.【答案】【解析】三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．【總結(jié)升華】三角形的兩邊a、b，那么第三邊c的取值范圍是│a-b│<c<a+b.舉一反三：【變式】（2015春?盱眙縣期中）四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O．求證：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．【答案】證明：∵在△OAB中OA+OB＞AB在△OAD中有OA+OD＞AD，在△ODC中有OD+OC＞CD，在△OBC中有OB+OC＞BC，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，即AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．類型三、三角形中重要線段4.小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別為4，9，12，如何求這個三角形的面積”小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()【答案】C【解析】三角形的高就是從三角形的頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．解答本題首先應(yīng)找到最長邊，再找到最長邊所對的頂點．然后過這個頂點作最長邊的垂線即得到三角形的高．【總結(jié)升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高，并且三條高所在的直線交于一點．這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部．舉一反三：【變式】（2015?長沙）如圖，過△ABC的頂點A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A．B．C．D．【答案】A．5.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長．【思路點撥】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：①AD＝BD，②△BCD的周長比△ACD的周長大3．【答案與解析】解：依題意：△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．答：AC的長為5cm．【總結(jié)升華】運用三角形的中線的定義得到線段AD＝BD是解答本題的關(guān)鍵，另外對圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用